Tiesinės algebros ir diferencialinio skaičiavimo pirmo koliokviumo klausimai (konspektas)

1.Matricos sąvoka -Tarkim mn (a11 a12.a1n) (a21 a22.a2n) (am1 am2.amn)
tokia skaiciu lentele vadiname matrica.Matrica,kurioje eiluciu skaicius lygus stulpeliu skaiciui vadiname kvadratine matrica.
2.Tiesinės matricu aperacijos: Sudėtis ir daugyba is skaiciaus 1.A+B=C Cij=aij+bij
2.jeigu matrica Aj=(aij),B=∆A,bij=∆aij;savybes:komutatyvumas,asociatyvumas it t.t.
3.Suderintos matricos.Matricu daugyba.Dvi matricos vadinamos suderinamomis, jeigu matricos A stulpeliu sakaicius yra lygus B eiluciu skaiciui.Kad sudaugint 2 matricas,jos turi būti suderintos.Jeigu A kvadratinė,ja galima pakelti laipsniu.
4.Antros ir trecios eiles determinatai.Determinatu savybes.Apskaiciuojama pagal trikampio savybe. 1.detA=detAT2.Dvi eilutes sukeitus vietom,pasikeicia determinato zenklas.3.Jeigu determinato viena eilute nuline,tai determinatas lyygus 0.detA=0 4.Jeigu determinanto dvieju eiluciu elementai yra lygus tai determinantas lygus 0.detA=0 5. Jeigu determinanto dvi eilutes yra proporcingos determinatas yra lygus 0. 6.Vienos eilutes bendra dauginamaji galima iskelti pries determinato zenkla.7.Jeigu determinanto viena eilute padauginam is kokio skaiciaus ir pridedam prie kitos eilutes, determinanto reiksme nepasikeicia.8.Determinantas yra lygus kokios nors eiluets arba stulpeliu elementu ir ju adjunktu sandaugu sumai.9.Suma,kurios demenys yra kurios nors eilutes arba stulpelio elementu ir kitos eilutes elementu adjunktu sandaugos yra lygi 0.10.Dvieju matricu sandaugos determinantas yra lyygus atskiru determinantu sandaugai.
5.Aukstesniuju eiliu determinantai.Ju skaiciavimo budai.n-tos eiles determinantu vadiname skaiciu gauta kurios nors eilutes arba stulpelio elementu ir ju adjunktu sandaugu sumai.budai:1.pagal apibrezima2.Daugindami eilute is skaiciaus ir pridedeami prie kitos eilutes, kuriame nors stulpelyje paliekame o kita tada sk

kleidziame to stulpelio elementus. n eiles determinantas sumazes iki (n-1) eiles (n-2),4 eiles det. suvesime i 3-cios eiles.
6.Atvirkstine matrica.Neissigimusi,jei det A≠0,issigimusi,jei det A=0. A A-1,A∙A-2= A-1A=E Atvikstine matrica sudaugine su paprasta gauname n-tos eiles vienetine matrica.
7.Matricos rangas.Elementariuju matricos pertvarkiu taikymas apskaiciuojant matricos ranga.Matricos rango savoka reikalinga nagrinejant bendraja tiesiniu lygciu sprendimo teorija.Matricos rango vadiname didziausios eiles minoro,≠ 0,eile.1.Eilutes padauginimas is skaiciaus.2. Eilutes padauginimas is skaiciaus ir pridejimas prie kitos eilutes.3.Eiluciu suketimas vietomis.Atlikus pertvarkymus matricos rangas nepasikeicia,todel bet kuria matrica suvedame i trapecija arba trikampe matrica.
8.Tiesiniu lygciu sistemos.Pagrindines savokos.skaiciu rinkinys α1,α2.αn,kuri istate i lygciu sistema vietoj nezinomuju x1,x2.xn is lygciu gauname tesingas lygybes,vadiname sistemos sprendiniu;Tiesiniu lygciu sistema gali tureti 1 sprendini,begalo daug sprendiniu arba ju isvis netureti. Sistema turinti sprendiniu vadinama suderintaja,sistema neeturinti sprendiniu vadinama nesuderintaja;Suderinta sistema turinti 1 sprendini vadinama apibreztaja.Begalo daug sprendiniu turinti sistema vadinama neapibreztaja;Dvi lygciu sistemos vadinamos neakvivalenciomis jeigu 1 sistemos sprendinys yra ir kitos sistemos sprendiniu ir atvirksciai..
9. Neissigimusiu tiesiniu lygciu sistemu sprendimas atvirkstines matricos metodu.Kronekerio ir Kapelio teorema.X=A-1*B.Tiesiniu lygciu sistema yra suderinta tada ir tik tada kai sistemos matricos rangas yra lygus isplestines matricos rangui. rangA=rangA
10.Vektoriaus savoka.1.Atkarpa AB vadinama kryptine atkarpa jeigu nurodome kuris taskas yra 1 ir kuris antras.2.Vektoriumi vadiname kryptine atkarpa.3.Vektoriumi vadiname ekvipolenciu kryptiniu atkarpu klase.4.Vienos krypties ir vi
ienodo ilgio atakrpos vadinamos ekvipolenciomis.5.Vektorius,kurio pradzios taskas sutampa su galo tasku vadinamas 0 vektoriumi.6.Du vektoriai vadinami koliniariais jeigu jie lygiagretus vienai tiesei.
11.Tiesines vektoriu operacijos.Savybes.Tiesines vektoriu operacijos yra trys:sudetis,atimtis ir daugyba is skaiciaus;1.Vektoriu sudetis tenkina komutatyvumo desni 2.Vektoriu sudetis tenkina asociatyvumo desni 3.Vektoriu daugyba is skaiciaus tenkina asociatyvumo desni 4.Vektoriai tenkina distributyvumo skaiciaus sumos atzvilgiu desni. 5.Distributyvumas vektoriu sumos atzvilgiu.
12.Vektoriu projekcijos.Vektoriaus AB projekcija asyje L vadinamas atkarpos A1B1 ilgis su + zenklu jeigu vektoriaus AB ir L kryptys sutampa.Ilgis su – zenklu jeigu AB ir L kryptys nesutampa.
13.Tiesinis vektoriu priklausomumas.Vektoriu sistema A1A2.An vadinama tiesiskai nepriklausoma tada ir tik tada, kai visi skaiciai =0 1=2=.=n=0.2.Sistema visiskai priklausoma kai 1a1+2a2+.+nan=0 kai bent vienas is  nelygus 0.3.Jeigu vektoriai tiesiskai priklausomi, tada viena vektoriu visada galima isreiksti kitu vektoriu tiesiniu dariniu.4.Du bet kokie nekolinearus vektoriai tiesiskai nepriklausomi.5.Betkurie trys komplanarus erdves vektoriai yra tiesiskai priklausomi.Bet kurie trys nekomplanarus vektoriai yra tiesiskai nepriklausomi.

15.Ortonormuotoji baze.Vektoriaus kordinates Dekarto kordinaciu sistemoje.Jeigu trys statmeni ir vienetiniai vektoriai-Ortonormuota baze.Jei du vektoriai kolinearus,ju koordinates yra proporcingos.Teisingas yra atvirkscias teiginys:jeigu du vektoriai proporcingi,tai vektoriai kolinearus.Vektoriai i,j,k sudaro ortonormuota baze.Tada bet kuri vektoriu a galima isreiksti baziniais vektoriais a=axi+ayj+azk.
16.Spindulys vektorius.Atstumas tarp dvieju tasku.Vektorius jungiantis koordinaciu pradzia ir bet koki taska vadinamas spindulio vektoriumi.2.Jeigu vektorius duotas dviem taskais,tai jo koordinates yr

ra lygios is galo koordinaciu atemus pradzios koordinates.
17.Atkarpos dalijimas duotuoju santykiu.Pasirenkame atkarpa AB,taskas C dalyja atkarpa AB. =IACI/ICBI
18.Skaliarine dvieju vektoriu sandauga.Savybes.Dvieju vektoriu AirB skaliarine sandauga vadiname skaiciu lygu abieju vektoriu moduliu ir kampo tarp ju kosinuso sandaugai.1.Komutatyvumas,Distributyvumas vektoriu sudeties atzvilgiu,Asociatyvumas daugybos is skaiciaus atveju.Skaliarinis kvadratas yra lygus ilgio kvadratui.
19.Vektorine dvieju vektoriu sandauga.Savybes.Vektoriu A ir B vektorine sandauga vadiname vektoriu axb a ir axb b.1.Vektorinei sandaugai komutatyvumo savybe negalioja.Galioja asociatyvumo,daugybos is skaiciaus atzvilgiu.Galiojo distributyvumas vektoriu sudeties atzvilgiu.axa=0.Skaiciuojant dvieju vektoriu vektorine sandauga sudauginame kaip daugianarius.Du vektorius daugindami vektoriskai gauname trecia vektoriu jeigu pirma vektoriu sukame link antro vektoriaus pries laikrodzio rodykle.Jeigu trumpiausiu keliu sukame pagal laikrodzio rodykle gauname minuso zenkla.
20.Misrioji triju vektoriu sandauga.Triju vektoriu a,b,c misriaja sandauga vadiname skaiciu gauta (axb)c=abc vektorine sandauga sudauginta. Geometriskai misrios sandaugos modulis yra lygus gretasienio turiui.Savybes:Jeigu dauginant tris vektorius keiciam cikliskai,zenklas nepasikeicia.2.Jeigu trys vektoriai komplanarus,tai misrioji sandauga yra lygi 0.
21.Bendroji plokstumos tieses lygtis.Norint apibrezti tiese plokstumoje reikia tureti:1.Taska ir normalini vektoriu(statmena i tiese)2.taska ir kryptini vektoriu.3.Du tieses taskus.
22.Kryptine plokstumos tieses lygtis.Kryptine plokstumos tieses lygtis tangento kampo kuri sudaro su tieses asimi.k=tg
23.Kampas tarp dvieju tiesiu plokstumoje,duotu kryptinemis lygtimis.tg=k2-k1/1+k2*k1
24.Tasko atstumas iki tieses plokstumoje.d=IAx1+By1+CI/ +B2
25. Bendroji plokstumos lygtis.Atskiri atvejai.Bet kokia plokstuma galima nusakyti dviem budais:1.Turint taska ir normalini vektoriu2.Sudarant tris ve
ektorius vienoje plokstumoje,parinkus kintama taska M (x,y,z).Atvejai:1.A=0,tada pl.IIOx asiai.B=0 pl.II Oy asiai.C=0 pl.IIOz asiai.2.D=0,tada eina per koordinaciu pradzia.3.A=D=0 eina per Ox asi,B=D=0 eina per Oy asi,C=D=0 eina per Oz asi.4.A=B=0 pl.IIXOy plokstumai,A=C=0 pl.IIXoz pl.,B=C=0 pl.IIyoz pl.5.A=B=D=0,pati xoy ploksuma,A=C=D=0 xoz pl.,B=C=D=0 yoz pl.
27.Tasko atstumas iki plokstumos.d=IM0M1I*n/InI
28.Erdves tieses lygtys.Parametrines:x=x0+tl,y=y0+tm,z=z0+tn.Isreiskus t gauname kanonine lygti:x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n
29.Erdves tieses bendrosios lygtys. A1X+B1Y+C1Z+D1=0.Norint suvesti i kanonini pavidala reikia susirasti taska ir krypties vektoriu.Jieskant tasko spredziame dvieju lygciu su trim nezinomaisiais sistema.Viena kintamaji pasirenkame laisvai,o kitus du apskaiciuojam.
30.Kampas tarp tieses ir plokstumos.Kampu tarp tieses ir plokstumos vadiname kampa tarp teises ir jos projekcijos plokstumoje.
31.Kampas tarp tiesiu yra lygus kampui tarp vektoriu.cos=S1*S2/IS1I*IS2I
Dvieju tiesiu tarpusavio padetis:AB(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
32.Tasko atstumas iki tieses erdveje.Atstumas nuo tasko iki tieses erdveje lygus gauto lygiagretainio aukstinei.
33.Atstumas tarp prasilenkenciu tiesiu.Atstumas nuo tieses iki plokstumos yra lygus atstumui tarp prasilenkianciu tiesiu.

Leave a Comment