Magiškieji skaičiai

TURINYS

Įvadas 3
Darbo planas 4
1. Pažintis su tikimybių teorija 5
1.1. Kas yra tikimybių teorija? 5
1.2. Tikimybės 5
1.3. Daugybos taisyklė 6
1.4. Baigčių erdvės 6
1.5. Įvykiai 6
1.6. Tikimybiniai modeliai 7
1.7. Galimybės ir tikimybės 8
1.8. Atsitiktiniai dydžiai 8
1.9. Teorijos išvados 8
2. Žaidimai 9
2.1. Bridž-it 9
2.2. Chalma 11
2.3. Soliteris 13
2.4. Žaidimas virvute 17
2.4.1. Pirmojo tipo žaidimai 17
2.4.2. Antrojo tipo žaidimai 18
2.5. Matematiniai žaidimai specialiose lentose 21
2.5.1 Prancūzų karinis žaidimas 21
2.5.2. Topologinis žaidimas blekas 22
2.6. Žaidimas 15 ir kiti galvosūkiai 24
3. Uždaviniai 26
4. Uždavinių atsakymai 29
Autorecenzija 31
Reziumė 32
Summary 33
Literatūra 34
Priedai 35
1. Topologinis žaidimas blekas 36
2. Bridž-it lošimų lenta 37
3. Lenta soliteriui žaisti 38
4. Kaip supinti Jokūbo kopėčias 39
5. Prancūzų karinis žaidimas 40
6. Penketukas vienoje eilėje 41
7. Tėvuko galvosūkis 42
8. Žaidimas 15 43
9. Kaip, neperpjovus virvutės, išlaisvinti žirkles 44
10. Fokusas su žiedeliu 45
11. Magiškieji skaičiai..............................46

ĮVADAS

Vystantis gamtos mokslams, matematiniai žaidimai bei lošimai iš klasikinės eros perėjo į šiuolaikinę. Ne tik mokslas, bet ir XXI amžiaus pramogos neatskiriamos nuo šiuolaikinės matematikos. Klasikiniais laikais tiik tikimybių teorijoje organiškai pasireiškė lošimų teorija, dabar pats žodis „lošimas“ tapo matematiniu terminu, plačiai vartojamu įvairiausiuose moksluose: ekonomikoje, biologijoje, karyboje. Tačiau populiarioji literatūra beveik neatspindėjo šių permainų.
Žmogus negali nejausti pasitenkinimo, pamatęs netikėtus ryšius tarp pramogų ir rimto mokslo, nesistebėti abstrakčių sąvokų ir skaičiavimo technikos išradingu pritaikymu žaidimų bei lošimų ir galvosūkių analizei.

J. Danilovas
J. Smorodinskis

Mano pagrindinis tikslas yra įrodyti, kad loginis mąstymas padeda mokytis ir tobulėti. Juk tam nėra ribų.
Šiame darbe aš pateiksiu daug lošimų ir žaidimų pavyzdžių, juos analizuosiu, taaip pat dar pateiksiu keletą užduočių ir jų sprendimo būdų. Darbo rezultatai turėtų aiškiai parodyti, kad ne tik rimtai mokantis galima ko nors pasiekti, bet ir žaidžiant galima mokytis. Ir tai būtų daug įdomiau, ne taip nuobodu. Visą mano darbą ga

alima būtų pritaikyti jaunesniųjų klasių mokiniams ugdyti: lavinti jų mąstymą, pritraukti įdomia veikla, sudominti.

Darbo tikslas:
• Įrodyti, kad loginiai žaidimai lavina mąstymą
Darbo uždaviniai:
• Surinkti tikimybių teorinę medžiagą;
• Pateikti žaidimų pavyzdžių;
• Surinkti ir pateikti su žaidimais susijusių uždavinių.
Tęstinumas:
• Šį projektinį darbą bus galima naudoti, kaip mokomąją medžiagą jaunesniųjų klasių mokiniams ugdyti.

DARBO PLANAS

Eil. nr. Laikas Darbai
1. Spalis Susipažinau su projekto tema.
2. Lapkritis Susiradau reikalingas knygas.
3. Gruodis Pradėjau nagrinėti žaidimus.
4. Sausis Pradėjau rinkti teorinę medžiagą ir suvesti ją į kompiuterį.
5. Vasaris Visą darbo laiką skyriau žaidimams ir iliustracijoms.
6. Kovas Ieškojau ir surinkau žaidimų uždavinius ir jų atsakymus.
7. Balandis Kaip demonstracinę priemonę, pagaminau žaidimą 15.
8. Gegužė Pabaigiau viską susisteminti ir suvesti į kompiuterį.

1. PAŽINTIS SU TIKIMYBIŲ TEORIJA

„Šansai“, „galimybės“, „tikimybės“ — tai žodžiai iš kasdieninio mūsų žodyno, kaip ir „moneta“, „futbolas“ ar „tortas“. Nors visi intuityviai jaučiame, ką reiškia kiekvienas iš keturių pacituotų teiginių, griežtai apibrėžti terminus „šansai“, „galimybės“ ir „tikimybės“ yra neeįtikėtinai sunku.
Žodis „tikimybės“ vartojamas dvejopa prasme. Viena vertus, šis žodis reiškia mokslą — iš esmės matematikos šaką. Antra vertus, mes kalbame apie įvykių tikimybes, ir tada „tikimybė“ reiškia skaičių, kaip, pavyzdžiui, teiginyje „Tikimybė, kad tris kartus metant monetą, atvirs vien herbai, lygūs 12,5%“. Terminas „galimybės“ vartojamas tai pačiai tikimybės sąvokai išreikšti šiek tiek kitu pavidalu.

1.1. Kas yra tikimybių teorija?

Tikimybių teorija tiria tam tikras situacijas, kurias matematikai mėgsta vadinti tikimybiniais bandymais, arba tiesiog bandymais. Sakysime, kad bandymas yra tikimybinis, jei galimų jo baigčių (r

rezultatų) yra daugiau negu viena, ir negalima iš anksto tvirtai pasakyti, kuri iš galimų baigčių iš tikrųjų įvyks. Tipiški bandymų pavyzdžiai yra monetos mėtymas, lošimo kauliuko ridenimas, šaudymas į lėkštes, orų prognozės. Žodis „bandymas“ čia vartojamas labai laisvai, ir daugumai šių bandymų atlikti visai nereikia baltų chalatų ar gerai įrengtų laboratorijų.
Su tikimybiniais bandymais susiduriame kasdien. Kai kurie iš jų yra paprastesni (orai, Pasaulio taurės rezultatai ir t. t.), o kai kurie — sudėtingesni (mūsų mokamos draudimo įmokos, perkamų produktų patikimumas ir t. t.).
Tikimybių teorija nagrinėja sudėtingiausius reiškinius, o ne tik monetų mėtymą, lošimo kauliukų ridenimą ar šaudymą į lėkšteles.

1.2. Tikimybės

Sakykime, metame monetą. Kokia tikimybė, kad ji atvirs herbu? Tai nėra sunkus matematinis klausimas, ir beveik kiekvienas duos atsakymą: 50%, 1 iš 2, apie pusę ir t. t. paprašius pagrįsti šiuos atsakymus, argumentai paprastai suskyla į dvi kategorijas.
Vienas argumentų tipas yra toks: kadangi moneta gali atvirsti dviem būdais, herbo tikimybė yra 1 iš 2. Šį argumentų tipą vadiname objektyviuoju požiūriu į tikimybę.
Kitas argumentų tipas yra maždaug toks: jei mes mėtysime monetą daug daug kartų, tai maždaug pusę kartų atvirs herbas ir maždaug pusę kartų atvirs skaičius, ir todėl herbo tikimybė yra maždaug apie pusę. Šį argumentų tipą vadiname dažniniu, arba statistiniu požiūriu į tikimybę.
Nors abu požiūriai yra logiškai pagrįsti (laikant, kad mėtoma moneta yra id

deali), sunku apibendrinti bet kurį iš jų taip, kad būtų aprėptas ir kitas požiūris.

1.3. Daugybos taisyklė

Tikimybių daugybos taisyklė. Jei sudėtinį įvykį galima suskaidyti į paprastesnius nepriklausomus įvykius (t. y. tokius, kurių baigtis neturi įtakos kitų įvykių baigčiai), tai viso įvykio tikimybė lygi jo sudėtinių įvykių tikimybių sandaugai.
Daugybos taisyklė tvirtina, kad jei kas nors vyksta keliais etapais, tai, norint rasti bendrą skaičių iš būdų, kuriais tai gali įvykti, reikia nustatyti, keliais būdais tai gali įvykti kiekviename etape, ir gautus skaičius sudauginti.
Kodėl veikia daugybos taisyklė, galime paaiškinti paprastu pavyzdžiu.
Pavyzdys: Jūs norite suvalgyti porciją ledų. Galima pasirinkti iš dviejų rūšių vaflinių indelių (saldžių ir nesaldžių) ir vieną iš trijų rūšių ledų (vanilinių, šokoladinių ir vaisinių). 1 paveikslėlis rodo visas galimas pasirinkimo kombinacijas.

1 pav. Taip veikia daugybos taisyklė

1.4. Baigčių erdvės

Su kiekvienu bandymu susijusi visų galimų jo baigčių (rezultatų) aibė, vadinama baigčių erdve, arba elementariųjų įvykių erdve. Baigčių erdvė žymima raide E, o aibės baigčių erdvės elementų skaičius — raide N.

1.5. Įvykiai

Iki šiol mes kalbėjome apie atskirų baigčių tikimybes, kurias nurodo tikimybių paskirtis. Dauguma tikimybių uždavinių yra susiję su baigčių kombinacijomis, vadinamomis įvykiais. Įvykiu vadiname bet kokį baigčių erdvės poaibį.
Įvykio baigčių skaičius gali kisti nuo 0 iki N (baigčių erdvės dydžio). Jei įvykio baigčių skaičius lygus 0, tai įvykis vadinamas negalimuoju įvykiu; jei baigčių įv

vykio skaičius yra N, tai įvykis vadinamas būtinuoju įvykiu.
Kiekviena baigčių erdvės tikimybių paskirtis kiekvienam įvykiui savaime priskiria tikimybę. Ji gaunama sudėjus tą įvykį sudarančių baigčių tikimybes. Kad ir kokia būtų tikimybių paskirtis, negalimojo įvykio tikimybė visada lygi 0 (P({ }) = 0), o būtinojo įvykio tikimybė visada lygi 1 (P(E) = 1)

1.6. Tikimybiniai modeliai

Tikimybinį modelį sudaro, pirma, baigčių erdvė, sudaryta iš visų galimų atsitiktinio bandymo baigčių ir, antra, tos baigčių erdvės tikimybių paskirtis. Pastaroji kiekvienai atskirai baigčiai priskiria skaičių tarp 0 ir 1 imtinai, vadinama tos baigties tikimybe. Matematiniu požiūriu nesvarbu, iš kur tos tikimybės imamos. Jos gali remtis stebėtojo subjektyvia nuomone, gali būti dažnių skaičiavimo ar kokios nors sudėtingos formulės taikymo rezultatas. Tereikalaujama, kad būtų laikomasi „žaidimo taisyklių“ — visos tikimybių reikšmės turi būti tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. jei tikimybės jau priskirtos atskiroms baigtims, tai ir jų kombinacijos, vadinamoms įvykiais, yra priskirtos tikimybės. Bet kurio įvykio tikimybė gaunama sudedant įvykį sudarančių baigčių tikimybes. Skyrium imant, negalimojo įvykio { } tikimybė lygi 0, o būtinojo įvykio E tikimybė lygi 1. Visus šiuos teiginius galima apibendrinti taip.

Tikimybinis modelis
• Baigčių erdvė. Visų galimų atsitiktinio bandymo baigčių erdvė E = {b1, b2, . bN}
• Erdvės E tikimybių paskirtis. Kiekvienai baigčiai bi priskiriamas skaičius P(bi), laikantis taisyklių:
1. 0  P(bi)  1 ir
2. P(b1) + P(b2) + . . . + P(bN) = 1.
• Įvykiai. Įvykis yra bet kuris E poaibis. Skyrium imant, { } (negalimas įvykis) ir pati E (būtinas įvykis) yra įvykiai.
• Įvykių tikimybės. Kiekvieno įvykio tikimybė yra tą įvykį sudarančių baigčių tikimybių suma. Skyrium imant, P({ }) = 0 ir P(E) = 1.

Vienas iš seniausių ir paprasčiausių tikimybių teorijos taikymų susijęs su azartiniais lošimais. Mes nesame jų šalininkai, bet azartiniai lošimai yra gausus pavyzdžių šaltinis ir kelia daugybę įdomių matematinių uždavinių. Daugeliui lošimų reikia kokios nors priemonės ar prietaiso, kaip moneta ar monetos, lošimo kauliukas ar kauliukai, kortų kaladė, ruletė ir t. t. Tokiu atveju laikoma, kad lošimo įrankis yra idealus, t. y. moneta ar kauliukas yra simetriški, kortos gerai išmaišytos ir nėra žymėtos, o ruletės ratas — subalansuotas. Matematiškai tai reiškia, kad visų baigčių tikimybės vienodos. Kadangi tikimybių suma lygi 1, tai, pirma, kiekvienos baigties tikimybė turi būti 1/N (čia N — baigčių erdvės dydis), ir, antra, bet kurio įvykio tikimybė gaunama padalijus jį sudarančių baigčių skaičių iš N. Tad šį tikimybinį modelį galime surašyti taip.

Tikimybinis modelis, jei visos baigtys vienodai tikėtinos
• Baigčių erdvės dydis = N.
• P(bet kuri baigtis) = 1/N.
• Jei A yra įvykis, tai P(A) = įvykio A baigčių skaičius/N.

Pagal šį modelį tikimybės gali būti apskaičiuotos (neretai tenka taikyti daugybos principą).

1.7. Galimybės ir tikimybės

Matematikas, siekdamas aiškumo, reikalauja, kad tikimybės būtų skaičiai tarp 0 ir 1. kasdieninei vartosenai tai nėra taip svarbu — mes žinome, kad žmonės kalba apie šansus kaip tikimybes, išreikštas procentais, ir apie galimybes, kurios dažniausiai naudojamos išreikšti tikimybėms, susijusioms su lošimo situacijomis.

Jei galimybės įvykio A naudai yra m prieš n, tai P(A) = m/m+n

Bendra tikimybių vertimo galimybėmis taisyklė yra tokia:
Jie P(A) = a/b, tai galimybės įvykio A naudai yra a prieš b — a, o galimybės įvykio A nenaudai yra b — a prieš a.

1.8. Atsitiktiniai dydžiai

Kintamieji gali būti natūraliai susiję su tikimybiniu bandymu, nes, šiaip ar taip, bandymo baigtys yra kintamos. Jei kiekybinio dydžio skaitinė reikšmė priklauso nuo bandymo rezultato, tai kintamąjį vadiname atsitiktiniu dydžiu. Galima sakyti ir kiek kitaip — kadangi tyrinėjama populiacija yra baigčių erdvė, tai bet koks kiekybinis kintamasis, susijęs su ta populiacija, yra vadinamas atsitiktiniu dydžiu.

1.9. Teorijos išvados

Žmogui tikimybės, šansai ir galimybės yra miglotos sąvokos, vartojamos visų pirma lošiant loterijoje ar aptariant rytojaus orus. Tačiau matematikai ir statistikai žiūri į tikimybių teoriją kaip į tikslią schemą, kuri dažnai leidžia išsiaiškinti atsitiktinių įvykių dėsnius. Pagrindiniai šios schemos elementai yra baigčių erdvė, matematiškai tiksliai nusakanti visas galimas atsitiktinio bandymo baigtis (rezultatus), ir tikimybių paskirtis, suteikiančias kiekvienai baigčiai skaitinę reikšmę. Šios skaitinės reikšmės rodo atitinkamos baigties tikėtinumą. Jos gali turėti matematines ar nematematines ištakas, tačiau vos tik tikimybės priskirtos, žaidimo taisyklės tampa visiškai matematinės.
Vienas iš paprasčiausių tikimybių priskyrimo būdų yra vienodų tikimybių suteikimas visoms baigtims. Šiuo atveju tikimybės skaičiuojamos, atsakius į du pagrindinius (ne visada paprastus) klausimus: 1) koks yra nagrinėjamos baigčių erdvės dydis? 2) koks yra nagrinėjamą įvykį atitinkančio baigčių erdvės poaibio dydis?
Nors tikimybių teorija yra palyginti jauna matematikos šaka, pažintis su atsitiktinumo dėsniais yra svarbi visuotinės kultūros dalis ir labai praverčia kasdieniniame gyvenime. Minutėlę pamąsčius apie tai, kiek mūsų gyvenimas yra valdomas likimo ir kiek — atsitiktinumo, didelis tikimybių vaidmuo nebestebintų. Kaip kartą pasakė Julijus Cezaris, „atsitiktinumas yra didysis gyvenimo mokytojas“.

Pagrindinės sąvokos: atsitiktinis dydis
baigčių erdvė
būtinas įvykis
daugybos taisyklė
elementariųjų įvykių erdvė
galimybės,
nepriklausomi įvykiai
tikimybių daugybos taisyklė
tikimybinis bandymas
įvykis
tikimybių paskirtis negalimas
šansai
tikimybė
tikimybinis modelis
2. ŽAIDIMAI
Visas gyvenimas — matematika! Taip pat ir dauguma žaidimų ir lošimų mūsų gyvenime yra susiję su matematika. Šaškės, šachmatai, kortos, magija ir dauguma kitų — matematiški. Čia jums pateiksiu keletą žaidimo pavyzdžių ir jų sprendimo būdų.
2.1. Bridž-it

Ryškiausias lošimų su porine strategija pavyzdys yra topologinis lošimas bridž-it, kuris 1970 — 1980 metais buvo viena mėgstamiausių vaikų pramogų.

1 paveiksle parodyta bridž-it žaidimų lenta. Kai lošimo laukas nupieštas popieriaus lape, dalyviai paeiliui brėžia vertikalias arba horizontalias linijas, jungiančias du vienodos spalvos taškus. Negalima taškų jungti įstrižai. Vienas priešininkas juodu pieštuku sujungia juodus taškus, antras — kitos spalvos taškus tokios pačios spalvos pieštuku. Priešininkų linijos niekus neturi susikirsti. Laimi tas, kuris pirmasis sudaro laužtę, jungiančią dvi priešingas lentos „savo“ spalvos kraštines. Daugelį metų buvo žinoma, kad egzistuoja strategija, padedanti pasiekti pergalę lošėjui, darančiam pirmąjį ėjimą, bet ją rasti pavyko ne iš karto. Ją atrado teorijos specialistas O. Grosas. Martinas Gardneris parašė Grosui laišką, tikėdamasis gauti ilgą ir sudėtingą uždavinio analizę, tikriausiai neprieinamą eiliniui skaitytojui. M. Gardnerio nuostabai, visą aiškinimą sudarė brėžinys, kurį matote 2 paveiksle, ir dvi tokios frazės: „Jūs pradedate lošimą ir darote ėjimą, pažymėtą juoda linija kairiajame apatiniame brėžinio kampe. Toliau reikia lošti taip: kiekvieną kartą, kai tiesė, kurią nubrėžė priešininkas, kerta kokios nors punktyru pažymėtos kreivės galą, jūs brėžiate tiesę, kertančią tos tiesės antrąjį galą.“ Ši sąmoninga porinė strategija padeda nugalėti tam, kuris daro pirmąjį ėjimą, bet visų ėjimų skaičius nebus minimalus. Pats Grosas taip charakterizavo aprašytąją strategiją: ji yra „bukas ginklas prieš buką lošėją, gudrus — prieš gudrų, bet ir vienu ir kitu atveju padeda laimėti“.

Grosas sugalvojo nemažai porinių strategijų, bet išsirinko tą, apie kurią ką tik pasakojau. Ji turi du privalumus: pirma, yra labai nuosekli, antra, lengvai apibendrinama bet kokių matmenų lošimo lauko atveju.

Atkreipkite dėmesį, kad 2 paveiksle iš anksto nenumatytos linijos, jungiančios lentos kraštinius taškus. Bridž-it lošimo taisyklės nedraudžia tokių linijų, bet brėžti jų nėra prasmės, nes pergalei pasiekto jos neturi įtakos. Jeigu lošiate taip, kaip parodyta brėžinyje , o jūsų priešininkas staiga nubrėžia liniją išilgai lentos pakraščio, tai jūs darote atsakomąjį ėjimą, sujungdami du kraštinius arba, jeigu jums tai labiau patiks, bet kuriuos du lentos taškus. Gali atsitikti, kad šį atsitiktinį ėjimą jums paskui padiktuos strategiją, tuomet, nubrėžkite kokią nors kitą liniją. Papildoma linija lentoje netrukdo, o kažkuriais atvejais net teikia tam tikrų privalumų. Suprantama, dabar, kai žinoma optimali pirmojo lošėjo strategija, bridž-it netenka viso patrauklumo. Jį lošti gali tik tie, kurie dar negirdėjo aiškinimo kaip laimėti.

Nepaisant palyginti paprastų taisyklių, daugelio lošimų, kuriems reikia specialių lošimo laukų, matematiškai išanalizuoti negalima.

2.2. Chalma

Praėjusio šimtmečio pabaigoje Anglijoje plačiai buvo žinomas chalmos lošimas, iš kurio atsirado visa šeima iki šiol dar matematikų neišnagrinėtų lošimų.

1898 metais Bernardas Šo rašė: „Anglijoje priimta, kad kiekvienos atskiros šeimos, gyvenančios atskirame name, nariai sėdėtų atskiruose kambariuose ir arba tylėdami skaitytų knygą ar laikraštį, arba loštų chalmą.“

Iš pradžių chalmą lošė ant 16×16 matmenų šachmatų lentos. Vėliau pradėtos naudoti įvairiausių matmenų ir formų lentos. Lošimas, dar žinomas kaip „kiniškos šaškės“, yra vienas iš daugelio vėlesnių chalmos variantų. Čia M. Gardneris papasakojo apie vieną suprastintą variantą, kuris lošiamas paprastoje 8×8 langelių šachmatų lentoje. Iš jo galima sudaryti vieną įdomų ir vis dar neišspręstą galvosūkį iš pasiansų dėliojimo srities.

Pradedant lošimą, šaškės išdėstomos lentoje kaip įprasta. Ėjimai daromi beveik taip pat, tik su kai kuriais pakeitimais:
1) Draudžiama stumti šaškę, kuri ką tik peršoko per kitą;
2) Šokinėti galima ir per savo, ir per svetimos spalvos šaškes;
3) Galimi ėjimai ir šuoliai atgal.
Vienu ėjimu galima nuosekliai peršokti per kelias bet kokios spalvos šaškes, stovinčias pagal langelio įstrižainę, bet derinti tokį ėjimą su paprastu ėjimu (be peršokimo) draudžiama. Kiekvienas lošėjas stengiasi užimti priešininko pradinę poziciją, ir laimi tas, kuriam pirmam pasiseka tai padaryti. Išlošti galima ir tada, kaip lentoje susidaro tokia situacija, kad priešininkas daugiau negali padaryti nei vieno ėjimo.
Analizuoti chalmos topo lošimus yra sudėtinga. Štai jums dar vienas pavyzdys. Lyginiuose lentos pirmų trijų eilių kvadratuose įprastu būdu sustatykite dvylika šaškių, visus kitus langelius palikdami laisvus. Koks minimalus ėjimų skaičius reikalingas visoms šaškėms perkelti į priešingos lentos pusės tris eiles. Ėjimai daromi pagal chalmos taisykles: pirma, šaškę galima įstrižai perkelti ant gretimo juodo langelio pirmyn arba atgal ir, antra, leidžiama įstrižai peršokti per vieną arba kas antrą per kelias šaškes. Šokinėjant per šaškes, galima grįžti atgal, paskui vėl pirmyn; jeigu šaškės stovi kas langelis, tai visą sudėtingą šuolį galima atlikti vienu ėjimu. Taip pat, kaip ir chalmoje, nebūtina peršokti per visas galimas šaškes; nuoseklių šuolių seriją leidžiama nutraukti bet kurioje vietoje nepriklausomai nuo to, ar galima ją pratęsti.
Sprendžiant uždavinį, juodus langelius patogu numeruoti iš kairės į dešinę ir iš viršaus į apačią skaičiais nuo 1 iki 32 (3 pav.).

3 pav. Lentos numeracija

2.3. Soliteris
„Man didžiulį malonumą teikia žaidimas, vadinamas soliteriu, — 1716 metais rašė vokiečių matematikas Gotfridas Leibnicas viename iš laiškų. — Tik aš jį žaidžiu ne taip, kaip visi: pagal žaidimo taisykles, peršokus per langelį, reikia nuimti jame stovintį kauliuką, o aš labiau mėgstu atstatinėti tai, kas sugriauta, — užpildyti kauliukais visus tuščius langelius, kuriuos peršoka mano kauliukas. Be to, kyla naujas uždavinys: kaip iš kauliukų sukurti užsibrėžtą figūrą, jeigu žinoma, kad, laikantis įprastų taisyklių, ją galima sugriauti. „Bet kam visa tai?“. Atsakysiu: „Tam, kad tobulintume sugebėjimus išrasti nauja, nes mums būtina mokėti kurti visa, ką tik galima sugalvoti, vadovaujantis sveika nuovoka“.
Dvi paskutiniosios laiško frazės turi šiek tiek miglotą prasmę. Galbūt jos reiškia, kad bet kokią loginę ar matematinę struktūrą verta nagrinėti atidžiau.
Joks kitas žaidimas su kauliukais ant specialios lentos ilgai nebuvo taip plačiai žinomas, kaip soliteris. Šio žaidimo kilmė nežinoma. Jo išradimas kartais priskiriamas kažkokiam kaliniui, kalėjusiam Bastilijoje. Šis žaidimas buvo plačiai paplitęs Prancūzijoje praėjusio amžiaus pabaigoje.
Soliteriui žaisti reikia lentos su duobutėmis, į kurias dedami rutuliukai, arba su kiaurymėmis, į kurias smeigiami paprasti kaišteliai. Soliterį sėkmingai galima žaisti ir su kauliukai ar monetomis, nusibraižius lentą popieriaus lape (4 pav.). Kaip tik ant tokios lentos su trisdešimt trimis langeliais dažniausiai žaidžiamas soliteris Anglijoje, JAV. Prancūzai šią lentą papildo dar keturiais langeliai. Vakarų Europos šalyse galima aptikti abi lentų rūšis, tačiau prancūzų variantas žymiai mažiau paplitęs. Tai paaiškinama, matyt, tuo, kad prancūzų lentoje neįmanoma žaidimo pabaigoje palikti vieną kauliuką, jeigu partijos pradžioje buvo užimti visi, išskyrus centrinį, langeliai.

Langelius įprasta numeruoti dviženkliais skaičiais: pirmasis skaitmuo reiškia stulpelio numerį, skaičiuojant paeiliui iš kairės į dešinę, antrasis — eilutės numerį, skaičiuojamą iš apačios į viršų.
Svarbus ir paprastai vienintelis skirtumas yra tas, kad visuose lentos langeliuose, išskyrus centrinį, sustatomi kauliukai. Žaidimo tikslas pasiekti, kad po daugelio „šuolių“ lentoje liktų tik vienas kauliukas. Baigtis atrodo ypač puiki, jeigu paskutinysis kauliukas lieka centriniame langelyje. „Šuolis“ reiškia štai ką: kauliukas perkeliamas į laisvą langelį per bet kurį gretimą kauliuką, tuo metu nuimamą nuo lentos. Šie šuoliai labai primena šaškių šuolius. Vienintelis skirtumas tas, kad, žaidžiant soliterį, kauliukus galima perstatinėti kairėn, dešinėn, viršun ir žemyn, bet draudžiama eiti įstrižai.
Kiekvienas ėjimas būtinai turi būti šuolis per kauliuką. Jeigu eilinis šuolis negalimas, žaidimas baigiamas, anot šachmatininkų, matu. Kiekvienas kauliukas vienu ėjimu gali paeiliui atlikti tiek šuolių, kiek leidžia susidariusi ant lentos pozicija, bet padaryti visus šuolius nebūtina. Bet kuri vienas paskui kitą einančių šuolių virtinė laikoma vienu ėjimu. Aišku, kad galvosūkiui išspręsti reikia trisdešimt vieno šuolio, bet ėjimų gali būti ir mažiau, nes keletas šuolių gali sudaryti vieną virtinę — vieną ėjimą.
Niekas nežino, kiek yra skirtingų būdų, kuriuos taikant, galima pereiti nuo pradinės pozicijos prie vienintelio kauliuko, likusio centriniame langelyje. išspausdinta daugybė sprendimų, bet jų sąrašas toli gražu nepilnas.
Kiek mažiausiai ėjimų reikia atlikti, kad iš trisdešimt dviejų kauliukų, sustatytų ant lentos žaidimo pradžioje, liktų tik vienas? Gana ilgai buvo manoma, kad tam reikia bent šešiolikos ėjimų, bet 1963 metais Haris O. Devis išnagrinėjo atvejį, kai pradinėje pozicijoje paliekamas tuščias 55-asis arba 52-asis langelis, arba vienas langelių, į kuriuos jie pereina, pasukant lentą ir atspindint ją veidrodyje. Pasirodė, kad, taip pradedant, pakanka penkiolikos ėjimų. Sakykim, žaidimo pradžioje tuščias 55 langelis, o pabaigoje kaip tik jame lieka paskutinis kauliukas. Tuomet Devio sprendimas yra toks: 57—55, 54—56, 52—54, 73—53, 43—63, 37—57—55—53, 35—55, 15—35, 23—43—45—25, 13—15—35, 31—33, 36—56—54—52—32, 75—73—53, 65—63—43—23—25—45, 51—31—33—35—55. Kai pradinėje pozicijoje tuščias 52 langelis, uždaviniui išspręsti reikia penkiolikos ėjimų, be to, paskutinysis kauliukas lieka 55 langelyje.
Drauge su Deviu dirbęs Veidas E. Filpotas, gavęs daug svarbių rezultatų soliterio žaidimo teorijoje, žaidžiant ne tik ant tradicinių, bet ir ant izomerinių (trikampių) lentų.
Uždavinys, kuriame ir pradinis, ir galinis yra centrinis langelis, laikomas klasikiniu. Žinoma daugybė jo sprendimų, kurių ėjimų skaičius nebūtinai minimalus. Neretai tie sprendimai nuostabiai simetriški. Išnagrinėsime vieną pavyzdį.
„Židinys“: 42—44, 23—43, 35—33, 43—23, 63—43, 55—53, 43—63, 51—53, 14—34—54—52, 31—51—53, 74—54—52, 13—33, 73—53, 32—34, 52—54, 15—35, 75—55. Padarę visus išvardytus ėjimus, pamatysite, kad uždavinys atitinka poziciją „Židinys“, pavaizduotą 5 paveiksle.
Soliterio žaidimo matematinė teorija išnagrinėta dar labai silpnai. Atskirai imant, iki šiol lieka neišspręstas vienas pagrindinių įdomiosios matematikos uždavinių: išmokti nustatyti, ar galima kokią nors poziciją, susidariusią žaidžiant, laikyti iš anksto užsibrėžtu paprastesniu figūrų išdėstymu. Matematikos dėstytojui M. Čerošui pavyko įrodyti daug teoremų, kuriomis remiantis, galima iš karto teigti, kad kai kurie uždaviniai, kilę, žaidžiant soliterį, apskritai neturi sprendinio.
Čerošo metodą pritaikysime klasikiniam uždaviniui, kai žaidimo pabaigoje yra laisvas tik vienas centrinis langelis. Iš karto matyti, kad iš kiekvienos lentos eilės galima nuiminėti po tris kauliukus tol, kol liks tušti tik kurie nors tušti langeliai, pavyzdžiui, 45 ir 43. kadangi jie kartu su centriniu langeliu sudaro galimą langelių trejetą (trys gretimi langeliai vertikaliai), galime nuimti stovinčius juose kauliukus, o vieną kauliuką pastatyti centre. Taigi parodėme, kad pradinė pozicija, turinti pilną kauliukų rinkinį ir tuščią langelį lentos centre, yra ekvivalenti pozicija su vieninteliu kauliuku, stovinčiu centriniame langelyje. iš čia išplaukia, kad uždavinys, kuriame susidaro tokia pradinė pozicija, išsprendžiamas.
1960 metais inžinierius Noblas D. Karlsonas iškėlė įdomų klausimą: kokie mažiausi matmenys kvadratinės lentos, nuo kurios galima, laikantis soliterio žaidimo taisyklių, nuimti visus kauliukus, išskyrus vieną, kai pradinėje pozicijoje tuščias langelis buvo kvadrato kampe? Remiantis Čerošo metodu, nesunku parodyti, kad iškeltos sąlygos nepatenkina kvadratai, kuriuose išilgai kraštinės yra nedalus iš trijų langelių skaičius. Tačiau galima įrodyti, kad ant kvadratinės lentos 3×3 uždavinys neišsprendžiamas. Todėl Karlsono uždaviniui išspręsti labiausiai tiks kvadratas 6×6 (6 pav.). Jeigu sprendimas egzistuoja, paskutinysis kauliukas turi likti arba kairiajame viršutiniame langelyje, kuris žaidimo pradžioje buvo tuščias, arba viename iš trijų jam ekvivalenčių langelių (kairįjį viršutinį langelį pažymėjus 1 ir tęsiant numeraciją iš kairės į dešinę, pirmajam bus ekvivalentūs 4, 19 ir 22 langeliai). Ar turi Karlsono uždavinys sprendinį? Taip, turi. Pats Karlsonas sugalvojo dvidešimt devynių ėjimų sprendimą, be to, paskutinysis kauliukas lieka 22 langelyje.
Standartinę soliterio žaidimo pradinę poziciją (tuščias langelis lentos centre) galima pertvarkyti į neišsprendžiamą poziciją, padarius iš viso tik keturis ėjimus: šuolį į centrą, šuolį per centrą, vėl šuolį į centrą ir dar kartą šuolį per centrą. Pirmąjį ir paskutinįjį ėjimą reikia daryti viena kryptimi. Keturiais ėjimais galima sudaryti tik vieną neišsprendžiamą poziciją (mažesniu ėjimų skaičiumi sudaryti neišsprendžiamą poziciją iš viso negalima). Penkiais ėjimais galima sudaryti dvi neišsprendžiamas pozicijas.

2.4. Žaidimas virvute
Panašiai kaip japonų popieriaus lankstymo senovės menas — origami — žavus figūrų, kurias galima išlankstyti iš paprasto švaraus popieriaus lapo, įvairove, žaidimai virvute, arba kaip juos vadina Anglijoje ir JAV, „kačių lopšeliai“, žavūs žaismingų ir nepaprastai gražių raštų, kuriuos galima išpinti įprasta virvės kilpa, įvairove. Žaidimui reikia labai paprasto inventoriaus: paimti maždaug pusantro metro ilgio virvutę ir surišti jos galus. Gautąją kilpą galimą laikyti paprastos uždaros kreivės modeliu. Atliekant visokias manipuliacijas virvute, nesikeičia tik virvutės ilgis ir jos topologinės savybės, todėl žaidimą virvute galima laikyti topologiniu žaidimu plačiąja prasme.
Žaidimai virvute skirstomi į du pagrindinius tipus: pirmajam priklauso visokie „išnarpliojimai“ ir „suraišiojimai“, antrajam — virviniai raštai. Pirmojo tipo žaidimuose atrodo, jog virvutė tarytum apraizgyta apie kažkokį daiktą ir net perpinta su juo, tačiau, patraukus virvutę už galo, ji, jūsų nuostabai, stebuklingai išsinarplioja. Kitame to paties tipo žaidimo variante virvutė nesuprantamu būdu suveržia kokį nors daiktą. Šių žaidimų yra labai įvairių: virvutė perkišama per švarko kilpą ir surišama mazgu, paskui, vos tik truktelėta už galo, ji keistu būdu atsiriša, kilpos, užmestos ant kaklo, rankos, kojos (ir net ant nosies), nesuprantama kaip išsileidžia ir t. t. Kartai virvutė užmezgama ant kieno nors smiliaus. Po kelių žaismingų triukų belaisvis išlaisvinamas. Yra daugybė apgavikiškų fokusų, kuriuos seniau demonstruodavo mugėse, variantų.
1.4.1. Pirmojo tipo žaidimai
Visai kitas fokuso tipas yra žiedo nuėmimas nuo per jį perkištos virvelės kilpos. Virvelės kilpą, prakištą pro žiedą, užmaukite ant abiejų žiūrovo rankų nykščių (7 pav.). Paprasčiausia žiedą nuimti taip. Ištiestą kairės rankos pirštą uždėkite ant abiejų virvelių taške A. Dešine ranka paimkite virvelę, kuri arčiau jūsų, taške B ir, pakėlę ją, užnerkite ant žiūrovo dešinės rankos nykščio (jums iš kairės) rato judesiu (iš pradžių į save, paskui nuo savęs). Pamažu lenkite kairės rankos smilių, kad abi kilpos atšakos įsitemptų. Patraukite žiedą kuo daugiau į kairę. Dešine ranka paimkite viršutinę virvutę žiedo dešinėje ir kilstelėję užnerkite ją ant žiūrovo dešinės rankos nykščio (šį kartą rato judesys turi būti atvirkščias pirmajam: iš pradžių nuo savęs, paskui į save).
Sustokite ir paprašykite žiūrovą stipriai suspausti abiejų rankų nykščių ir smilių galus, „kad kilpa negalėtų nusmukti“. Paimkite žiedą dešine ranka ir paprašykite žiūrovą, jums suskaičiavus iki „trijų“, išskėsti rankas. Sukomandavę „trys“, ištraukite kairės rankos smilių iš kilpos. Žiedas liks jūsų dešinėje rankoje, o virvinė kilpa — ant žiūrovo pirštų. Šis fokusas ypač patinka vaikams, nes jis labai parastas, ir jie gali be vargo demonstruoti jį savo draugams.
8 paveiksle fokusas apie daikto „išlaisvinimą“. Pririškite žirkles prie vieno virvutės galo taip, kaip parodyta paveiksle, o kitą virvutės galą pririškite prie kokio nors pagaliuko. Reikia „išlaisvinti“ žirkles, neperkirpus virvutės ir neatrišus jos nuo pagaliuko. Šis galvosūkis labai paprastas, tad skelbti jo atsakymo neverta, nors daugeliui jis atrodys sunkus.
1.4.2. Antrojo tipo žaidimai
Šiam tipui priklauso įvairūs raštai ir figūros, kurias galima išpinti iš virvutės kilpos, užnertos ant abiejų rankų. Virvelinių raštų pynimo menas buvo labai paplitęs daugelio civilizacijų vystimosi pagrindiniame etape. Virveliniai raštai buvo viena pagrindinių pramogų daugelyje eskimų kartų. Gana išvystytas virvelinių raštų menas tarp Šiaurės Amerikos indėnų ir Australijos aborigenų, Naujosios Zelandijos, Karolinų, Havajų ir Maršalų salų, Filipinų, Naujosios Gvinėjos čiabuvių. Per daugelį šimtmečių virvelinių raštų pynimo menas šiose tautose (ypač eskimų) taip ištobulėjo, kad galėtų sėkmingai varžytis su figūrų išlankstimo iš popieriaus menu, paplitusiu Rytų šalyse ir Ispanijoje. Buvo sugalvota tūkstančiai raštų. Kai kurie jų buvo tokie sudėtingi, jog iki šiol dar neišaiškinta, pagal kokią operacijų seką būtų galima „ant pirštų“ gauti tuos raštus. Pirmykščių genčių meistrai pynė savo raštus nepaprastai greitai, dažniausiai tik rankų pirštais (nors kartais prireikdavo dantų ir kojų pirštų). Be to, neretai demonstravimą papildydavo kokia nors daina ar įdomios istorijos pasakojimas.
Virveliniai raštai paprastai buvo vadinami pagal tuos daiktus, kuriuos jie primindavo. Dauguma tų „realistinių“ figūrų pasirodo pinant: tarp abiejų rankų delnų netikėtai blyksteli žaibo zigzagas, lėtai leidžiasi saulė, šuoliuoja žirgas, raitosi gyvatė ir t. t.
Papasakosiu jums kaip reikia supinti „Jokūbo kopėčias“. Reikia paimti pusantro metro minkštą virvę, surišti jos galus ir „parodyti, ką gali“. Truputį pasipraktikavus, „Jokūbo kopėčias“ galima supinti greičiau kaip per 10 sekundžių.
Pradinė padėtis tokia pati, kaip daugelio virvelinių raštų: kilpa uždėta ant abiejų rankų nykščių ir mažylių pirštų (9 pav., a). Dešinės rankos smiliumi užkabinkite virvę tarp kairės rankos mažylio piršto ir nykščio ir, nenuleisdami virvės nuo smiliaus, gražinkite dešine ranka į pradinę padėtį. Kairės rankos smiliumi užkabinkite virvę tarp dešinės mažylio ir nykščio (kairės rankos smilius šiuo atveju turi pralįsti pro virvę, užkabintą ant dešinės rankos smiliaus) ir patraukite kairę ranką į kairę. Gausite figūrą, kuri parodyta 9 paveiksle, b. Išlaisvinę abiejų rankų nykščius ir įtempę virvę, gausite figūrą, pavaizduotą 9 paveiksle, c. Pasukite rankas delnais nuo savęs, kad būtų patogiau nykščių galais užkabinti tolimiausią virvės dalį taškuose, 9 paveiksle, c, pažymėtas raidėmis A. Užkabinę atsukite rankas atgal į pradinę padėtį. Dalis, buvusi toliausiai nuo jūsų, pralįs po visomis kitomis virvės dalimis ir bus arčiausiai jūsų (9 pav. d). sulenkite nykščius virš artimiausių virvės dalių ir užkabinkite jais kitas dalis taškuose, 9 paveiksle, d, pažymėtus raidėmis A. Numeskite kilpas nuo mažylių pirštų. Gausite 9 paveiksle, c, pavaizduotą virvelinę figūrą.
Dabar mažuosius pirštus sulenkite virš artimiausių jiems virvės dalių ir vidine mažųjų pirštų puse užkabinkite virvę taškuose, 9 paveiksle, e, pažymėtais raidėmis A. Išlaisvinę nykščius, gausite figūrą, pavaizduotą 9 paveiksle, f. Sulenkite nykščius virš dviejų artimiausių jiems virvės dalių ir vidine jų puse užkabinkite kitas (trečias nuo jūsų) virvės dalis taškuose, 9 paveiksle, f, pažymėtus raidėmis A. Grąžinkite nykščius į pradinę padėtį. Gausite 9 paveiksle, g, pavaizduotą figūrą.
Dešinės rankos nykščiu ir smiliumi suimkite virvę taške A (9 pav., g), patraukite į save ir užmeskite kilpą ant kairės rankos nykščio. Tuomet paimkite kilpą, kuri jau buvo uždėta ant kairės rankos nykščio, taške B (9 pav., g) ir pakelkite tą kilpą, drauge nuleisdami ją nuo nykščio. Šitoks kilpų pasikeitimas dažnai pasitaiko virveliniuose raštuose. Kaire ranka atitinkamai sukeiskite kilpas ant dešinės rankos nykščio. Po visų operacijų turi išeiti 9 paveiksle, h, pavaizduota figūra.
Dabar jau viskas paruošta paskutiniam judesiui. Sulenkę smilius, iškiškite jų galus į mažus trikampius, 9 paveiksle, h, pažymėtus raidėmis A. Išvaduokite iš kilpų mažylius pirštus ir kartu pasukite abi rankas delnais nuo savęs, kuo stipriau išskėtę nykščius ir smilius. Ištempkite virvę. Jeigu viską atlikote teisingai, pamatysite kilimėlį iš rombų, kuris pavaizduotas 9 paveiksle, i. Netikėtas gražių raštų susidarymas iš virvelinių pynių chaoso yra viena iš maloniausių daugelio manipuliacijų virvute savybių.

2.5. Matematiniai žaidimai specialiose lentose
2.5.1 Prancūzų karinis žaidimas
Per 1970 — 1980 metus pastebimai pradėta domėtis matematiniais žaidimais, kurie žaidžiami specialiose lentose. Niekuomet dar tiek žmonių nežaidė nei tradiciniais šachmatais, nei nuolat pasirodančių naujų žaibimų. Daugėja matematikų, tyrinėjančių šių žaidimų strategiją. Visų žaidimų taisyklės labai paprastos, lentas jiems nesudėtinga nupiešti ant popieriaus arba kartono. Žaidimai tikrai patiks visiems nuo mažo iki didelio.
Prancūzų karinis žaidimas yra puikus žaidimo vienas prieš vieną pavyzdys. Jame labai paprastos taisyklės derinamos su labai įmantria strategija. Šis žaidimas buvo populiarus prancūzų kariniuose sluoksniuose per visą 1870 —1871 metų prancūzų-prūsų karą ir po jo. Deja, nuo to laiko šis žaidimas visai pamirštas.
Šio žaidimo laukas pavaizduotas 10 paveiksle. Siekiant suprastinti taisyklių aiškinimą, skrituliukai sunumeruoti. Vienas žaidėjas („baltieji“) turi tris kauliukus, kuriuos jis žaidimo pradžioje stato ant trijų šviesių skrituliukų: A, 1 ir 3. Antrasis žaidėjas („juodieji“) turi iš viso vieną kauliuką, kuris prieš žaidimo pradžią užima 5 skrituliuką. Žaidėjai daro ėjimus iš eilės; pradeda baltieji. Juodasis kauliukas gali pereiti ant bet kurio gretimo lizdelio. Baltasis kauliukas eina taip pat, bet jam draudžiama judėti atgal, t. y. jis gali pereiti ant bet kurio gretimo lizdelio, esančio kairėje, dešinėje arba priekyje nuo to skrituliuko, ant kurio jis yra. Kauliukai vienas kito „nenumuša“. Baltieji laimi tuo atveju, jeigu jiems pavyksta uždaryti juodąjį kauliuką, t. y. įvaryti jį į skrituliuką, iš kurio šis negalės padaryti nė vieno ėjimo. Paprastai juodasis kauliukas tuo atveju papuola į skrituliuką B, bet kartais tokia pati situacija susidaro, juodiesiems užėmus 4 arba 6 skrituliuką. Visais kitais atvejais laimi juodieji. Juodieji, siekdami pergalės, turi visą laiką savo vienintelį kauliuką laikyti už varžovo kauliukų, neduodami progos varžovui užeiti iš užnugario. Juodieji laimi ir tuo atveju, kai tie patys ėjimai pradeda kartotis be galo daug kartų.
Išmokti žaisti šį žaidimą ne sudėtingiau, negu žaisti kryžiukais ir nuliukais, bet jis žymiai azartiškesnis, ir jo analizė sudėtingesnė. Eduardas Liuka sugebėjo parodyti, kad baltieji, racionaliai žaisdami, gali kiekvieną partiją laimėti, tačiau paprastos laimėjimo strategijos nėra ir žaidime visada gausu žabangų ir staigmenų. Geriausias iš pirmo žvilgsnio ėjimas pasirodo esąs blogiausias. Jeigu juodieji pakankamai patyrę, jie lengvai laimi prieš mažai įgudusį varžovą.
2.5.2. Topologinis žaidimas blekas
Topologoniai žaidimai — tai žaidimai, kuriuos žaisdami varžovai piešia kreives, vingiuojančias per visą lentą. 1960 metais Viljamas L. Blekas, dar būdamas studentu, ėmėsi tyrinėti heksą ir bridž-itą, dėl to atsirado naujas topologinis žaidimas, kurį išradėjo garbei draugai pavadino „bleku“.
Šiam žaidimui, aišku, galima paruošti nupieštų kvadratėlių rinkinį, tačiau jam gali praversti ir languotas popierius. Lentos matmenys bet kokie; geriausia turbūt standartinė lenta 8×8, bet, aiškinant taisykles, patogiau imti 4×4 dydžio žaidimo lauką. Kai laukas bus paruoštas, vienas varžovas pradeda žaidimą: langelyje, esančiame kairiajame viršutiniame kampe (11 pav.), pastato kryžių. Antras žaidėjas turi pritaikyti šiam kryžiui tęsinį, nupiešęs bet kuriame gretimame langelyje vieną iš trijų figūrų, parodytų apatinėje 11 paveikslo dalyje. Kiekvieną jų sudaro dvi linijos. Viena linija jau ant lentos nupieštos figūros tęsinys, antroji sujungia tas kvadratėlio kraštines, kurios nesusikerta su pirmąja linija.
Žaidėjai ėjimus daro peiliui. Kiekvienu ėjimu reikia pratęsti kreivę į vieną gretimų langelių, stengiantis, kad kreivė nesusikirstų su žaidimo lauko riba. Tas, kuris perkirs ribą, patirs pralaimėjimą. Žaidėjas laimės tuo atveju, jeigu jam pavyks nubrėžti kreivę iki subrūkšniuoto langelio dešiniajame apatiniame kampe. 11 paveiksle parodyta tipinė žaidimo ant sumažintos lentos schema. Įvaręs varžovą į dešinįjį viršutinį kampą, pirmasis žaidėjas laimi, nes nepriklausomai nuo pasirinkto tęsinio kreivė turi susikirsti su lentos riba.
Bleko žaidimas itin įdomus dėl to, kad netrukus po jo pasirodymo Bleko bičiulis ir mokslo draugas Elvinas R. Berlkempas surado strategiją, garantuojančią pergalę vienam žaidėjų. Ši strategija taikoma bet kokių matmenų su bet kokiu kraštinių santykiu stačiakampiams laukams. Sužinoję teisingą strategiją, jūs tuoj pat nustosite domėtis žaidimu, bet aš jums ją papasakosiu.
Iš pradžių išnagrinėsime, kaip žaidžiama lentoje su nelyginiu langelių skaičiumi, pavyzdžiui, lentoje 5×5. tuomet pirmojo žaidėjo strategijos esmė yra įsivaizduoti, kad visa lenta, išskyrus vieną langelį dešiniajame apatiniame kampe, padengtą domino kauliukais (12 pav.). Iš tikrųjų jokių domino, aišku, nėra. Antrasis žaidėjas kiekvienu ėjimu pratęsia kelią nauju domino kauliuku, o pirmasis žaidėjas turi veikti taip, kad kelias liktų ant to paties kauliuko, ant kurio jis baigėsi prieš tai buvusiu kauliuku. Aišku, kad galų gale jis arba bus priverstas perkirsti ribą, arba atsidurs ant ribos langelio, esančio dešiniajame apatiniame kampe.
Pereisime prie lentų, turinčių lyginį langelių skaičių. Šiuo atveju antrojo žaidėjo laimėjimo strategija šiek tiek sudėtingesnė. Jis turi įsivaizduoti, kad domino kauliukais padengta visa lenta, išskyrus viršutinį kairįjį ir apatinį dešinįjį kampinį langelį.
Kadangi šie du langeliai yra vienos spalvos (tarkime, kad lenta nuspalvinta taip pat, kaip šachmatų), visų kitų langelių, aišku, negalima ištisai padengti domino kauliukais, nes du vienos spalvos langeliai visuomet liks atidengti. Elvinas R. Berlkempas, nuodugniai ištyręs bleko žaidimą, šiuos du langelius vadina „parskeltu domino“ ir, atsižvelgdamas į tai, siūlo tokį sąmoningą manevrą.
Pirmasis antrojo žaidėjo ėjimas pavaizduotas 13 paveikslo viršuje. Tuomet pirmasis žaidėjas priverstas eiti į antrą pagrindinės įstrižainės langelį. Tuomet trys atsirandančios galimybės parodytos 13 paveiksle. Visais trimis atvejai linija, nepriklausanti tolydžiai kreivei, jungia du vienos spalvos langelius. Tie du langeliai, 13 paveiksle pažymėti raidėmis S, laikomi „perskeltu domino“, o visus kitus langelius (išskyrus vieną kvadratėlį dešiniajame apatiniame kampe) dabar galima padengti paprastais domino kailiukais. Padengimo būdas, kaip ir anksčiau, gali būti bet koks. Lentoje su nelyginiu langelių skaičiumi taikydamas domino metodą, antrasis žaidėjas laimi.
2.6. Žaidimas 15 ir kiti galvosūkiai
„Seni galvosūkių šalies gyventojai tikriausiai prisimena, — rašė Semas Loidas savo knygoje, — kaip septintojo dešimtmečio pradžioje aš išjudinau visą pasaulį maža nedidelių kubelių prikrauta dėžute, kurią pavadinau žaidimu 15.“
Žaidimas 15 — yra penkiolika sunumeruotų kubelių kvadratinėje dėžutėje taip, kaip vaizduojama 14 paveiksle. Perkeliant iš eilės po vieną kubelį, reikėdavo pasiekti, kad 14 ir 15 numeriai pasikeistų vietomis ir kad visi kubeliai gulėtų iš eilės, be to, viską perstačius, apatinis dešinysis kampas turi būti laisvas, kaip ir žaidimo pradžioje.
Visuotinis susidomėjimas šiuo žaidimu greit apėmė ir Angliją, ir Europą. „Žmonės tiesiog paišo per tą galvosūkį. — tęsė Loidas. — iš lūpų į lūpas keliavo pasakojimai apie krautuvininką, pamiršusį atidaryti savo parduotuvę, apie šventiką, kuris po gatvės žibintu prastovėjo ilgą žiemos naktį, vildamasis prisiminti, kaip jam pavyko išspręsti uždavinį.
Keletui matematikų paskelbus, kad šio galvosūkio išspręsti negalima, juo pradėta mažiau domėtis. Bet tai buvo netiesa.
Jeigu stumdomi ne kvadratukai, o įvairios figūros, žaidimo 15 teorijos, pasirodo, pritaikyti negalima. Loido galvosūkio pasisekimas padėjo atsirasti daugybei analogiškų galvosūkių, kuriuose naudojamos įvairiausių formų figūros.
Šiuos galvosūkius galima spręsti vienam, be partnerio. Specialiai tam pasiruošti nereikia: turint žirkles ir gabalą kartono, visa, ko reikia, galima paruošti tiesiog per keletą minučių.
Vienas tų galvosūkių vaizduojamas 15 paveiksle, tai „Tėvuko galvosūkis“. Užduotis tokia: reikia, perstumiant po vieną figūrą, neperkeliant vienos per kitą ir neišeinant iš didžiojo stačiakampio ribų, perstumti kvadratą 1 iš kampo A į kampą B.
Perstumti kvadratą į kampą B nesudėtinga. Tam tikslui figūros pastumiamos tokia tvarka: 5, 4, 1, 2, 3, 4 (aukštyn ir dešinėn), 1, 6, 7, 8, 9, 5, 4, 1, 6, 7, 8, 9, 4 (kairėn ir žemyn), 8, 7, 6, 2, 3, 1. pateiktasis sprendinys sudarytas iš minimalaus skaičiaus, lygaus 25, ėjimų. Dideliam kvadratui iš kampo A į kampą C perstumti reikės ne mažiau kaip 59 ėjimų.
Niekas nežino, kaip atsirado šis nuostabus galvosūkis. 1926 metais Amerikoje jis buvo pardavinėjamas kaip „Tėvuko galvosūkis“.
Taip pat yra ir daugiau įvairiausių tokio tipo galvosūkių. Tai „Rudas asilas“, „Penketukas vienoje eilėje“, „Močiutės galvosūkis“ „Tigras“ ir daug kitų.

3. UŽDAVINIAI

Mano aprašytų žaidimų uždaviniai yra gana įdomūs, pritraukiantys, verčiantys pagalvoti, reikalaujantys loginio mąstymo.
Dabar pateiksiu keletą uždavinių, o kitame skyrelyje ir jų sprendimų atsakymus.

1.
Chalma
Kaip ėjimais, kuriuos leidžia chalmos taisyklės, perkelti dvylika šaškių iš vieno lentos krašto į priešingą?

1 pav. Chalmos uždavinys

2.
Monetų rūšiavimas
Monetų rūšiavimas. Išdėstykite gretoje dvi 2 ct ir tris 5 ct monetas, kaip parodyta 2 paveikslo viršuje. Minimaliu ėjimų skaičiumi reikia sudaryti gretą, pavaizduotą paveikslo apačioje.
Daroma taip. Dviem pirštais, pavyzdžiui, didžiuoju ir smiliumi, prispauskite dvi gretimas monetas, išstumkite jas aukštyn iš gretos ir perstatykite į bet kurią įsivaizduojamos tiesės, pažymėtos punktyru, vietą. Paimtos monetos turi visą laiką liestis, ir jų negalima sukeisti vietomis: kairioji poros moneta visą laiką bus kairėje, dešinioji — dešinėje. Perstatinėjant monetas, tarp atskirų porų galima palikti bet kokius tarpus, tačiau pabaigoje visi tarpai turi būti užpildyti. Visa grandinėlė nebūtinai turi būti ištisai pradinėje vietoje, bet gali pasislinkti ir punktyrinė tiese.
Jeigu būtų galima perstatyti dvi vienodas monetas, galvosūkį būtų galima išspręsti trimis būdais, bet uždaviniui reikia keturių ėjimų. Taigi kokie jie?

2 pav. Galvosūkis su 2 ct ir 5 ct
monetomis

3.3.
Soliteris
Išspręskite šiuos soliterio uždavinius.

3 3 pav.
„Pasuktas kvadratas“ „Lempa“

4.
Penketukas
1934 metais Londone gimė penketukas. Tam įvykiui pažymėti buvo išleistas galvosūkis „Penketukas vienoje eilėje“. Penki rutuliukai vaizduoja penkių vaikų galvutes. Užduotis tokia: 4 paveikslo viršutiniame kadre vaizduojamą poziciją reikia pertvarkyti į kitą poziciją, vaizduojamą to paties paveikslo apatiniame kadre.

4 pav. „Penketukas vienoje eilėje“

5.
Logika
Loginio pobūdžio uždavinys.
Žaisdami mokiniai susiskirstė į dvi grupes: į „rimtuosius“, kurie teisingai atsako į bet kurį klausimą, ir į „pokštininkus“, kurie į bet kuriuos klausimus atsako neteisingai.
Tai sužinojęs mokytojas paklausė Mindaugo, ar jis rimtas mokinys, ar pokštininkas. Neišgirdęs Mindaugo atsakymo, jis paklausė Dariaus ir Kęstučio, sėdėjusių greta su Mindaugu: „Ką sakė man Mindaugas?“, Darius atsakė: „Mindaugas rimtas“, o Kęstutis: „Mindaugas pokštininkas. Kuo buvo Darius ir Kęstutis?

6.
Liūtai ir tigrai
Liūtai ir tigrai.
Tramdytojui reikia išvesti 5 liūtus ir 4 tigrus į cirko areną. Keliais būdais galima sustatyti tuos žvėris į eilę, jei du tigrai negali eiti vienas paskui kitą?

7.
Perstatymas
Kiek yra būdų perstatyti žodžio „anonimas“ raides taip, kad dvi balsės nestovėtų greta?

8.
Liuko uždavinys
Liuko uždavinys.
Šaškės išdėstomos 5 paveiksle nurodyta tvarka. Reikia baltąsias šaškes sukeisti vietomis su juodosiomis, keliant baltąsias tik į dešinę, o juodąsias tik į kairę, kad bet kuri šaškė būtų perkeliama arba į kaimyninį tuščią langelį, arba į tuščią langelį, esantį tuoj po artimiausios kitos spalvos šaškės.

5 pav.

9.
Pastabumas
Uždavinys „geometriniam pastabumui“ ugdyti.
Kiek trikampių, kvadratų ir stačiakampių yra 6 paveiksle?

6 pav.

10.
Moneta
Moneta metama keturis kartus.
a) Surašykite šio bandymo baigčių erdvę.
b) Koks baigčių erdvės dydis?
c) Surašykite baigtis, sudarančias įvykį, kai atvirsta lygiai du herbai.
d) Laikydami monetą idealia, raskite punkto c) įvykio tikimybę.

4. UŽDAVINIŲ ATSAKYMAI

Praeitame skyrelyje jums pateikiau keletą uždavinių ir jūs galėjote pabandyti patys juos išsispręsti. Dabar galite pasitikrinti ar gerai išsprendėte.

1.

Sunku įsivaizduoti, kaip galima šaškes perkilnoti mažiau kaip 20 ėjimų. Sunumeravus lentos juodus langelius galime parodyti kaip reikia išspręsti šį uždavinį mažiausiu ėjimų skaičiumi.

Pateiktas sprendimas yra simetriškas. Šiaip tai nėra vienintelis 20–ies ėjimų sprendimas.

2.

Monetos viršutiniame paveiksle laikomos sunumeruotos iš kairės į dešinę. Šis uždavinio sprendimas turi keturis ėjimus:
1) 3 ir 4 monetas perkelti į dešinę nuo 5 monetos, paliekant tarp 3 ir 4 dviejų monetų pločio tarpą;
2) 1 ir 2 monetas perkelti į dešinę nuo 3 ir 4 taip, kad 1 ir 4 monetos liestųsi;
3) 4 ir 1 monetas įstumti į tarpą tarp 5 ir 3 monetos;
4) 5 ir4 monetas įstumti į tarpą tarp 3 ir 2 monetų.

3.

Tai sprendimai, minimaliu ėjimų skaičiumi:
„Pasuktas kvadratas“ — aštuoniais ėjimais: 55 — 75, 35 — 55, 42 — 44, 63 — 43 — 45 — 65, 33 — 35 — 37 — 47 — 55 — 53 — 51 — 31 — 13 — 15 — 35, 75 — 55, 74 — 54 — 56 — 36 — 34, 24 — 44.
„Lempa“ — dešimt ėjimų: 36 — 34, 56 — 54, 51 — 53 — 33 — 35 — 55, 65 — 45, 41 — 43, 31 — 33 — 53 — 55 — 35, 47 — 45, 44 — 46, 25 — 45, 46 — 44.

4.

Penketuką galima išrikiuoti į vieną eilę 30 ėjimų: 9, 8, 1, 2, 3, 6, 8 (aukštyn ir kairėn), 2, 5 (dešinėn ir žemyn), 3, 6, 8 (aukštyn ir kairėn), 9, 2, 8, 6, 3, 1 (dešinėn ir žemyn), 6, 3, 5 (aukštyn ir dešinėn), 1 (dešinėn ir žemyn), 7, 1 (kairėn), 8, 5 (žemyn), 3, 6 (iki vidurio), 4, 9.

5.

Reikia suvokti, kad kuo bebūtų Mindaugas, į dėstytojo klausymą — ar jis rimtas mokinys, ar pokštininkas — galėtų atsakyti tiktai taip: „aš rimtas“. Tačiau tuomet aišku, kad Darius — rimtas žmogus, o Kęstutis — pokštininkas.

6.
Iš pradžių sustatykime visus liūtus, tarp jų palikdami tarpus. Tai padaryti yra 5! = 120 būdų. Tarpų skaičius lygus 4. jei prie jų prijungsime dar dvi vietas — eilės priekyje ir užpakalyje, tai turėsime 6 vietas, į kurias galima pastatyti po vieną tigrą. Tokiu atveju visi tigrai bus atskirti vienas nuo kito. Kadangi į tų tigrų eilę irgi reikia atsižvelgti, tai jų paskirstymo būdų skaičius lygus gretinių iš 6 po 4 skaičiui, t. y. A46 = 360. Kombinuodami kiekvieną liūtų sustatymo būdą su kiekvienu tigro sustatymo būdu, gauname 120  360 = 43 200 būdų plėšrūnams išvesti į areną.

7.

Ir balses, ir priebalses kaitalioti vietomis yra P(2, 1, 1) = 12 būdų. Jei priebalsės jau išdėstytos, tai balsėms lieka 5 vietos. Todėl pasirinkti balsių vietas galima C45 = 5 būdais. Iš viso turime 5  122 = 720 variantų.

8.

Po nesudėtingos analizės atmetus ėjimus, kuriais sudaromos neišsprendžiamos padėtys, nesunku rasti tokį sprendinį: bjjbbjjjjbbbbbjjjjjbbbbbjjjjbbbjjb; čia raidėmis b ir j nurodyta iš eilės perkeliamų šaškių spalva.

9.

Kvadratų — 31, trikampių —124, stačiakampių (skaičiuojant ir kvadratus) — 87.

10.
a) {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}.
b) 16
c) {HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH}.
d) P(atvirsta lygiai du herbai) = 6/16 = 3/8

AUTORECENZIJA

Manau, kad mano darbas atliktas gana neblogai. Laikiausi visų raštvedybos normų, pateikiau nemažai teorijos, žaidimų pavyzdžių, uždavinių, jų atsakymų. Estetinis vaizdas atrodo neblogai. Į šį projektą įdėjau daug darbo, bet manau, kad gerai įsigilinus dar būtų galima kai ką pataisyti ar papildyti.
Mano nuomone įvykdžiau savo užsibrėžtus tikslus ir gerai atlikau darbą.

REZIUMĖ

Pasirinkus šią projekto temą, mano tikslas buvo surasti ir išanalizuoti kai kuriuos matematinius žaidimus ir lošimus. Žaidimai gana įdomūs. Parašyta teorija paaiškina tikimybių sąvoką ir kam viso to reikia. Taip pat pateikiau keletą užduočių ir jų atsakymų.
Šį projektą bus galima naudoti kaip mokamąją priemonę jaunesniųjų klasių mokinių loginiam mąstymui lavinti.
Mano nuomone darbas buvo įdomus.

SUMMARY

While choosing the theme of this project I have had the aim to find and analyze some mathematic games and gambling’s. The games are quite interesting. The theory explains the definition of probability and why it is necessary. Also I have suggested some tasks and their answer-key.
This project can be used as an educational source for the youngsters and improving logical thinking.
To my mind, the work was quite interesting.

LITERATŪRA

1. P. Tannenbaumas, R. Arnoldas; „Kelionės į šiuolaikinę matematiką“; Vilnius; TEV; 1995.
2. N. Vilenkinas; „Kombinatorika“; Kaunas; ŠVIESA; 1979.
3. A. Domoriadas; „Matematiniai žaidimai ir sąmojo uždaviniai“; Kaunas; ŠVIESA; 1972.
4. M. Gardneris; „Matematika laisvalaikiu“; Kaunas; ŠVIESA; 1980.

PRIEDAI

Nr. 1

Topologinis žaidimas blekas

Nr. 2

Bridž-it lošimų lenta

Nr. 3

Lenta soliteriui žaisti

Nr. 4

Kaip supinti Jokūbo kopėčias

Nr. 5

Prancūzų karinis žaidimas

Nr. 6

Penketukas vienoje eilėje

Nr. 7

„Tėvuko galvosūkis“

Nr. 8

Žaidimas 15

Nr. 9

Fokusas su žiedeliu

Nr. 10

Kaip, neperpjovus virvutės, išlaisvinti žirkles

Magiškieji skaiciai

Kodėl diena žymima skaičiumi?Ką reiškia,kad dienos skaičiuojamos?Ir kodėl ne tik kalendoriuje-visur:vitrinose,žemėlapiuose,ant batukų,Baudžiamojo Kodekso staipsniuose,termometruose-visur skaičiai?

V.Ševčenko staipsnyje„Matematika-žvilgsnis iš viršaus ir vidaus“ primena,kad matematikai neapsunkina savo minčių,galvodami apie skaičių valdžią-viskas ir taip aišku.Tačiau,pavyzdžiui,pitagoriečiai,europietiškosios matematikos pradininkai,paskelbė postulatą:„Pasaulis panašus į skaičių“.Pasaulio harmonija buvo įteisinta skaičių natūralioje eilutėje.Ir nebūtinai remtis Pitagoru,kad nusilenktume jo atradimams.Sodininkas sodina medelius tvarkingomis eilutėmis,paklusdamas natūraliai tvarkai.O juk kaip tik į tokias eilutes ir „sodinami“skaičiai.

Numerologija-senovės mokslas apie skaičių,esančių žmogaus gimimo datoje,varde ir pavardėje,reikšmes bei jų įtaką įvairioms gyvenimo sritims.Senovės numerologijos mokslas seniai domino žmonių likimų tyrėjus.Tačiau Pitagoro skaičių pranašavimo sistema palietė ne tik asmeninį žmogaus gyvenimą bei jo veiklą,bet ir valstybines bei pasaulines problemas.

Magiškasis Pitagoro kvadratas

Pagal Pitagoro mokymą mūsų charakterio savybės,sveikata,bioenergija,žemiškumas,
sugebėjimai,potraukis vienai ar kitai profesijai daugiausiai priklauso nuo žmogaus gimimo datos.Žmogui gimstant,įvyksta absoliuti transformacija.Gimimo momentu žmogus peržengia laiko slenkstį ir įeina į naują realybę-žmogaus gyvenimo relybę.Gimimo momentu jūs jau asmenybė su savo charakteriu,likimu.Gimimo data kaip tik ir sąlygoja pateikto gyvenimo spektaklio senarijų.

Sudėkime visus savo gimimo datos skaičius(gimimo dienos,mėnesio ir metų).Gauto dviženklio skaičiaus skaitmenis sudėkime dar vieną ar du kartus,kol gausime vienaženklį elementarų skaičių(nuo 1 iki 9).Tai-gyvenimo kelio skaičius.Jeigu gautasis skaičius yra teigiamame.optimistiniame spektre,žmogus gyvenime tobulinsis ir pasieks tikslą.Jeigu pesimistiniame spektre-gyvenimas susiklostys netaip jau sklandžiai.

Smulkesnę analizę-žmogaus savybių prognozę-Pitagoras surašė į devynių langelių matematinę matricą,kurioje atsispindi visi gimimo datos skaičiai.

Pitagoro kvadrato skaičiavimas pagal gimimo datą

Tarkime,kad žmogaus gimimo data:26 04 1934.

Skaičiuojant būtina į kiekvieną žmogaus gimimo datą žiūrėti kaip į skaičių rinkinį,o ne į atskirus skaitmenis.Gimimo data užrašoma griežtai laikantis eiliškumo.

Užrašas:diena,mėnuo,metai(tos tvarkos nesudaryti!).

Kaip gimimo datos pavyzdį parašysime skaičių eilutę: 2 6 0 4 1 9 3 4.

Apskaičiuosime pirmąjį skaičių.

Pirmajam skaičiui skaičiuoti būtina sudėti visus gimimo datos skaitmenų eilutės skaičius.

2+6+0+4+1+9+3+4=29.Pirmasis skaičius-29 (I).

Skaičiuosime antrajį skaičių.

Antrasis skaičius gaunamas sudėjus skaitmenis,iš kurių sudarytas pirmasis skaičius ir jis nemažinamas iki 2 (11=1+1=2).Kitu atveju reikėtųkeletą kartų sudėti,kol gautume paprasčiausią skaičių (nuo 1 iki 9).Šis galutinis skaičius ir būtų antrasis skaičius.Mūsų atveju antrasis skaičius–11.

Apskaičiuosime trečiąjį skaičių.

Trečiajam skaičiui skaičiuoti būtina iš pirmojo skaičiaus (I) atimti visos eilutės pirmą skaitmenį (mūsų pavyzdyje tai 2),padaugintą iš pastovaus daugiklio-2 (du).

29-(2×2)=29-4=25.Trečiasis skaičius-25 (III).

Suskaičiuosime ketvirtąjį skaičių.

Ketvirtajam skaičiui skaičiuojant reikia sudėti skaitmenis,iš kurių yra sudarytas trečiasis skaičius.25=2+5=7.Ketvirtasisis skaičius-7 (IV).

Užrašome gautus skaičius po gimimo data:26 04 1934

29 11 25 7 (V)

Iš (V) išraiškos surašome vienodus skaitmenis į devinių langelių Pitagoro kvadratą.Pirmasis yra viršutiniame kairiajame kampe;antrasis–žemyn;trečiasis–dar žemiau.Vidurinysis aukščiausiai esantis langelis yra ketvirtas;žemiau jo–penktasis;po juo-šeštasis.Dešinysis aukščiausiai esantis langelis,yra septintasis;žemiau jo–aštuntasis;ir dar žemiau–devintasis.

Taigi matrica (vėliau ją mes vadinsime psichomatrica) atrodys taip:

Mūsų pavyzdyje–14 skaitmenų,vadinasi,žmogus gyvena 14-ąjį gyvenimą.Daugiau 15 skaitmenų negali būti .Pitagoras manė,kad žmogaus siela į kitus kūnus gali įsikūnyti tik iki penkiolikos kartų,o paskui (jeigu žmogus pasiekė savo tobulumą) pereiti į aukščiausiąją eterinę formą.

Numerologė Rybakova Ala Aleksandrova teigia,kad pirmasis skaičius (mūsų nagrinėtu atveju 29) atsako už žmogaus ateitį.Gauti pirmąjį skaičių mes naudojome sudėties veiksmą.Kadangi šis veiksmas atsako už skaitmens padidėjimą kažkokiu dydžiu,tai natūralu laikyti,kad gautasis skaičius ir atsako už žmogaus ateitį.

Pirmojo skaičiaus (29) skaitmenys 2 ir 9 parodo,kokias savybes būtina žmogui stiprinti,kad pasiektų savo tikslą.

Vadinasi,pirmieji minėti skaitmenys parodys būdingiausias savybes,kurias žmogus turi ugdyti,kad pasiektų savo tikslą.Mūsų pavyzdyje tai 2 ir 9:energija (2) ir protas (9).Taigi mūsų nagrinėtas žmogus turi stiprinti energiją ir atmintį.

Antrasis skaičius,kurį gavome sudėję 2 ir 9,rodo vyraujančią žmogaus savybę ir jo atsiradimo Žemėje pagrįstumo tikslą.Mūsų pavyzdyje tai 11 – valdžia,puikybė.Šiam žmogui būtina tapti lyderiu,nugalint savo puikybę (egojizmą,pasipūtimą).

Trečiąjį skaičių skaičiuojame daugindami ir atimdami,atimtį sumažindami (sugrįžimas atgal laiku).Trečiasis ir ketvirtasis skaičiai nurodo tas savybes,kurias žmugus gavo gimdamas.Galima teigti,kad tie skaičiai dažniausia „ parinkti“ gimdytojų.Mūsų pavyzdyje – tai 25:energija (2) ir intuicija (5),taigi pagrindinė savybė,gauta nuo gimimo,yra energija,pasisekimas ir intuicija.Ketvirtasis skaičius-7.Tai sėkmė,Angelo sargo apsauga.

Skaičių charakteristikos

SKAITMUO 1 psichomatricoje nusako žmogaus charakterį,jo valios savybę,jėgą siekiant valdžios,sugebėjimą apginti savo pažiūras.

SKAITMUO 2 Pitagoro skaitmeninėje sistemoje reiškia žmogaus energiją.Reikėtų suprasti,kad šia prasme energija-tai žmogaus veikla šeimoje,darbe,visuomenėje.Energija,pažymėta skaitmeniu 2,ne visai identiška žinomai žmogaus kūno organų energijai,kuri akupunktūroje vadinama Či (arba Ci) meridianu.Toliau mes sužinosime,kad energija per skaitmenų 2 ir 4 perėjimą susijungia su kūniškąja energiją.

SKAITMUO 3 psichomatricoje atsako už domėjimąsi mokslais ir pirmiausia tiksliaisiais bei technika;gilinimąsi į viską.

SKAITMUO 4 psichomatricoje atsako už žmogaus sveikatą.

SKAITMUO 5 psichomatricoje atsako už logiką ir intuiciją,o tai žmogui leidžia planuoti siekius ir analizuoti situacijas,išmanyti tiksliuosius mokslus ir techniką.

SKAITMUO 6-polinkis į fizinį darbą arba,esant tam tikromis sąlygomis,-polinkis į valdžios troškimą ar „juodąsias žinias“.Dar kitais žodžiais-žemiškumas arba asmenybės stabdymas valdžia.

SKAITMUO 7 susietas su pasisekimo (sėkmės) samprata.Kai kas šį skaimenį vadina anglo ženklu.Skaitmuo rodo pačios Gamtos interesą žmogui atsiskleisti.

SKAITMUO 8- vienas iš svarbiausių skaičių sutvarkant ir vertinant visą žmogaus psichomatricą,nes kaip tik jo pastovumas arba pasirodymas psichomatricoje nulemia daugelį savybių,būtinų žmogui.

SKAITMUO 9 psichomatricoje atsako už protą,atmintį ir aiškiaregystę.

Skaičių perėjimai

Kyla klausimas,ar visi žmonės su tokia pačia gimimo data,turės vienodas charakteristikas?Istorijoje tokių tvirtinimų nepateikta,kad buvo daug puškinų arba napoleonų.Išvada peršasi tokia.Psichomatricoje egzistuoja paslankios charakteristikos,galinčios ją pakeisti atsižvelgiant į konkrečias priežastis,kurias sukuria pats žmogus,tai reiškia,kad likimą galima šiek tiek pakeisti.

Žmogus negali būti lemties žaislu,nes jam iškeltas per rimtas uždavinys:pateikti supančio pasaulio realų įvertinimą ir atskleisti esančias jame tikrąsias žinias apie jį.Palaikęs tokią poziciją,autorius (Aleksandras Aleksandrovas) atliko daugybę galimų skaičių perėjimų vienų į kitus,nes tai pats realiausias kelias.Nepagrįstas skaičių pradingimas arba atsiradimas vargu ar galėtų atitikti tikrovę (prieštaravimas energijos išlaikymo dėsniui ir impulsui fizikoje).

Pirminis tyrimas apsiribojo gana dideliu skaičių kiekiu (iki septynių),tačiau praktika parodė visai ką kita.Teko prisiminti Pitagorą,kuris itin mylėjo kvadratą,laikydamas jį harmoninga figūra,todėl pasiliko tik keturi galimi skaičių perėjimai.Psichomatrica tapo paslanki (gyva),tačiau variacijų kiekis liko ribotas,nes ir žmogui keliami uždaviniai labai konkretūs.

Numerologijos ir astrologijos įdomybės

Septynetuko magija

Skaičius 7-vienas iš šventųjų skaičių eilės (3,4,12,60.).Šis skaičius,esantis visur ir tarp „amžinųjų skaičių“,yra pamatinis.Jis simbolizuoja paslaptį ir nežinomo bei nematomo kelio žinias.

Apie septynetuko universalumą ir jo magiškąsias savybes prirašyta ir prikalbėta labai daug.Nuo seniausių laikų jis žavėjo filosofų,žynių bei magų vaizduotę.Jie manė,kad septyneryškumas yra visos evoliucijos pagrindas.Įvairių religijų ritualuose septynetukas užimdavo centrinę vietą.Visuose okultiniuose skaičiavimuose skaičiai 7 ir 9 buvo laikomi pačiais svarbiausiais.

„Jeigu skaičius 7 būtų tik vaivorykštėje,-rašė filosofas Kornelijus Agripa XVI amžiuje,-būtų galima nekreipti per daug dėmesio,bet septynetukas pasirodo ten,kur prasideda paslaptis.Šiuo skaičiumi pažymėtos septynios pasaulio sutvėrimo dienos.Skaičius 7 sutinkamas ir muzikos gamoje.Tai paslaptingas skaičius ir todėl yra labai svarbus,nes visur primenamas“

„Šešias dienas dirbk,o septintą ilsėkis“,-mokė pranašas Mozė.Jis draudė bet kokius darbus vieną savaitės dieną.Mokslininkai išsiaiškino,kad septynių dienų ciklas yra pats optimaliausias žmogui.Tame cikle vienos dienos poilsis suteikia galimybę sukaupti jėgų kitoms šešioms darbo dienoms.Laisva diena skirta atsipalaiduoti nuo kasdieninio monotoniškumo,pagalvoti apie gyvenimo prasmę,pažvelgti į savo vidinį pasaulį,priartėti prie Dievo.

Informatikoje septynetas reiškia teisingumą,makrokosmoso tobulumą,totališkumą.Jis sujungia vienetuko vientisumą su šešetuko idealumu ir sudaro savitą simetriją,tampančią psichiniu skaičiumi,Septynetas savyje jungia Dangų ir Žemę bei kartu simbolizuoja dvasiškumo ir materialumo sintezę,žmogaus susijungimą su dievybe.Senovės astrologijoje septynetas reiškia:septynias kosmines sferas,septynis pagrindinius šviesulius danguje,septynis pragaro ratus,septynis alchemikų metalus,septynis žmogaus gyvenimo periodus,septynias išminties kolonas,septynis „laisvuosius menus“:gramatiką,dialektiką,retoriką,aritmetiką,geometriją,muziką ir astrologiją.

Senovės graikai buvo įsitikinę,kad pažinęs šiuos mokslus,žmogus ne tik įvaldo svarbias žinias,bet tampa ir universalus,galintis nuolat kurti.Todėl septintukas dar vadinamas ir „nakalčiausiuoju“.

Senoliai pastebėjo,kad „nakaltybės“ skaičius 7 neregimai dalyvauja išnešiojant kūdikį:7 ciklai po 40 dienų sudaro ikigimdyvinį laiką-280 dienas.VI amžiaus armėnų filosofas Davidas Anachatas,nagrinėdamas kai kuriuos skaičius,rašė: „Septynetas vadinamas nekaltybės skaičiumi,nes visi skaičiai,sudarantys dešimtuką,būna kokio nors skaičiaus padariniai arba tampa kokio nors skaičiaus vaisiumi,o septynetukas negimdo ir nekuria jokio naujo skaičiaus.Pavyzdžiui,padauginus dvejetą,gimsta ketvertas,trejetą-devynetas.Ketvertukas yra dvejetuko vaisius.Jį padvigubinus gimsta aštuonetukas.O septynetas.nesukuriamas,negali tapti kokiu nors kitu skaičiumi dešimtuko sudėtyje.

Septynetukas atlieka ir laiko funkciją,o vadinamas nekaltu tiodėl,kad vaikai,gimę šešių arba aštuonių mėnesių,neišgyvena,o sptynių-gyvena.Septynių mėnesių vaikams dažniausiai praded dygti dantys,o septynerių metų-iškrenta ir keičiasi.

Skaičių 7 sutinkame visuose mituose.Atlantas,ant savo pečių laikąs dangaus skliautą,turėjo septynias dukteris,kurias Dzeusas pavertė Sietyno žvaigždėmis.Odisėjas septynerius metus prabuvo pas Nimfą Kalipsę iš Otilijos salos.Stikso požemio upės septynis kartus juosia pragarą,kuris savo ruožtu padalytas į septynias sritis.Pagal islamą,virš pasaulio yra septyni dangūs.Šventuoliai patenka į septintąjį palaimos dangų.

Tai dar ne visos septynetuko paslaptys.Daugeliui žmonių septynetukas neša laimę ir sėkmę.Kodėl taip yra-dar tyrinėtojų nearta dirva.

Velnio tuzinas

Tryliktukas-tradiciškai nelaimingas skaičius.Jis yra vienetu didesnis už tobuląjį tuziną.Tai perpildytas kompleksas ir kaip bet koks besaikiškumas-pavojingas,nes gali netikėtai pereiti į naują kokybę,sprogimą.Senieji okultistai Šiuo skaičiumi simbolizavo mirtį.13-numylėtasis nekromantų skaičius,taip pat jis naudojamas magijoje iškviesti dvasias.Tiesa,kabalistai šiam skaičiui ypatingos reikšmės neteikdavo.

Panagrinėkime,kaip velnio tuziną vertina šių laikų žmonės.Kai penktadienis sutampa su trylikta mėnesio diena,daugelis amerikiečių suserga artėjančios lemtingos dienos baimė.
Ligos simptomai-nuo nedidelio iki juodos nevilties priepuolių.

Amerikiečių mokslininkas iš Los Andželo Donaldas Dosis teigia.kad tą dieną milijonai amerikiečių net neišlenda iš patalo.Kiti griebesi įvairių burtų,norėdami išvengti nelaimės.

Lemtingos dienos baimė ilgaanžė.Pagal Grigalijaus kalendorių bent vienas penktadienis per metus sutampa su tryliktąja mėnesio diena.Daugiausia gali pasitaikyti net trys dienos.

Amerikiečiai iš tikrųjų bijo skaičiaus„13“.Daugelyje dangoraižių virš dvyliktojo auksto pažymėtas 14-asis aukštas.Ligoninėse nėra tryliktos palatos.Bloga penktadienio,sutampančio su 13-ąja,lemtimi tiki ir anglai.Britanijos medikai nusprendė atlikti tyrimus,bandydami išsiaiškinti 13 dienos,sutampančios su penktadieniu,įtaką žmogaus sveikatai.Išaiškėjo kad tą dieną daugiausia nelaimingų atsitikimų gatvėse ir keliuose.Britanijos medikai buvo priversti pripažinti,kad 13 dienos penktadienis iš tikrųjų yra bloga diena ir ją geriausia praleisti namuose.

Manoma,kad senovėje šis skaičius buvo laikomas Mėnulio simboliu.Tada metai turėję trylika mėnesių.Kai šumeriai ir babiloniečiai sudarinėjo pirmąjį kalendorių,metus bandė padalyti į dvyliką Mėnulio mėnesių.Vienus mėnesius sudarė 29,o kitus-30 dienų.Todėl kalendorius buvo netikslus.Tada ir buvo pridėtas tryliktas mėnuo.Kadangi 13 yra nelaimingas skaičius,atsirado 12+1 mėnesiai.

Tokie skaičiai sutinkami religijoje,istorijoje bei mistikoje.Pavyzdžiui,Jėzus ir dvylika apaštalų;Robinas Hudas ir dvylika jo draugų;karalius Artūras ir dvylika Apvaliojo stalo riterių.Raganų puotose taip pat dalyvauja dvylika raganų ir tryliktas velnias.

Vis dėlto daugeliui skaičius 13 yra laimingas.Pavyzdžiui,žinomas matematikas I.Čebatariovas,kuris sėkmingai priartėjo prie „tryliktosios“vokiečių mokslininko D.Gilberto problemos sprendimo,Taip pat matematikas sėkmingai vedė „velnio tuzino“ dieną,sėkmingai apgynė daktaro disertaciją.

Populiarus vokiečių futbolininkas G.Miuleris visuose pasaulio čempionatuose žaidė vilkėdamas marškinėlius,pažymėtus 13-uoju skaičiumi.Tai jam nesutrukdė viename tarptautiniame čempionate tapti geriausiu smūgiuotoju.Bulgarė sportininkė M.Girova (jos numeris taip pat 13) pirmą kartą pasaulio istorijoje tapo absoliučia meninės gimnastikos pasaulio čempione du kartus iš eilės.Sovietinis kosmonautas Šatalovas buvo tryliktasis,kuris išskrido į kosmosą.Startas buvo penktadienį,spalio 13-ąją.Jis laimingai grįžo i Žemę.

Devynetuko magija lietuvių tautosakoje

Lietuvių folklore labai dažnas žodis “devyni”. Tas skaičius tarsi kokia riba. Pavyzdžiui, dainose: “Devynios šakelės, dešimta viršūnėlė”, “Devynias upes perplaukė, dešimtoj skendo”, “Devynios kulkos pro šalį skrido, dešimta galvelę kirto”; priežodžiuose: “Devyni amatai, dešimtas badas”, “Devynis kartus pamatuok, dešimtą pjauk”, “Susiraukęs kaip devynios pėtnyčios”, “Gardu kaip devyni medūs”, “Ilga kaip devyni pasninkai”, “Gi žiūriu, žiūriu – devyni vilkai vieną bitę bepjauną” ir t.t. Kalboje sudurtiniai žodžiai su “devyni” reiškia gausą, pereinančią į ypatingą ar naują kokybę, pavyzdžiui: devynakė (nėgė), devynakė (vyža), devyniabrolė, devyngalvis, devyngerklė (lakštingala), devyniagodis (svajotojas), devyniaraštis, devyniatėvis (paleistuvės vaikas). Sakoma: “iki devinto prakaito”, “devynios galybės” ir t.t.

Į tokio dažno devyniukės naudojimo priežasties paslaptį kelią nurodo viena mįslė: “Devyniašakis, devyniaragis – viršuj mėnuo žydi. Kas?” Atsakymas: žirnis, kuris labai gerai auga, pasodintas jaunam Mėnuliui stojus. Trys blyškiaveidžio Žemės palydovo atmainos – priešpilnis, pilnatis ir delčia – dalija siderinį mėnesį (27,3 paros) į tris devyniadienes savaites. Trejos devynerios! Tokio Mėnulio kalendoriaus naudojimą Lietuvoje net istoriniais laikais paliudija vadinamasis Gedimino skeptras – kalendorinė lazda su Lietuvos didžiųjų kunigaikščių insignijomis (MG, 1985, Nr.5). Ji aprašyta Teodoro Narbuto devyniatomėje Lietuvos istorijoje, o jos kalendorinį algoritmą iššifravo 1855 m. vilniškis astronomas Matvejus Gusevas. Mėnulio fazių ženkliukais lazdoje mėnesių dienos suskirstytos į devyniadienes savaites. Laiko matavimą tokios trukmės savaitėmis patvirtina ir astronominis įrenginys ant Birutės alko kalno Palangoje, egzistavęs iki kryžiuočių invazijos XV a. pradžioje (MG, 1985, Nr.8). Nuo centrinio – “mėnulinio” stulpelio žiūrint, kampinį nuotolį iki artimiausių stulpelių į vieną ir kitą pusę Mėnulis keliauja po devynias paras. Kaip tik tokią savaitės trukmę senovės Žemaitijoje mini ir Simonas Daukantas. O kad laikas nuo sunkių darbų labai neprailgtų, penktosios dienos popietę nebūdavo dirbama, – tai laumių metas. Žinoti tikslų Mėnulio ciklą buvo pravartu ir kariams: tikėtina, kad žygiui, mūšiui ar pilies apgulčiai būdavo pasirenkama pilnaties fazė.

Skaičius devyni senovėje buvo labai pravartus ir ilgesniems laiko tarpams seikėti. Visų pirma devyni Mėnulio mėnesiai – tai naujos žmogaus gyvybės šiame pasaulyje atsirandant laukimas. Kartu ir laiko tarpas nuo pirmųjų rudens požymių per žiemos speigus iki vidurvasario. Todėl tikėtina devynis mėnesius buvus pirmųjų akmens amžiaus kalendorių, vadinamų nepilnaisiais, pagrindu. Medžiotojų bendruomenės laiko skaičiavimo schema galėjo būti tokia: atskaitos pradžia tapatinama su kanopinių žvėrių ruja, po kurios jie delčioje meta ragus. Elnių vestuvės vyksta rugsėjo pabaigoje; iš čia vienas jo prosenoviškų vardų – rujos mėnuo. Nuo tada galima skaičiuoti Mėnulio ciklais: po trijų – žiemos saulėgrįža, dar po trijų – lygiadienis su pirmaisiais ryškiais pavasario požymiais, po šešių – pats gamtos šėlsmas vasarvidį. O dešimtąjį mėnesį šakotaragiai susilaukia prieauglio (elnio biologinis ciklas sutampa su žmogaus). Vasarą, kai gausu visokio maisto, nebėra prasmės laiką skaičiuoti. Todėl ir pats žodis “laikas” etimologiškai siejamas su veiksmažodžiu “laikyti”, taigi taupyti. Įdomu, kad mįslėse Mėnulis kartais pavadinamas ir elniu. O dzūkų advento giesmėse devyniaragis elnias atneša “aukso kupką” – sugrįžtančią saulę.

Klimatui keičiantis, plečiantis miškams elnių arealą Lietuvos teritorijoje užvaldė briedžiai, kurie ragus meta gruodžio mėnesio pabaigoje. Mažojoje Lietuvoje sausis ir vasaris buvo vadinami didžiojo ir mažojo rago mėnesiais. Taigi Mėnulio archajiškojo kalendoriaus algoritmas išreiškiamas skaičių 3, 6, 9 seka. Stebėtina, kad lietuvių etninėje kultūroje tebėra žymūs tokio priešistorinio laiko skaičiavimo aidai. Jo algoritmas pasislėpęs ir tokioje mįslėje: “Seredoj, subatoj gimė Dievo kumeliukas auksinėm kamanom, sidabrinėm padkavom. Kas? – Jaunas Mėnulis”. Pirmoji neomenija (plono pjautuviuko pasirodymas) po žiemos saulėgrįžos galėjo būti švenčiama kaip Naujieji metai. Tai galėjo būti iš istoriografinių šaltinių žinomi Krikštai arba Kumeliuko krikštynos. O T.Narbuto ir M.Valančiaus aprašytos Pavasario šauktuvės – trečioji metų neomenija. Jeigu metų sezonai pradedami skaičiuoti nuo plono pjautuviuko pasirodymo, tai sezono vidurį turėtų ženklinti pilnatis. Gal iš čia kaimo žmonių žinios, kad Saulė ir Mėnulio pilnatis vasarą ir žiemą “keičiasi savo takais”. Gi Pusiaužiemio (sausio 25-osios) naktį reikia pasidairyti “ar šviesus dangus”, taigi paieškoti pilnaties.

Mėnulinė trejų devynerių taisyklė yra pasklidusi į pačias įvairiausias etnokultūros sritis. Pagal ją būdavo sutaisomos vaistažolės iš devynių Devintinių vainikėlių; kepamas Dziedų pyragas, sukrečiant po tris šaukštus iš devynių puodelių; triskart po devynis kartus sukalbama malda “ant duonos” nuo karvių pakerėjimo. Triskart prieš Saulės teką aplėkus devynis laukus, surinkus iš jų po devynis žolynus ir po devynis akmenėlius, galima pasigausinti pieno – žolynus reikia sušerti karvėms, o akmenėliais puodynes iššutinti. Istoriografijoje minimas prūsų paprotys prie mirusiojo kapo kelti atminimo vaišes trečią, šeštą, devintą ir keturiasdešimtą dieną.

Devynių tarpsnių kalendorinis ciklas tikriausiai turėjo reikšmės ir vėlesnėms kalendorinėms sistemoms, sudarytoms jau pagal Saulės metus ir skirtoms žemės ūkio darbams reguliuoti. Štai iš čia gali būti kilęs minėtasis keturiasdešimties dienų tarpsnis. Maždaug tiek dienų skiria vieną nuo kitos pagrindines metų šventes indoeuropietiškosios kilties tautų tradicijoje. Lygiai taip yra ir lietuviškame kalendoriuje. Šis intervalas skiria paskutinę rudens šventę (spalio 11-oji, Martyno diena) nuo žiemos saulėgrįžos, Kalėdas nuo Grabnyčių (vasario 2-oji), šv.Agotos dieną (vasario 5-oji) nuo pavasario lygiadienio, 40 paukščių dieną (kovo 10-oji) nuo Jurginių (balandžio 23-ioji), Gandrinę (kovo 25-oji) nuo Gegutės dienos (gegužės pirmoji savaitė), Velykas nuo Šeštinių, Onines (liepos 26-oji) nuo Sėmenės (rugsėjo 8-oji), Mykolines (rugsėjo 29-oji) nuo Martyno dienos. Taigi šis intervalas susidarė kalendoriaus istorijoje, derinant Mėnulio ir Saulės ciklus. Jokios metafizinės priežastys negali sureikšminti vieno ar kito skaičiaus, “magiškieji” skaičiai atrandami realaus pasaulio reiškinių dėsningumuose.

Leave a Comment