Lygtys su vienu kintamuoju
.
Lygtys su vienu kintamuoju
Lygties apibrėžimas. Lygties šaknys
Lygybę ?(x)=g(x) vadiname lygtimi su vienu kintamuoju x. Kiekvieną kintamojo reikšmę, su kuria reiškiniai ?(x) ir g(x) įgyja lygias skaitines reikšmes, vadiname lygties aknimi. Išspręsti lygtį – reiškia rasti visas jos šaknis arba įrodyti, kad jų nėra.
Lygtis, turinčias tas pačias šaknis, vadiname ekvivalenčiomis. Ekvivalenčiomis laikome ir lygtis, kurių kiekviena neturi šaknų.
Lygtis galima spręsti grafiniu būdu, tačiau jis nėra patogus.
Tiesinės lygtys
Tiesine lygtimi su vienu kintamuoju x vadiname lygtį ax=b (a ir b – realieji skaičiai); a vadiname kintamojo koeficientu, b – laisvuoju nariu.
Galimi trys tiesinės lygties ax=b atvejai:
1) a?0; tada lygties aknis lygi ;
2) a=0, b=0; tada lygtis virsta 0·x=0, o tokia lygybė teisinga su kiekvienu x;
3) a=0, b?0; tada lygtis virsta 0·x=b ir neturi šaknų.
Kvadratinės lygtys
Lygtį ax²+bx+c=0, kurios a,b,c – realieji skaičiai ir a?0, vadiname kvadratine lygtimi. Kai a=1, tai kvadratinę lygtį vadiname redukuotąja, kai a?1,– tai neredukuotąja. Skaičius a,b,c vadiname taip: a – pirmuoju koeficientu, b – antruoju koeficientu, c – laisvuoju nariu.
Kvadratinės lygties ax²+bx+c=0 sprendimas:
1) randame D (diskriminantą): D=b²-4ac arba D=k²-ac, kur k= (patogu, kai b – lyginis skaičius):
a) kai D<0, tai lygtis neturi šaknų;
b) kai D=0, tai lygtis turi vieną šaknį (dvi vienodas šaknis);
c) kai D>0, tai lygtis turi dvi aknis.
2) randame x:
, kur D=b²-4ac , kur D=k²-ac
Nepilnosios kvadratinės lygtys
Kai kvadratinės lygties ax²+bx+c=0 antrasis koeficientas (b) arba laisvasis narys lygus nuliui, tai kvadratinę lygtį vadiname nepilnąja. Šios lygtys išskiriamos, nes jas galima išspręsti netaikant kvadratinės lygties šaknų formulės – paprasčiau lygtį spręsti skaidant jos kairiąją pusę dauginamaisiais.
Racionaliosios lygtys (kintamasis vardiklyje)
Lygtį ?(x)=g(x), kurioje (x) ir g(x) yra racionalieji reiškiniai, vadiname racionaliąja. Be to.kai ?(x) ir g(x) – sveikieji reiškiniai, tai lygtį vadiname sveikąja (pvz. tiesinės, kvadratinės). Kai bent vienas iš reiškinių ?(x) ir g(x) yra trupmeninis, tai racionaliąją lygtį vadiname trupmenine.
Norint išspręsti racionaliąją lygtį, reikia:
1) rasti visų trupmenų bendrąjį vardiklį;
2) pakeisti duotąją lygtį sveikąja dauginant abi jos puses iš bendrojo vardiklio;
3) išspręsti gautą sveikąją lygtį;
4) atmesti tas jos aknis, su kuriomis bendrasis vardiklis virsta nuliu.
Iracionaliosios lygtys
Iracionaliąja lygtimi vadiname lygtį, kurioje kintamasis yra po radikalo ženklu arba po kėlimo trupmeniniu laipsniu ženklu.
Išnagrinėkime du iracionaliųjų lygčių sprendimo metodus: abiejų lygties pusių kėlimą tuo pačiu laipsniu ir naujų kintamųjų įvedimo metodą (su pasižymėjimu).
Abiejų lygties pusių kėlimo tuo pačiu laipsniu metodas yra toks:
a) duotąją iracionaliąją lygtį pertvarkome į tokią:
b) gautos lygties abi puses keliame n-tuoju laipsniu:
c) atsižvelgiame, kad , ir gauname lygtį ?(x)=g(x);
d) isprendžiame lygtį ir patikriname gautąsias šaknis, nes keldami tuo pačiu lyginiu laipsniu abi lygties puses, galime gauti pašalinių šaknų.
Rodiklinės lygtys
Rodiklinei lygčiai dažniausiai galima suteikti pavidalą , čia a>0, a?1. Pastaroji lygtis ekvivalenti lygčiai ?(x)=g(x).
Yra du pagrindiniai rodiklinių lygčių sprendimo būdai:
1) rodiklių sulyginimo metodas, kai lygtis pertvarkoma į lygtį , o po to – į lygtį ?(x)=g(x);
2) naujo kintamojo įvedimo metodas.
Pvz.: Sprendžiant lygtį , įvesti naują kintamąjį ir išspręsti gautą kvadratinę lygtį. Tada kvadratinės lygties atsakymus (y) įsistatyti į ir išspręsti.
Logaritminės lygtys
Logaritminę lygtį dažniausiai galima pakeisti lygtimi
, čia a>0, a?1.
Norint išspręsti lygtį , reikia:
1) išspręsti lygtį ?(x)=g(x);
2) iš rastųjų šaknų išrinkti tas, kurios tinka nelygybei ?(x)>0 (arba g(x)>0); kitos lygties ƒ(x)=g(x) šaknys yra pašalines lygčiai .
Yra du pagrindiniai logaritminių lygčių sprendimo būdai:
1) lygtį pertvarkant į lygtį , po to į lygtį ?(x)=g(x);
2) naujo kintamojo įvedimo metodas.
Trigonometrinės lygtys
Lygtys, kuriose kintamasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu, vadiname trigonometrinėmis.
Norint išspręsti trigonometrinę lygtį, ją reikia tapačiai pertvarkyti į paprasčiausias: sina=a, cosa=a, tga=a, ctga=a. Žinant a reikšmę, a reikšmę galime pagal formules:
a) kai , sina=a, tai , nĪZ;
kai sina=-1, ; kai sina=1, ; kai sina=0, ; nĪZ;
b) kai , cosa=a, tai , nĪZ;
kai cosa=-1, ; kai cosa=1, ; kai cosa=0, ; nĪZ;
c) kai tga=a, ; kai tga=0, ; nĪZ;
d) kai ctga=a, ; kai ctga=0, ; nĪZ.
Modulinės lygtys
Lygtis , kai ekvivalenti lygčių ?(x)=a ir ƒ(x)=-a visumai. Lygtis ekvivalenti lygčiai .
Auktesniojo laipsnio lygtys
Auktesniojo laipsnio lygtimi vadiname lygtį, kurios kintamojo laipsnis yra sveikasis skaičius, didesnis už 2.
Aukštesniojo laipsnio lygtims priklauso ir bikvadratinė lygtis. Bikvadratinė lygtis , a?0 sprendžiama naujojo kintamojo įvedimo metodu: pažymėję , gauname kvadratinę lygtį. Suradę ir , rasime keturias x reikšmes, spręsdami lygtis ir .
Aukštesniojo laipsnio lygtys dažnai sprendžiamos naujo kintamojo įvedimo būdu ir kairiųjų pusių skaidymo dauginamaisias būdu. Taip pat tokias lygtis galima išspręsti atspėjus vieną jos šaknį (ji dažnai būna skaičius, iš kurio dalinasi laisvasis narys) ir išskaidžius reiškinį dauginamaisiais.