Begalinės skaičių aibės

Referatas

2006m.

Sąvoka aibė yra pirminė, todėl ji neapibrėžiama, o tik paaiškinama.
Žymus Lietuvos poetas A. Baranauskas, taip pat garsėjęs kaip neblogas matematikas mėgėjas, savo atsiminimuose rašė, kad iki dvidešimties metų jo matematikos žinios apsiribojo tuo, kad valsčiaus mokykloje per tris žiemas išmoko skaičiuoti iki bilijono, sudėti, atimti ir dauginti. Algebros pagrindus jam teko krimsti kur kas vėliau, jau įstojus į dvasinę akademiją. Štai tada ir sužinojo, kad skaičių yra be galo daug, kad bilijonas nėra paskutinis skaičius. Tačiau ką turėjo daryti jo mokyklos drraugai, kuriems likimas nebuvo toks palankus ir kurie turėjo tenkintis mokyklos žinioms. Tikriausiai jie taip ir nugyveno amžių, įsitikinę, kad bilijonas yra „paskutinis“ skaičius.

Jei jau XIX a. žmonės susidurdavo su „paskutiniu“ skaičiumi, tai ką turėjo daryti tolimi mūsų protėviai. Juk jiems juos labiau neprireikdavo didelių skaičių. Su nedaugeliu žmonių jie susitikdavo, nedaug nukaudavo žvėrių ar sužvejodavo žuvų. Tačiau skaičiavimo įgūdžių plėtros istorija rodo, kad pirmykštis žmogus visuomet susidurdavo su „paskutiniu“ skaičiumi.

Daugeliui skaičių yra tekę būti „paskutiniais“. Amžių tėkmė išdildė iš žmmonijos atminties, kada ir koks skaičius buvo „paskutinis“. Ir tik tautosaka padeda išskirti tuos, kuriems buvo pavykę čia labiau įsitvirtinti. Mat „paskutinis“ skaičius buvo tarsi riba, skirianti žinomą nuo nežinomo. O kadangi visa, kas ribojasi su nežinomu, pirmykščiam žmogui atrodydavo pa

aslaptinga, tai nenuostabu, kad šiems „paskutiniams“ skaičiams būdavo paskiriamos įvairios, netgi nematematinės savybės. Dažniausiai žmogaus sąmonėje jiems buvo suteikiama žodžio „daug“ kiekybinio ekvivalento reikšmė. Kaip tik todėl iš tautosakos galima pasisemti įtaigių ir vaizdingų posakių, kuriuos minimi skaičiai. Tai: devyni vilkai vieną bitę pjauna, devyni amatai, dešimtas badas ir pan. Ar jie suteikia mums kokios nors informacijos? Gal kada nors taip ir buvo, bet nuo to laiko daug vandens nutekėjo. Dabar šie stereotipiniai posakiai atlieka ne tiek informacinę, kiek estetinę funkciją. O išliko jie dėl tradicijų gajumo. Apskritai kuo „paskutinis“ skaičius mažesnis, tuo mažiau turime duomenų apie jį. Štai kodėl mažai ką galime pasakyti apie tokius, kadaise, „paskutinius“ buvusius skaičius, kaip 3,4,5 ar 6.

-1-

O štai 7 jau yra maloni išimtis. Iš tautosakos žiinome, kad kaip tik jam ilgą laiką yra tekę būti „paskutiniu“. Arabiškas žodis sab‘, reiškiąs 7, turi tą pačią šaknį kaip ir sab‘a „sudraskyti į gabalus“. Ar tai nerodo, kad arabų protėviai skaičių 7 siejo su neapibrėžtai dideliu kiekiu dalių, į kurias laukinis žvėris gali sudraskyti savo auką. Ir jie ne vieninteliai. Antai prancūzas savo priesaiką , kad būtų įtikinamesnė, sutvirtina žodžiais „tvirtai kaip septyni“. O daugelyje tautų laimingas žmogus jaučiasi esąs septintame danguje, kitaip tariant, yra be galo laimingas. O kur dar septynios savaites di

ienos, septyni pasaulio stebuklai, septyni senovės išminčiai? Skaičius „septyni“ tvirtai prigijęs ir liaudies kūryboje. Be to, ne vienoje šalyje. Jį galima užtikti Naujosios Zelandijos maorių, ir etiopų, ir albanų, ir Dramblio Kaulo Kranto valstybės baule genties pasakose. Ir visuose šiuose liaudies kūriniuose 7 suprantamas ne kaip „6+1“, o kaip žodžio „daug“ sinonimas. Skaičius „septyni“ kaip paskutinis buvo mūsų artimiausiems kaimynams slavams. Tai liudija posakiai: „Septynetas vieno nelaukia“ (t.y. daug vieno nelaukia), „Septynis kartus pamatuok, vieną kartą atpjauk“ ir pan. O kalbant apie tokius, kurie iš karto imasi daug darbų, buvo sakoma „septyndarbė“.

-2-

Atrodytų, jog lietuvių darbštuolis suspėja daugiau darbų nudirbti, nes pas mus priimta devyndarbėmis vadinti. Tačiau ne darbų skaičius apibūdina tokius žmones. O kad slavų ir lietuvių kalbose nesutampa šie pavadinimai, tikriausiai
Kaltas mūsų protėvių turėtas „paskutinis“ skaičius devyni. Gal todėl mūsų proseneliai ir buvo truputį apdairesni, nes patardavo: „Devynis kartus pamatuok, o dešimtą pjauk“. O kur dar posakiai: „Už devynių girių, už devynių marių“, „Devyni vilkai vieną bitę pjauna“, „Devynios galybės“ ir pan. Ir visais šiais atvejais kalbama ne apie tiesioginį, o apie perkeltinį skaičių vartojimą, – jie rodo simbolinę skaičiaus 9 reikšmę lietuvių kalbioje – „daug“.

-3-

Laikui bėgant, plėtėsi žmogaus akiratis ir „paskutiniai“ skaičiai darėsi vis didesni. Ar ne todėl Mengonės saloje 3, Fidžio salyne 10

0, o mariai 1000 vadina tuo pačiu žodžiu. Visose šiose salose kalbama viena kalba, tačiau kultūra yra skirtingo lygio.

„Paskutiniu“ skaičiumi, matyt, yra tekę būti ir 40. gal todėl rusų kalboje skaitvardis 40, išsiskiria iš kitų dešimčių tarpo. Be to, medžiotojai anksčiau visuomet apribodavo užmuštu trisdešimt devintuoju lokiu. Mat buvo įsigalėjęs prietaras, kad keturiasdešimtas lokys esąs lemtingas, nes keturiasdešimt pirmasis užmušiąs patį medžiotoją. Skaičius 40 ypač buvo populiarus Rytų tautose. Prisiminkime pasaką „Ali Baba ir keturiasdešimt plėšikų“. O kur dar keturiasdešimt dienų trukęs biblinis pasaulio tvanas. Pamėgtas jis buvo ne tik rytiečių. Antai Prancūzijos akademijoje, dar vadintoje keturiasdešimt nemirtingųjų akademija, yra tik 40 akademikų, kurie patenka, vienam iš „nemirtingųjų“ ją apleidus.

-4-

Todėl ir sąvoka „begalybė“ pirmiausiai atsirado kaip kokybinis darinys, skirtas be galo besitęsiančiam, ribų neturinčiam procesui apibūdinti. Tačiau tokį procesą mes dabar vadintume neaprėžtu, beribiu (gal todėl senovės graikų kalboje žodis „apeironas“ reiškė ir beribį, ir neapibrėžtą). Taip atsitiko todėl, kad pirmuoju begalybės sąvokos formavimosi etapu žmonės, pajutę skirtumą tarp baigtinio ir begalinio, dar negalėjo pakankamai aiškiai įsisąmoninti jų priešingumo. Tad begaliniu buvo vadinamas hipertrofuotas baigtinumas.t.y.kažkas neapibrėžtai didelis, pagal savo mastelį viršijantis tai, ką žmogus gali patirti. Gal todėl lietuvių kalboje ir turime žodį „galybė“, kuriuo apibūdiname labai didelį kiekį, kitaip tariant, galybė – tai dar ne begalybė, be

et kažkas labai arti begalybės. Tokia reikšme ir sutinkame šį žodį įvairiuose posakiuose (pavyzdžiui, Kalvarijoje, Marijampolės rajone, sakoma: „Šįmet sniego baisi galybė“)

Kokia šio žodžio kilmė? Prof. V. Gudelis rašo, kad „Žiloje senovėje galybė galėjo reikšti ir „vandens gausumą“, „didelį vandens telkinį“. Šiuos požiūriu įsidėmėtinas XVI a. Prūsijos kartografo ir istoriko K. Henenbergerio paliudytas faktas, kad seniausias Aistmarių pavadinimas buvęs halybo, tai prūsiškai skambėtu Galybo, o Lietuviškai Galyba arba Galybė. Taigi išeitų, kad Galybo reiškė ne ką kitą, o „vandens platybę“, „didelius vandenis“. Nežinia, ar Galybo buvo Aistmarių tikrinis vardas. Gal tai buvo tik bendrinė sąvoka, apibūdinanti vandens telkinį. Tačiau kas sieja vandenį ir galą? Prof. V.Gudelio nuomone, pradinė „gala“ reikšmė „vanduo”. Žmonės kurdavosi prie vandens, tad ilgainiui vanduo jų sąmonėje galėjo išsirutuliuoti į jų gyvenamosios vietos ribos sąvoką. Kadangi kalbotyroje yra kaip ir dėsnis, kad iš konkretesnės reikšmės atsiranda abstraktesnė, tai V.Gudelis daro išvadą: „Sąvoka gala(s) kaip „pakraštys“, „riba“, „sritis“, „kraštas“ susiformavo greičiausiai dar tebesant lietuvių – latvių prokalbei, atseit iki VII a.

Logiškai ir istoriškai begalybės idėja formavosi kaip baigtinumo neigimas. Neatsitiktinai visose kalbose „begalybė“ sudaromas pridedant neigiančiąją dalelytę prie žodžio „galas“, „pabaiga“. Kadangi baigtinumas

-5-

pirmiausia yra apibrėžtinumas, tai begalybė pasireiškia kaip neapibrėžtinumas. Neapibrėžtinumas yra pirmasis, pradinis begalybės pažinimo momentas. Nereikia manyti, kas toks begalybės supratimas yra primityvus bei naivus, išplaukiąs iš primityvaus senovės žmonių mąstymo. Juk kaip tik jis leidžia pateikti tam tikrą begalybės interpretaciją, vaidinančią nemažą vaidmenį pažįstant gamtą. Čia kalbama apie praktinę begalybe – realybės sugrubinimą, išvaduojančia mus nuo būtinumo galvoti apie šių objektų ribas. Nustatydami mechanikos dėsnius, mes juk teigiame, kad Žemės spindulys (ar masė) yra begaliniai. Todėl estų mokslininkas G. Nanas pabrėžia : „Begalybė praktinės begalybės prasme paprastai reiškia kažką pakankamai didelį(mažą, artimą, tolimą ir t.t.). ką laikyti pakankamu, priklauso nuo uždavinio pobūdžio. Pavyzdžiui, 10-13cm atstumas gali būti be galo didelis (atominėje fizikoje), o 10-13 – be galo mažas (astronomijoje)“. Dar D. Galilėjus nurodė, kad tokių dydžių pripažinimas begaliniais visai nenumenkina mūsų samprotavimų teisingumo bei griežtumo. Kadangi praktinės begalybės abstrakcija gamtos moksluose plačiai taikoma kaip fizikinis matematinės begalybės analogas, tai dažnai praktinė begalybė yra vadinama fizikine. Nepaisant to, praktinės begalybės idėją buvo bandoma taikyti ir matematikoje. Antai D. van Dancigas, manydamas, kad „skirtumas tarp begalinio ir baigtinio yra neesminis“, suabejojo, ar 10 10 10 galima laikyti baigtiniu skaičiumi (tai išties labai didelis skaičius – vien skaitmenų jis turi 10 milijardų). Kita vertus, juk tai ne kas kita kai praktinė begalybė.

Tačiau neužmirškime, kad neprėžtinumas – tai, tiesą pasakius, dar ne kiekybinis begalybės supratimas. Štai rutulio paviršius neaprėžtas (niekuomet net nesurasime ribos), tačiau jis baigtinas ir jo plotą galima išreikšti paprasta formule. Tad begalybės, kaip neaprėžtinumo samprata, yra būdinga žmogui, kurio pasaulėvaizdis buvo kuriamas, remiantis mitologija, religija bei meniniu epiniu įvaizdžiu, t.y.ankstyvuoju Homo sapiens istorijos laikotarpiu, juk šiomis priemonėmis buvo siekiama kaip paaiškinti supantį pasaulį, susidaryti jo vaizdą. Bet siekimas – tai dar ne pasaulio pažinimas. Kaip tik šia aplinkybe ir galima paaiškinti, kodėl šiuos žmonijos istorijos etapu begalybė buvo suprantama kaip hipertrofuotas baigtinumas.

Baigtinumo ir begalybės priešybė buvo pradėta įsisąmoninti tik įžengus į mokslinio mąstymo formavimosi epochą. Tiesa, ir čia dar nebuvo imta iškart juos atskirti. Buvo manoma, kad begalybė ir baigtinumas – tai tik ypatingos „esmės“, ypatingi „būties tipai“, kurie realizuojami visai

-6-

skirtingomis substancijomis. Beje, begalybei buvo teikiama pirmenybė, ji buvo įsivaizduojama kaip pradinis, absoliutinis pradas, duodąs pradžią baigtiniams daiktams. Senovės indų „Vedose“ tokia begalybės samprata dar turi mitologinį atspalvį: begalybės vaidmuo ten suteiktas deivei Aditei, kuri iš pradžių simbolizavo ryto aušrą, atveriančią vartus į nežinomą pasaulį. Ilgainiui mitologinis atspalvis išnyko, begalybė tapo kur kas abstraktesnė. Tai ir „Chaosas“ (Heziodo), ir „arche“ (Mileto filosofijos mokykloje), ir neapibrėžtoji tuštuma (pitagoriečių). O jau Amaksimandrui (610-546 m. p.r. Kr.) begalybė yra visuotinis substratas, iš kurio „gimsta“ ir į kurį „sugrįžta“ visi baigtiniai daiktai.

„Substratinis“ begalybės supratimas, kai kiekvienąkart buvo einama abstrahavimosi keliu, veda prie gana abstrakčios begalybės sąvokos. Išties, nagrinėdami begalybę kaip neapibrėžtinumą, nelietėme klausimo – apie kokį neapibrėžtinumą čia kalbama. Juk neapibrėžtinumas gali būti ir kaip neapibrėžtai besikeičianti kiekybė, ir kaip neapibrėžtai išsaugoma kokybė. Abi šios begalybės interpretacijos yra labai svarbios. Bet „substratinės“ begalybės sampratos plėtra parodė, kad kiekybinė begalybės pusė yra svarbesnė, taip buvo ateita prie matematinės begalybės sąvokos. Rusų filosofas A. Karminas rašo: „Begalybės pažinimas įmanomas keliais lygiais: visų pirma empirinio fakto apie negalimumą užfiksuoti kažkokių konkrečių objektų ribas kažkokiame apibrėžtame santykyje konstatavimo lygyje; čia begalybė pasireiškia ypatinga šių objektų kokybine charakteristika – jų neapibrėžtinumu. Antra, abstraktaus ir teorinio neapibrėžtumo kaip tokio, atskiro nuo šių objektų kokybinio apibrėžtinumo , tyrimo lygyje; šiuo atveju begalybė yra kiekybinė sąvoka, išreiškianti ypatingą kiekybinio apibrėžimo tipą – kiekybinę begalybę“. Ir čia pirmasis begalybės sampratos lygis ją pažįstant yra pradinis. Begalybės idėja mūsų kasdieniame gyvenime ir empiriniame gamtamokslyje įvedama, susidūrus su objektais, kurių ribos nepasiekiamos mūsų pojūčiams, o jau vėliau jai yra paskiriama begalybės kiekybinė traktuotė, leidžianti ją naudoti matematikoje.

Matematinė begalybė apima kur kas siauresnę sritį negu begalybės kategorija. Todėl matematinės begalybės sąvoka rutuliuojama savitai. Čia lemiamos reikšmės turėjo skaičiavimo įgūdžių plėtra. Juk skaičius buvo pirmasis idealus objektas žmonijos kultūros istorijoje. Todėl ir matematinės

-7-

begalybės sąvoka turėjo nugalėti tuos pačius sunkumus, su kuriais susidūrė ir
skaičius. Pirmuoju etapu begalybės, kaip hipertrofuoto baigtinumo, vaidmuo teko „paskutiniam“ skaičiui (neužmirškime, kad tai buvo sąvokos „daug“ kiekybinis ekvivalentas). Skaičiavimo sistemų atsiradimas padėjo konstruktyviai sudarinėti skaičius ir tuo pačiu atsikratyti „paskutinio“ skaičiaus baimės. Juk grupuojant skaičius, visai nesvarbu, ką grupuosime – vienetus ar šimtus. Šitaip galima gauti bet kokį didelį skaičių. Kaip tai daroma, III a.pr. Kr. Bene geriausiai parodė antikos matematikas Archimedas savo veikale „Psamitas“ („Smiltelių skaičiavimas“). Kadangi antikos graikams didžiausias skaičius, turįs savo pavadinimą, buvo miriada (dešimt tūkstančių), tai Archimedas paėmė oktadą, lygią miriadai miriadų (10 8), ir pavadino ją pirmuoju skaičiumi. Imdamas šį skaičių skaičiavimo vienetu, gavo oktadą oktadų (10 2 , 8), kurį pavadino antruoju skaičiumi. Kartodamas šią procedūrą miriadą miriadų kartų. Archimedas gavo išties milžinišką skaičių, kuriam davė pirmojo periodo vardą. Tačiau ir tai dar nėra skaičiavimo pabaiga. Paėmę pirmąjį periodą skaičiavimo vienetu , vėl galimė tęsti analogišką procedūrą – gausime naujus skaičius. Kokie tai dideli skaičiai, Archimedas parodė, imdamas paprasčiausią pavyzdį. Iki tol buvo manyta, kad Žemės rutulį sudarąs smėlio dalelių kiekis, galintis užpildyti visą mūsų Visatą (žinoma, tą Visatą, kurią įsivaizdavo antikos graikai), yra išreiškiamas jau aštuntuoju Archimedo skaičių sistemos skaičiumi. Tad, atrodytų, tokiam dideliam kiekiui prireikė tik labai mažos šios sistemos dalies.

Taip begalybė ėmė įgyti kiekybinį apibrėžtinumą. Gal todėl IV a. pr.Kr. gyvenęs antikos matematikas Rachitas Tarentietis, norėdamas paaiškinti begalybę, sakė , kad karys, kur jis bestovėtų, visuomet gali numesti ietį toliau. Koks perversmas begalybės supratime įvyko atsiradus matematinės begalybės sąvokai, gali paliudyti norvegų padavimas. Tolimoje šiaurėje stukso geležies kalnas. Karta per tūkstantį metų čia atskrenda mažas paukštelis ir valosi snapą į šį kalną. Kada visas kalnas sudils, praeis ne begalybė, o tik viena begalybės akimirka.

Kai imta priešinti baigtinumą ir begalybę, buvo supriešintos ir žinios apie baigtinumą(finitinės žinios)bei žinios apie begalybę(infinitinės žinios), gaunamos visai skirtingais būdais. Buvo manoma, kad finitines žinias

-8-

formuoja jutiminis patyrimas, atspindintis konkrečius mus supančio pasaulio reiškinius ir procesus. Infinitinėms žinioms būdavo priskiriamos visos mąstymu pasiekiamos tiesos, susijusios su bendrais mūsų būties principais. Taip netiesiogiai (ir nedrąsiai) buvo pareikšta mintis, kad mokslinis pažinimas negali išsiversti be begalybės idėjos, kai jau jis, neapribodamas tik empiriniu baigtinumo aprašinėjimu, susidedančiu iš atskirų faktų konstatavimo, pereina prie teorinio realybės aiškinimo. Gal todėl vokiečių logikas G.Fregė pabrėžia, kad iš jutiminio patyrimo negalima gauti nieko begalinio: kad ir kiek skaičiuotume žvaigždes danguje ar smilteles ant jūros krato, jų skaičius nepasidarys begalinis. Tad begalybė yra tokia sąvoka, kuri nors ir netiesiogiai, yra bet kokiame teoriniame pažinime, formuojančiame gamtos dėsnius. Kitaip sakant, jei jutiminio lygio mokslas „subaigtina“ nagrinėjamus objektus, tai teoriniu lygiu jie yra „subegalinami“. Tuo buvo galima įsitikinti antikos Graikijoje, Pitagorui atradus iracionaliuosius skaičius, o Zenonui – garsiąsias aporijas.

-9-

Literatūros sąrašas

Baltrūnas A. Nuo nulio iki.. V., 1991.
Baltrūnas A. Šimtas matematikos mįslių. V., 1983.
Baltrūnas A. Prie matematikos ištakų. MG 1997/10

-10-

Leave a Comment