atsitiktiniai vektoriai

Zuoja ivairus parametrai .Nepakanka zinoti vien X pasiskirstyma ,reikia zinoti ir parametru reiksmes .Praktikoje sprendziamas uzdavinys ,kurio tikslas-ivertinti stebimo atsitiktinio dydzio(generaline aibe )pasiskirstymo funkcija ir jos parametrus.
Tarkime , kad stebimas atsitiktinis dydis X , o jo pasiskirstymo funkcija yra baigtinio parametru skaicius.
X , FX(x) =F(x,Q1,Q2,… Qk)pasiskirstymo parametrai
Pvz. 1(X- normalusis atsitiktinis dydis
FX (x) = F(x ,m,q)= = ,
m=Q2,q=Q2
Statistika butent tuos parametrus ir ivertinima. Nezinoma pasiskirstymo parametru iverciai buna taskiniai ir intervaliniai.
Ka reiskia gauti Q ivertinima ?tai reiskia gauti apytiksline formule Q=q (x1,x2,..xn)
Cia (x1,x2,…xn)-imtis is generalines aibes X.
Ap.Bet kokia imties elementu funkcija q(x1,x2,…xn)vadinama statistika .Jos
Reiksme interpretuoja kaip parametro Qivertis , t.y.q(x1,x2,..,xn)=
Aisku kad pasirinktos statistines reiksme
Priklauso nuo imties !Tarkime is x sukonstruojame imti ( )
.bet galima dar karta stebeti eksperimentus ir gauti apimti ( ….. ) q( … )
skiriasi nuo q( … )t.y. statistika galima interpretuoti kaip atsitiktini dydi .Jeigu I imti ziuresime kaip I atsitiktinio n-macio vektoriaus (X1…..Xn)realizacija , tai q (X1….Xn),bus atsitiktinis dydis su savo pasiskirstymu ir parametrais.IVERTINYS: kaip gauti ivertinimo q(X1….Xn)pasiskirstyma .Tam reikia zinoti imties pasiskirstyma Pvz.
Tarkime , kad imtis (x1…..xn)yra gauta is normaliosios generalines aibes .Raskite statistikos (kaip atsitiktinio dydzio , kaip ivertinio ) q( X1,…..X2)= = (X1+…+Xn) =
Paskirstyma ir parametrus .(x1,…..xn)
Tebunie tai atsitiktine imtis .Cia kiekviena komponente turi normalusis pasiskir-styma (toki pat generaline aibe).
Pxi(xi)= ;
I=1,2,…n: ,m=MX
Imties pasiskirstymas p(x1…xn)=
Imties normalusis skirstynys yra stabilus , tai ivertinys X= irgi yra pasiskirstes pagal normaluji desni .Su kokiais parametrais?

Taigi , Tai yra ivertinio pasiskirstymo desnis N(m
PASTABA: prie imties ,…, grafinis jos vaizdavimas .X-generaline aibe ; F(x)-jos pasiskirstymo funkcija (x1……xn_)
-imties is generalines aibes.Turedami sukauptuosius santykinius dydzius galima uzrasyti empirine generalines aibes X pasiskirstymo funkcija :

kadangi F(X) charakterizuoja ivykio
tikimybe ,o charakterizuoja to paties ivykio santykini dazni , tai is Bernulio teoremos:
kai n didelis F(x)=F’(x)
X-generaline aibe ,F(x,Q1…Qn)
Pasiskirstymo funkcija .Mes statistikas
(ivertinimus )galime parinkti ivairiai Todel reikalingi kriterijai ,kuriais ga-letume atrinkti pati geriausia ivertini.
Kriterijai yra sie:
1)Ivertnys (statistika) q(X1…Xn) turi buti nepaslinktas ,t.y. Mq(X1…Xn)=Q
cia Q-nezinomas parametras)
2)Ivertinys turi buti suderintas ,t.y.

3)Ivertinys turi buti efektyvus ,t.y. po turi pasizymeti galimai minimalia dispensija.
Jei Dq1(…)30, tai 1/n
PASTABA:ne visada pavyksta gauti gerus ,kurie tenkintu tuos kriterijus , ivertinius.kartais to ir nereikia.Ivertinys gali gautis paslinktas , bet Dq=min,t,y
Q reiksmes bus
issibarsciusios . netoli nuo Q .Gali b buti ivertinys ir p paslinktas , bet dispersija.
bus didelė, t.y. reikšmės labai išsibarščiu-sios.
Įvertinių gavimui naudojami max. tikėtu-mo ir momentų metodai.

MAKSIMALAUS TIKĖTINUMO ME-TODAS.
Tai gana universalus ir bendras metodas. Įvertiniai, gauti šiuo metodo pagalba, yra suderinti, efektyvūs, bet nebūtinai nepas-linkti.
X – generaline aibė, (x1,x2,…,xn) – imtis iš generalinės aibės. Imties pasiskirsty-mas yra tiktai nežinomų parametrų Q1, Q2,…,Qk funkcija ( kadangi imtis papras-toji! ). Ši funkcija vad. tikėtinumo funkci-ja. Parametrų Q1,Q2,…,Qk įverčiais yra imamos tokios reikšmės, kurios maksimi-zuoja tikėtinumo funkciją. Tarp kitko, ti-kėtinumo funkcija žym. L(Q1,Q2, …,Qk). Atskiru atvėju, kai generalinė aibė X dis-kreti, turim L(Q1,Q2,…,Qk)=P{X1=x1,
X2=x2,…,Xn=xn}= (i=1)(n)Õ P{Xi=xi}.
Jeigu X tolydi ir jos pasiskirstymo tankis px(x,Q1,Q2,…,Qk) , tai L(Q1,Q2,…,Qk)= =(i=1)(n)Õ PXi(x,Q1,Q2,…,Qk)= =(i=1)(n)Õ px(x,Q1,Q2,…,Qk).
Ieškant funkcijos maksimumo, žymiai pa-togiau dirbti su ln L(Q1,Q2,…,Qk).

PVZ. 1) X – generalinė aibė (normalusis atsitiktinis dydis). px(x)=g(x, m, s)= = , “xÎÂ. Įvertinsime nežinomus pasiskirstymo parametrus Q1=m, Q2=s.
Tarkime (x1,x2,…,xn) – paprastoji imtis. Taikysime maksimalaus tikėtinumo meto-dą. L(Q1,Q2)=L(m,s)=
=(i=1)(n)Õ p(xi, m, s)=
;
ln L(m, s)=-n×ln s -n/2×ln (2p) – ;
;
m= =1/n; – tai išplaukia iš pirmos lygties. s2= , s2 yra paslinktas įvetis (prieš tai buve pvz).

PVZ. 2) X –generalinė aibė (Puasono atsitiktinys dydis. P{x=k}=lk/k!×e-l, l>0.
l – parametras. Jo įvertį gausime pasinau-doję maksimalaus tikėtinumo metodu.
L(l)= (i=1)(n)Õ P{Xi=xi}=
= àmax. Atmetame faktorialus (max. jie neįtakoja) ir pereinam prie logaritmo:
ln L(l)=(i=1)(n)åxi×ln l – n×l ;
;
l= .
Pastaba: Kaip taisyklė nežinomų pasiski-rstymo parametrų įverčiams gauti imamos statistikos sutampančios su imties skaiti-nėmis charakteristikomis.

Skaitinės charakteristikos:

Nr. Imties skait. Paprastoji Grupuota
charakter.
1. | vidurkis | |
2. | moda | dažniausiai |
| | pasikartojantis |
| | imties elem. |
3. | mediana | variacinės eil. |
| | vidurinis elem.|
| | x(r+1), kai |
| | n=2r+1 ; 1/2× |
| | ×(x(r)+x(r+1)), |
| | kai n=2r . |
4. | dispersija | | …
| S02(MX=m |… |
| žinomas) | |
5. | dispersija | | …
|S2(MX ne-|… |
| žinomas | |
6. | Imties momentai:
| pradiniai | |
| centriniai | | …
| | … |
Dvimatė imtis: ((x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn))
7. | vidurkis( , ) | (1/n×åxi ,1/n×åyi)
8. | dispersija (S2x,S2y) | (1/(n-1)×Qx ,
| | 1/(n-1)×Qy), kur
| | Qx=å(xi – )2,
| | Qy=å(yi – )2
9. | kovariacija | 1/(n-1)×Qxy , kur
| |Qxy=å(xi – ) ×
| | ×(yi – )
10. | koreliacijos | Qxy/Ö(Qx×Qy)
| koeficientas |
| (X,Y) |

p-tos eilės kvantilis – tai sukauptųjų san-tykinių dažnių kreivės (poligono) taško su ordinate p, abscisė xp.

MOMENTŲ METODAS.
Tarkime Q1,Q2,…,Qk yra nežinomi pasi-skirstymo parametrai. Norime gauti jų apytiksles reikšmes. k imties momentu priliginame t teorinėms pasiskirstymo momentams. Įverčiai gaunami spren-džiant gautąją k-lygčių sistemą.

PVZ. X – generalinė aibė. Skirstinys to-lygusis intervale [a,b]. Remiantis papras-tąja imtimi (x1,x2,…,xn), gauti nežinomų parametrų a ir b įverčiai ( Mx=n1=(a+b)/a Dx=m2=(b-a)2/12 ) .

;
; b= = +Ö3×S
a= = -Ö3×S

PASIKLIAUTINIEJI INTERVALAI.
X – generalinė aibė ; F(x, Q) – pasiskirs-tymo funkcija ; Q – nežinomas parametras
=q (x1,x2,…,xn) – tad ir koks geras būtų statistinis įvertis, tik jo turėti nepaka-nka, nes nežinome kokią | Q – | pak-laidą darome.
Ap.: Nežinomo pasiskirstymo paramet-ro Q pasikliautinuoju intervalu vad. intervalą (Q1, Q2) , kuris su tikimybe xp=1-a dengia tikslią (bet nežinomą) pa-rametro Q reikšmę, t.y. P{Q1