TURINYS
FORMULĖS 3Trigonometrija funkcijos ir lygtys 6Trigonometrinių reiškinių pertvarkymai. 19Trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimas 20Rodiklinių lygčių sprendimas 24Rodiklinių nelygybių sprendimas 28Logaritminės lygtys 30FORMULĖSTrikampis. S= sinC = ; a2 = b2 +c2 – 2bc cosA, ,
čia a, b, c – trikampio kraštinės, A, B, C – prieš jas esantys kampai, p – pusperimetris, r ir R – įbrėžtinio ir apibrėžtinio apskritimų spinduliai, S – trikampio plotas,Skritulio išpjova. S = , l = , čia – centrinio kampo didumas laipsniais, S – išpjovos plotas, l – išpjovos lanko ilgis, R – apskritimo spindulys.Ritinys. V = Spag H = R2H,Sšon = 2RH (šoninis paviršius)Spag = R2, d2 = H2 +(2R)2 (d – ašinio pjūvio įstižainė), C = 2R (C – apskritimo ilgis), Spav = Sšon + 2Spag = 2RH + 2R2 = 2R (H + R).Kūgis. Nupjautinis kūgis. Spag = R2, Saš. pjūv = R H, l2 = R2 + H2, Sšon = Rl, Spav = Sšon + Spag = Rl + R2 = R (l + R), V = ; čia R ir r – kūgio pagrindų spinduliai, Sšon – šoninio paviršiaus plotas, V – tūris, H – aukštinė, l – sudaromoji.Nupjautinės piramidės tūris. V = ; čia S1 S2 – pagrindų plotai, H – aukštinė.Piramidė. V = SH; čia S – pagrindo plotas, H – piramidės aukštinė.Taisyklingoji piramidė. r – įbrėžto apskritmo spindulys, R – apibrėžto apskritimo spindulys,S3 = 3 , S6 = 2 , Sšon = , ha – apotema, ha – šoninės sienos aukštinėSpav = Sšon + 2Spag, V = .
Taisyklingoji prizmė. Spag = , S6 = , r3 = , R3 = , r6 = , R6 = a (r – įbrėžto apskritmo spindulys, R – apibrėžto apskritimo spindulys)
Sšon = Ppag H = 3a H (Ppag – pagrindo perimetras), Spav = Sšon + 2Spag , V = Spag HRutulys. Spav = 4 , čia Spav – rutulio paviršiaus plotas,V – tūris, R – spindulys.Rutulio nuopjovos tūris. V = ; čia R – spindulys, H – nuopjovos aukštinė.Kubas. Spag = a2, dk = a (dk – kubo įstrižainė), Sšon = 4a2, ds = a (ds – šoninės sienos įstrižainė), Spav = 6a2, S = , V = a3.Stačiakampis gretasienis. Spag = ab, d2 = a2 + b2 + H2 (d – stačiakampio gretasienio įstižainė, H – aukštinė), Sšon = Ppag H = 2(a + b) H (Ppag – pagrindo perimetras), Spav = Sšon + 2Spag = 2 (ab + aH + bH), V = Spag H = ab H.Vektorių skaliarinė sandauga. ; čia – kampas tarp vektorių ir .Trigonometrinės funkcijos. 1+tg2 = sinx = a, x = (-1)k arcsine + k, k Z, -1 ;cosx = a, x = -1 ;tgx = a, x = arctga + k, k Z.2cos2 = 1 + cos2, sin ( , cos( .sin , cos + cos = 2cos ,cos – cos = -2sin .
Logaritmo pagrindo keitimo formulė. logab =
XI klasėTrigonometrija funkcijos ir lygtysAtvirkštinės trigonometrinės funkcijos:
arcsinx = y, , kur siny = xarccosx = y, , kur cosy = xarctgx = y, , kur tgy = xarcctg = y, , kur ctg = x.
Trigonometrinių lygčių sprendimas
sinx = a, x = (-1)narcsina+n, n = 0,
sinx = -a,x = (-1)narcsina+n, n = 0,
sinx = 0,x = n, n = 0,
sinx = 1,x = , n = 0,
sinx = -1, x = – , n = 0,
cosx = a, x = , n = 0,
cosx = -a, x = , n = 0,
cosx = 0x = , n = 0,
cosx = 1,x = 2n, n = 0,
cosx = -1,x = + 2n, n = 0,
tgx = a,x = arctg + n, n = 0,
tgx = 0,x = n, n = 0,
tgx = 1,x = – , n = 0,
tgx = -1,
x = – , n = 0,
ctgx = a,x = arcctga + n, n = 0,
ctgx = 0,x = – , n = 0,
ctgx = 1,x = x = – , n = 0,
Neigiamo argumento atvirkštinės trigonometrinės funkcijos
arcsin(-x) = -arcsinxarccos(-x) = – arccosxarctg(-x) = -arctgxarcctgx(-x) = – arctgx
Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas
1. Apskaičiuokitea) arcsin ,nes arcsin , arctg ir arccos .b) arcsin , nes arcsin ,
arccos .c) tg , nes arctg1 = .2. a) sinx = – .x = x = Ats.: b) cosx = – .x = Ats.: a) tgx = – .x = arctg x = –d) cos2x = .2x = 2x = x = Ats.: .e) 6sin sin
x = Ats.: .f) 2cos 2cos cos 2x – 2x – 2x = x = Ats.: .g) ctg 5x + 5x + 5x = 5x = x = Ats.:
Uždaviniai.1. Apskaičiuokite: a) 2arccos1 – arctg Ats.: b) arcos(-1) – arcsin Ats.: .2. Išspręskite lygtis:
a) sinx = Ats.: b) cosx = Ats.: c) tgx = Ats.: d) – Ats.: e) 2tg Ats.: g) Ats.:
Paprasčiausių nelygybių sprendimas
1. sinx < Sprendimas:
Braižome funkcijų y ž sinx ir y = grafikus.
Duotosios nelygybės sprendiniai – tai ašies Ox taškas tuose intervaluose, kur sinusoidė yra žemiau tiesės y = . Tuos intervalus brėžinyje paryškiname. Paryškintų intervalų galus (taškus x1 ir x2, ir ) nustatome išsprendę lygtis: sinx = , = , = , x1 = , x2 = .Pridėję 2n, parašome visus nelygybės sprendinius: + 2n < x < + 2n arba + 2n < x < + 2nx ir x .Išrenkame vieną iš atsakymų.Ats.: x .2. cos2x > . Pažymėkime 2x = t, 0,7.Braižome funkcijų y = cost ir y = 0,7 grafikus.
Duotosios nelygybės sprendiniai – tai ašies Ox taškai intervaluose, kur kosinusoidė yra virš tiesės y = . Tuos intervalus brėžinyje paryškiname. Paryškinto intervalo galus (taškus t1 ir t2) nustatome išsprendę lygtis cost = , t1 = ir t2 = .Pridėję 2k, parašome visus nelygybės sprendinius + 2k < t < + 2k – < x < Ats.: – < x < .Trigonometrinių lygčių, pakeistų paprastosiomis lygtimis, sprendimo būdai
Pavyzdžiai:1. 2cos Sprendimas:Kadangi cosx , tai lygtį perrašome taip
4cos cos arba cos
x x Ats.: ; .
2. 5cos2x = sinx – 6. Sprendimas: Kadangi cos2x = 1 – 2sin2x, tai lygtį perrašome taip 5 , atskliaudžiame sudauginant ir gainame: 5 – 10sin2x = sinx – 6 10sin2x + sinx – 6 – 5 = 0 arba 10sin2x + sinx – 11 = 0 Pažymime sinx = b ir gauname kvadratinę lygtį: 10b2 + b – 11 = 0 D = 1 + 4 10 11 = 441 = 212 b1 = , b2 = =
Vadinasi arba sinx = 1, tada x = , 1 ir ši lygtis neturi sprendinių, nes -1,1 < -1.
Ats.: .
3. sin Sprendimas:
-(cos cos gavome lygtį:-cos2x arba + cos2x = 0Pažymime cos2x = a, gauname lygtįa2 + a = 0a(a+1) = 0 a= 0 arba a +1 = 0 a = -1.Vadinasi cos2x = 0, tada 2x = x = arba cos2x = -1, tada 2x = + 2k, k Zx = Ats.: x = ;
4. cos Sprendimas:cos . Kadangi cos , tadacos3x – 2cos4xcos3x = 0cos3x(1 – 2cos4x) = 0cos3x = 0 arba 1 – 2cos4x = 03x = 1 = 2cos4xx = cos4x =
4x = x = Ats.: ; .
5. ctgxc…osx – ctgx – cos1 + 1 = 0 Sprendimas: Lygties kairiąją pusę išskaidome dauginamaisiais ctgx(cosx – 1) – (cosx -1 ) = 0 (cosx – 1)(ctgx – 1) = 0 cosx = 1 arba ctgx = 1 x = 2n, n Z. x = Ats.: 2n, n Z; .
6. sin Srendimas: Suprastiname kairiąją pusę sinxcosx(sin2x – cos2x) = sin4x = – sin2x = 2sinxcosx 4x = (-1) -2sinx cosx (cos2x – sin2x) = 4x = (-1) -sin2x cos2x = x = (-1) -2sin2x cos2 = -sin4x = Ats.: (-1) .
7. 4cos Sprendimas: Kadangi cos2x = 1 – sin2x, tada perrašome lygtį taip 4 (1 – sin2x) + sinx = 1. Atskliaudžiame sudauginant ir gauname 4 – 4sin2x + sinx – 1 = 0 arba -4sin2x + sinx + 3 = 0 Dauginame iš (-1) ir gauname -4sin2x – sinx – 3 = 0. Pažymime sinx = c, gauname kvadratinę lygtį: 4c2 – c – 3 = 0 D = 1 + 4 4 3 = 49 = 72 c1 = , c2 = . Vadinasi sinx = 1, tada x = ir sinx = – , tada x = (-1) Ats.: ; (-1)
8. sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0 Sprendimas: Abi lygties puses padaliję iš cos2x (cosx 0 arba x + n), gauname tg2x – 4tgx + 3 = 0 Pažymime tgx = b ir gauname
b2 – 4b + 3 = 0, kurią išsprendę gauname b1 = 3 ir b2 = 1. Sprendžiame dvi lygtis: tgx = 3 ir tgx = 1 x = arctg3 + n, n Z ir x = Ats.: arctg3 + n, n Z; .9. 1 – 2sin2x = 6cos2x Sprendimas: Kadangi 1 = sin2x + cos2x, sin2x = 2sinxcosx, tai sin2x + cos2x – 4sinxcosx – 6cos2x = 0 sin2x – 4sinxcosx – 5cos2x = 0 Abi lygties puses padalykite iš cos2x, gauname tg2x – 4tgx – 5 = 0 Pažymime tgx = b, gauname kvadratinę lygtį b2 – 4b – 5 = 0, išsprendę gauname b1 = 5, b2 = -1. Vadinasi tgx = 5, tada x = arctg5 + n, n Z ir tgx = -1 x = – Ats.: arctg5 + n, n Z; –
10. sin2x – Sprendimas: Abi lygties puses padalijame iš cosx 0 ir gauname tg2x – = 0 tg2x = 2x = x = Ats.: .11. sin2x + 2 cos2x = 0 Sprendimas: 2sinxcosx + 2 cos2x = 0 2cosx(sinx + cosx) = 0 cosx = 0 – pašalinis sprendinys sinx + cosx = 0, abi puses padaliję iš cosx 0, gauname tgx + = 0 tgx = – x = – .Ats.: – .
12. sin5x – sin4xcosx = 2sin3xcos2x Sprendimas: sin5x – sin4xcosx – 2sin3xcos2x = 0 sin3x (sin2x – sinxcosx – 2cos2x) = 0 sin3x = 0 arba sin2x – sinxcosx – 2cos2x = 0 sinx = 0 abi puses padaliję iš cos2x gauname x = n, nZ tg2x – tgx – 2 = 0. Pažymime tgx = y ir gauname kvadratinę lygtį y2 – y – 2 = 0, kurią išsprendę gauname: y1 = 2 ir y2 = -1 Sprendžiame dvi lygtis: tgx = 2 tgx = -1 x = arctg2 + n, n Z x = – Ats.: n, n Z; arctg2 + n, n Z; –
Uždaviniai.1. Išspręskite lygtis:a) 2sin2x – 3sinx +1 = 0. Ats.: b) 2sin2x – 2cos2x = 1. Ats.: c) sin22x = cos22x + 2cos4xcosx. Ats.: d) cos2x = cosx. Ats.: 2k, k Z.e) 4sinxcosx = Ats.: (-1) f) cos2 – sin2 = sin2x. Ats.: + n, n Z; (1) g) (cosx – sinx)2 = cos2x Ats.: n, n Z; h) 1 + 2sin2x + 2cos2x = 0 Ats.: – -arctg3 + k, k Z.i) 2sin2x – 5cosx +1 = 0 Ats.: j) Ats.: – ;
Savarankiškam darbui
1. 1 – cosx = sinx2. 4sin4x + 4sin2xcos2x = 23. 2sin2x = 3cosx4. (cosx + sinx)2 = cos2x5. sin5x – sin3x +sinx = 06. 5sin2x – 4cosxsinx + 3cos2x = 2 7. cos3xtgx = 08. cos2x + 3sinx – 2 = 0…Trigonometrinių reiškinių pertvarkymai.Bendrasis kursas
I variantas Iivariantas
1. Duota: cos = -0,6 ; 90o < < 180o 1. Duota: sin = – ; 180o < < 270oRaskite tg Raskite ctg
2. Suprastinkite: 2. Suprastinkite:a) 2 – sin2 – cos2 a) 1 + cos2 – sin2b) b) cos (1 + tg) – sin (1 + ctg)c) cos4 + sin2 cos2 c) sin2 cos2 + sin4
3. Įrodykite tapatybę 3. Įrodykite tapatybęa) cos4 + sin2 cos2 + sin2 = 1 a) sin2 cos2 + sin4 + cos2 = 1b) sin – b) cos – c) sin4 + cos4 + 2sin2cos2 = 1
Atsakymai
I variantas II variantas
1. – 1. 2. a) 1 ; b) sin2 ; c) cos2 2. a) 2cos2 ; b) 0 ; c) sin2.Trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimasBendrasis kursas
I variantas II variantas
1. Išspręskite lygtis:
a) 1. sin2x = a) 1. co3x = 2. cos 2. sin 3. tg 3. tg
b) 1. cos2x = + sin2x b) 1. 4sinx cosx = 1 2. 2sin2x – 5sinx + 2 = 0 2. 2cos2x + 5cosx + 2 = 0 3. cos2x + 5sinx – 3 = 0 3. 7cosx – 4sin2x = 0
2. Išspręskite nelygybes:
a) cosx > – a) cosx < – b) sin2x < 0 b) sin2x > 0c) tg c) tg
Atsakymai
I variantas II variantas
1. a) 1. (-1) ; 1. a) 1. ; 2. ; 2. (-1) ; 3. ; 3. n.
b) 1. ; b) 1. (-1) ; 2. (-1) ; 2. ; 3. (-1) ; 3. ir (-1) .
2. a) – ; 2. a) b) b) c) c)
Išplėstinis kursasI variantas
I. Išspręskite lygtis:
1. 2cos2x = 3sinx
a) x = , b) x = (-1) , c) x = (-1) , d) x = (-1) .2. tgx + ctgx = 2 a) x = , b) x = , c) x = d) x = – .3. 3sin2x + sinx cosx = 2cos2x a) x = b) x = – x = – srctg x = arctg
c) x = d) x =
x = arctg1,5 + k, k Ze) kitas atsakymas1. 1 + cosx = 2cos , pastaba: 1 + cos2x = 2cos2x2. 3tg2x – tgx = 0
II. Išspręskite lygčių sistemą:
III. Raskite funkcijų y = sinx ir y = sin grafikų susikirtimo taškų abscises.IV. Išspręskite nelygybes: sinx . ctg .
Išplėstinis kursas
I variantas II variantas
1. Jei sin + cos = , apskaičiuokite: 1. Jei sin – cos = ,sin cos. apskaičiuokite: sincos.
2. Jei f(x) = cos2x – 3sinx. Raskite 2. Jei f(x) = sin2x + cosx. Raskitea) f(0) ; b) f ; c) f a) f(0) ; b) f ; c) f .
3. Apskaičiuokite reiškinio 3. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę, kai tg = 3 reikšmę, kai tg= 24. Suprastinkite 4. Suprastinkitea) a) b) (sin2 + 3cos2)2 + (cos2 – 3sin2)2 b) (2sin3 – 3cos3)2 + (2cos3 + + 3sin3)2c) c)
5. Įrodykite tapatybę: 5. Įrodykite tapatybę:a) a) = = 2cos.
Atsakymai
I variantas II variantas
1. – 1. 2. a) 1 ; b) -4; e) -1 2. a) 1 ; b) 0 ; c) 3. 4,5 3. – 4. a) cos2 ; b) 10 ; c) sin 4. a) ; b) 13 ; c) cosx.
Išplėstinis kursasII variantas
I. Išspręskite lygtis:1. 2sin2x – 5 = -5cosx a) x = n, n Z, b) x = + 2n, n Z, c) x = + 2n, n Z, d) x = 2n, n Z.2. tgx + ctgx = -2 a) x = + n, n Z, b) x = + n, n Z, c) x = – + 2n, n Z, d) x = – + n, n Z.
3. 4sin2x = 3sinx cosx + cos2x a) x = + n, n Z b) x = + n, n Z x = arctg4 + k, k Z x = -arctg + k, k Z c) x = + n, n Z d) x = – + n, n Z x = arctg + k, k Z x = arctg + k, k Z
e) kitas atsakymas
II. Išspręskite lygčių sistemą:
III. Raskite funkcijų y = sin ir y = – sinx grafikų susikirtimo taškų abscises.
IV. Išspręskite nelygybes: cosx tg .Rodiklinių lygčių sprendimas1 tipas. a = 1, a > 0, a 1.Duotoji lygtis ekvivalenti lygčiai f(x) = 0.2 tipas. a = a , a > 0, a 1.Dutoji lygtis ekvivalenti lygčiai f(x) = g(x).3 tipas. pa Duotoi lygtis sprendžiama naujo kintamojo įvedimo metodu.Pažymime ax = y ir sprendžiame lygtį py2 + qy + r = 0.4 tipas. Lygtys sprendžiamos iškeliant už skliaustų bendrą dauginamąjį.
Pavyzdžiai:1. 3 2. 10 Sprendimas: Sprendimas: x = x – 4 = 0 10 Ats.: .x = 4Ats.: 4. 10 2x = 3. 2 4. 2 Sprendimas: Sprendimas:2 (2 5) 2 10 x2 = 3 -2x x2 + 2x – 3 = 0x+1 = 25 Pagal Vieto teoremąx = 24 x1 + x2 = -2 x1 = -3Ats.: 24. x1 x2 = -3 x2 = 1 Ats.: -3, 1.
5. 3,24 , x 6. 0,04 Sprendimas: Sprendimas:(1,8)2 = 3,24 1,8 =
5 -2 2,25x – 0,5 = 46 = ; 2 = 2,25x = 4,5Ats.: 4. x = 2 Ats.: 2.
7. 3x – 3x-2 = 24Sprendimas:3x – 3x 3-2 = 24 arba 3x – 3x .3x
3x x = 33x = 24 Ats.: 3.3x = 27 = 338. 4 Sprendimas:(22)x+1,5 + 2x+2 = 422x+3 + 2x+2 = 422x 23 + 2x 22 – 4 = 022x 8 + 4 2x – 4 = 0Pažymime 2x = b, 22x = b22b2 + b – 1 = 0D = 1 + 2 4 1 = 9b1 = , b2 = Dabar sprendžiame dvi lygtis:2x = -1 ir 2x = 2x > 0 su visomis reikšmėmis, pirmoji lygtis sprendinių neturi, iš antrosios lygties x = -1.Ats.: -1.
9. 0,51-2x – 0,251-x + 053-2x = 48Sprendimas:0,51-2x – ((0,5)2)1 + 053-2x = 480,51-2x – 0,52-2x + 053-2x = 480,51 0,5-2x – 0,52 0,5-2x + 0,53 0,5-2x = 48.Pažymime 0,5 ir gauname0,5a – 0,25a + 0,125a = 48a(0,5 – 0,25 + 0,125) = 48 arba a x = 48a a = 128, dabar 0,5-2x = 12822x = 272x = 7x = 3,5 Ats.: 3,5.
10. 26 5 , x -1Sprendimas:26 5 pažymime 5 = b. 5 = b2, gauname kvadratinę lygt:-5b2 + 26b -5 = 05b2 – 26b + 5 = 0D = 676 – 4 5 5 = 676 – 100 = 576 = 242b1 = , b2 =
Dabar sprendžiame dvi lygtis:5 5 5
x + 1 = 1 x = 0 Ats.: 0.
11. 4cos2x + 4 = 3Sprendimas:Kadangi cos2x = 2cos2x-1, tai gauname42 + 4 – 3 = 0Pažymime 4 = b, 42 = 42 4-1 = + b – 3 = 0b2 + 4b – 12 = 0 Išsprendę šią kvadratinę lygtį gauname:b1 = -6 ir b2 = 2Dabar sprendžiame dvi lygtis:4 =2 4 = -62 = 2 Neturi sprendinių, nes 4 > 0.
2cos2x = 1cos2x = cosx = ir cos = – cosx = cosx = – x = ; x = Ats.: ; x =Uždaviniai.1. 0,82x-3 = 1 Ats.: 1,5.2. 27-3x = Ats.: 1,5.3. 2x+2 + 2x = 5 Ats.: 0.4. 9x – 6 3x – 27 = 0 Ats.: 2.5. 4x – 14 2x – 32 = 0 Ats.: 4.6. 5x+1 – 3 5x-2 = 122 Ats.: 2.7. Ats.: 2.8. 8-x = 16 Ats.: – .9. Ats.: -2, -1.
Savarankiškas darbas
1. 3x+2 + 3x = 302. 4x – 3 2x = 403. 9-x = 274. 3x+1 – 4 3x-2 = 695. 2x + 2x-3 = 186. 52x – 3 – 2 5x-2 = 37. 5x – 0,2x-1 = 48. 27-1 32x = 8110. 2 3x + 3x-2 = 57Rodiklinių nelygybių sprendimas1. 25-6x > . Kadangi , gauname nelygybę:25-6x > 2-3. Pagrindas 2 > 1, pagal rodiklinės funkscijos savybes (funkcija didėja apibrėžimo srityje). Gauname:5 – 6x > -3-6x >-5 -3-6x > -8x < Ats.: x .
2. < 32, kadangi 32 = 25 = pagrindas 0 < < pagrindas 0 < pagal rodiklinės funkcijos savybes (funkcija mažėjanti apibrėžimo srityje), gauname-2x + 5 > -5-2x > -10x < 5Ats.: (- .
3. 0,6 < 1. Kadangi 1 = 0,60, tai gauname0,6 < 0,602×2 +4x> 0 x2 + 2x > 0x(x + 2) > 0x = 0 x = -2
Ats.: x (- ;-2) (0;+ ).
4. Sprendimas:
5
Ats.: [-1;+ ).
Uždaviniai.1. 54x -7 > 1 Ats.: (1,75; ).2. 0,7x < 2 Ats.: (-2; ).3. 40,5×2-3 > 8 Ats.: (- ; -3) (3; + ).4. Ats.: (- ; 0).Logaritminės lygtysRodiklinė funkcija y = ax (kur a > 0, a 1) yra monotoniškai didėjanti, kai a > 1 ir monotoniškai mažėjanti, kai 0 < a < 1. Todėl ji turi atvirkštinę funkciją, kuri vadinama logaritmine ir žymima y = loga x (kur a > 0, a 1). Logaritminė ir rodiklinė funkcijos su tuo pačiu pagrindu yra tarpusavyje atvirkštinės.loga b (a >0 ir a 1) egzistuoja, jei b > 0
Logaritmas pagrindu a skaičiaus b lygus laipsnio rodikliui, kuriuo reikia pakelti pagrindą, kad gauti skaičių b. Logaritmas pagrindu 10 vadinamas dešimtainiu ir žymimas lg.ac = b loga b = cPagrindinė logaritmo tapatybė:a
Savybės1) Kai a >1 ir b > 1, tai loga b >0Kai a> 1, o 0 1, tai loga b <0Kai 0 < a < 1 ir 0 < b < 1, tai loga b >0.2) Jei loga b = loga c, tai b =c.3) Jei a > 1 ir loga b > loga c, tai b >c.4) Jei 0 < a <1 ir loga b > loga c, tai b < c.5) loga 1 = 0, nes ao = 1.6) loga a = 1, nes a1 = a.
Sandaugos, dalmes ir lapsnio logaritmailoga(x1x2…xk) = logax1 + logax2 + … + logaxk, kur a > 0, a 1, x1 >0.loga = loga x1 – logax2, kur a >0, a 1, x1 >0, x2 >0.loga xk = k logax, x > 0, a 1, a >0.Pastaba. Jeigu x < 0, o k – lyginis skaičius, tai loga xk = kloga , kur a 1, a > 0
Perėjimo nuo pagrindo b prie pagrindo a formulė
logbx = , kur x >0, b > 0, b 1, a 1, a > 0.
logba = . kur a 1, a > 0, x >0. , kur a 1, a >0, k 0.
Pavyzdžiai:1. Apskaičiuokite:a) 9 b) 2
c) log Pastaba : 0,5 d) 3log Pastaba: , nes log ir log log e) lg tg f) log Pastaba: .
2. Raskite x:a) log , x > 0 (Pagal logaritmo apibrėžimą)x = x = x = Ats.:
b) log x > 0 ir x 1, kadangi . Gauname-2log x = 53 = 125log Ats.: 125.5 = x
c) log . Pagal logaritmo apibrėžimą x > 0.
x = 8 Ats.: 8.
d) log3x = log38 – log38.Suprastiname dešinę lygties pusę:log318 – log38 = log3 = log39 = 2, nes 8 = (23) = 2Gavome: log3x = 2x = 32 = 9Ats.: 9.
e) log4x = 2 log43 + log449 – log427.Suprastinkime dešinę lygties pusę:2 log43 + log449 – log427 = log432 + log449 – log427 = log49 + log47 – log43 = log4 Gavome lygtį: log4x = log421x = 21 Ats.: 21.
3. Išlogaritmuokite pagrindu 10, kaix = .lgx = lg
4. Nurodykite funkcijų apibrėžimo sritį:a) y = log2 (x2 – 9), egzistuoja logaritmas tik teigiamo skaičiaus, todėl
x2 – 9 >0 x2 >9Nuliai: x = 3 ir x = -3x (- ; -3) (3; + ).Ats.: x (- ; -3) (3; + )b) y = log3(2x – 1)2x – 1>02x > 1x > Ats.: x .
c) y = lg (-3×2 + 5x + 2)-3×2 + 5x + 2 < 03×2 – 5x – 2 <0, nustatome funkcijos nulius3×2 – 5x – 2 = 0D = 25 4 3 2 = 25 + 24 = 49 = 72x1 = , x2 = 3×2 – 5x – 2 = 3(x – 2)(x – ) <0x
Ats.: x .
d) y = lg arba (x +2)(x – 2) >0x (- ; -2) (2; + ).
Ats.: x (- ; -2) (2; + ).
Uždaviniai.Apskaičiuokite:1. 16 Ats.: 2. log4 log16256 + log4 Ats.: 3. log Ats.: 7.4. 16 Ats.: 160.
Raskite x:1. log3x = 2 log37 + log332 – log3196. Ats.: 7.2. log = – Ats.: 3. logx Ats.: 512.
Nurodykite funkcijos apibrėžimo sritį:1. y = log3(1-2x) Ats.: 2. y = log Ats.: (- ; 0) (2; + ).
Išspręskite logaritmines lygtis:1) log3(3x – 5) = log3(x – 3) x > 3 (lygties ažibrėžimo sritis) 3x – 5 > 0 x -3 > 0 x > x > 3Pagal savybes3x – 5 = x – 33x – x = 5 – 32x = 2x = 1 Ats.: sprendinių nėra, nes 1 <3.
2) log2(x2 – 3x + 10) = 3 Duotosios lygties apibrėžimo sritis – bet koks realus skaičius.Pagal logaritmo apibrėžimą:x2 – 3x + 10 = 23x2 – 3x + 2 = 0Pagal Vieto teoremąx1 + x2 = 3 x1 = 2x1 x2 = 2 x2 = 1 Ats.: 2, 1.
3) lg5x + lg(x – …1) = 1 x > 1 – duotosios lygties apibrėžimo sritis. Pagal savybes lg5x (x – 1) = 1, 1 = lg10 lg5x(x – 1) = 10 5x(x – 1) = 10 5×2 – 5x – 10 = 0 x2 – x – 2 = 0 Pagal Vieto teoremą x1 + x2 = 1 x1 = 2 x1 x2 = -2 x2 = -1 Ats.: 2.
4) 2x – 1 > x > lg(2x – 1) = lg0,3 + 1; 1 = lg10lg = lg0,3 10 = 32x – 1 = 9x = 5 Ats.: 5.
5) lg(2x-19)-lg(3x-20)=-lgx , lygties apibrėžimo sritis x >9,5
lg lg 2x 2×2 – 22x + 20 = 0 arbax2 – 11x + 10 = 0Išsprendę šią kvadratinę lygtį gauname:x1 = 1x2 = 10 Ats.: 10.
6) log2 log3 (x -1) = 1 ; x -1 > 0 x > 1log3 (x – 1) = 21x – 1 = 32x = 10 Ats.: 10.
7) log2 (3 + 2x) + log2 (5 – 2x) = 4log2( 3 + 2x)(5 – 2x) = 4(3 + 2x)(5 – 2x) = 2415 + 5 2x – 3 2x – 2x 2x = 16-22x + 2 2x – 1 = 0Pažymime 2x = a gauname a2 – 2a + 1 = 0 (a – 1)2 = 0a – 1 = 0a = 1Sprendžiame lygtį: 2x = 1x = 0 Ats.: 0.
c) log3 x log9x log27x = , x >0.Kadangi log9x = log27x = log x = . Gauname
(log3x)3 = 8 log3x = log3x = 2x = 32x = 9 Ats.: 9.
9) logx+1(2×2 + 1) = 2 x > -1 ir x 0Pagal logaritmo apibrėžimą:2×2 + 1 = (x + 1)22×2 + 1 = x2 + 2x + 1x2 – 2x = 0x (x – 2) = 0x = 0 ir x = 2 Ats.: 2.
10) 3log6x + log x = 4, x > 0Kadangi log x = gauname3log6x – log6x = 42log6x = 4 log6x = 2x = 62 = 36 Ats.: 36.
11) lg2x – lg = 0,5, x > 0.Kadangi lg = lg x = lg x, gauname lygtįlg2x – lg x – 0,5 = 0. Pažymime lg x = y ir gaunamey2 – y – = 02y2 – y – 1 = 0D = 1 + 8 = 9y1 = y2 = Dabar sprendžiame dvi lygtis:lgx = 1 ir lgx = – x = 101 = 10 x = 10 Ats.: 10, 10 .
12) log3(log x – 3log2x + 5) = 2, x>0log x – 3log2x + 5 = 32 = 9log x – 3log2x – 4 = 0Pažymime log2x = b ir gaunameb2 – 3b – 4 = 0Pagal Vieto teoremąb1 + b2 = 3 b1 = 4b1 b2 = -4 b2 = -1log2x = 4 ir log2x = -1x = 24 = 16 x = 2 -1 = Ats.: 16, .
13) 4 = , x >0, x Kadangi = 4-2 gauname4 = 4-2logx – 1 = -2logx = -1x-1 = arba x = 3 Ats.; 3.
14) 5 = 125, x >0. = 125arba125 = 125 5 5 = 531 = 5 3 – log32x = 350 = 5 arba log32x = 1log32x = 0 2x = 30 = 12x = 30 x = x = Ats.: .
15) (x – 1)logx25 = 0, x >0 ir x 1.Sandauga lygi nuliui, kai vienas iš narių yra nulisx – 1 = 0 arba logx25 = 0x = 1 x0 = 25 1 25 Ats.: Sprendinių nėra.
16) lg2(10x) + lgx = 19, x >0lg2(10x) = lg10x lg10x = (lg10 + lgx)(lg10 + lgx) = (1 + lgx)(1 + lgx) = (1 + lgx)2 == 1 + 2lgx + lg2x1 + 2lgx + lg2x + lgx = 19lg2x + 3lgx – 18 = 0lgx = aa2 + 3a – 18 = 0Pagal Vieto teoremąa1 + a2 = -3 a1 = -6a1 a2 = -18 a2 = 3lgx = -6 ir lgx = 3x = 10-6 x = 103 Ats.: 103 ; 10-6.
Uždaviniai
1. log x – log3x = 2. Ats.: 9; 2. log7(4x – …6) = log7(2x – 4). Ats.: Sprendinių nėra.3. log (x2 – 4x – 1) = -2 Ats.: -1; 5.4. log (2x – 3) = (2x + 3). Ats.: 3.5. log2(x2 + 8) – log2(x -1) = log . Ats.: 4.6. 3 = Ats.: 1; 16.7. log2(22x + 16x) = 2 log412. Ats.: log43.8. logx(x + 6) = 2. Ats.: 3.9. lg2x2 – 3lgx2 = 4. Ats.: 100; 10. log (x2 – 3x) = 4. Ats.: -1; 4.11. (x – 1)logx(x2 + 1). Ats.: Sprendinių nėra.Savarankiškam darbui
1. lg(2x + 1) = 0,5 lg(1 – 0,3x).2. log (x2 – 5x – 3) = 2.3. log x – log x = 6.4. log4(3x – 4) – log4(5 – x2) = 0,5.5. log7x + log7(3x – 8) = 1 + 2log72.6. log (x2 + 6x) = -2.7. log3 + log = -18. 2log5(lgx) = log5(10 – 9lgx).9. logx2 + log2x = 3 .10. 5 = .
Logaritminių nelygybių sprendimas
Pavyzdžiai.1. log3(3x – 2) > 0, duotosios nelygybės kintamojo reikšmių sritis. 3x – 2 >0 x > logaritmo pagrindas – skaičius 3, visoje apibrėžimo srityje funkcija didėjanti, todėl 3x – 2 > 30 3x > 1 +2 3x >3 x >1 Ats.: (1 ; ).
d) log (3x – 2) > 0, x > – apibrėžimo sritis. Logaritmo pagrindas – skaičius , visoje apibrėžimo srityje funkcija mažėja, todėl 3x – 2 < 3x < 1 + 2 3x < 3 x < 1 Ats.: x .
e) log0,5(5x – 1) > log0,5(2x + 5), x > 5x – 1 < 2x + 55x – 2x < 5 + 13x < 6x <2 Ats.: .
f) log0,11
log0,11 < log0,111, nes 0 = log0,111 Ši nelygybė ekvivalenti sistemai: arba >1
x2 + 1 visada teigiamas reiškinys, todėl -x – 1 > 0 arba -(x + 1) >0 x + 1 < 0 x < -1 Ats.: (- ; -1).
Uždaviniai.1. log4(6x – 8) > 2 Ats.: x (4; + ).2. log0,5(2x – 4) > -1 Ats.: x (2 ; 3).3. log16,3 > 0 Ats.: x (1,5; + ).
Rodiklinių ir logaritminių lygčių sistemų sprendimas
Pavyzdžiai.1. x >0, y > 0.
Sprendžiame antrąjąlygtį – y2 + 8y – 12 = 0 y2 – 8y + 12 = 0 y1 + y2 = 8 y1 = 2 y1 y2 = 12 y2 = 6 Dabar apskaičiuosime kintamųjų x reikšmes x1 = 6 ir x2 = 2 Ats.: (6; 2) ir (2; 6).
2. Iš pirmosios lygties:
Sprendžiame antrąją lygtį; 3x 3 23 2x = 24 3x 2x 24 = 24 (3 2)x 24 = 24 6x = 1 arba 6x = 60 ir x = 0 y = 3 + 0 y = 3 Patikrinimas Ats.: (0; 3).
3.
29-7x = 21-x 9 – 7x = 1 + x 8 = 8x x = 1 Dabar y = 9 – 7 1 = 2 Patikrinimas
Ats.: (1; 2).
4. x >0 3 + x = 10 3 3 + x = 10, bet 3 = x 9 x + x = 10 10x = 10 x = 1 y = 2 + log31 = 2 + 0 = 2 Ats.: (1; 2).
Uždaviniai1. Ats.: (2; 4) ir (4; 2).2. Ats.: (3; 1).
Įskaita
g) Duotos lygtys: 23-x = 1; 31-x = ; log2(x – 1) = 1; log4(5 + x) = 2. Kokių lygčių šaknis yra skaičius 3?
h) Išspręskite lygtis: 2x = ; (0,2) = 5 ; ; ; log5x = 2; logx 0,04 = 2; logx = -3;log3x – 1 = 0; log x = 4; log x – 2 = 0; log (2x+1) = log (x – 1);log (x2 – 15) = 0.
3. Išspręskite nelygybes: 3 > ; ; 0,5 >8;0,3 ; lg(x -1) >0; log (2 + 3x) ; log ; log . Log5x < log54.4. Nurodykite apibrėžimo sritį: y = lg(x2 – 4x + 10); y = lg ;y = ; y = .
Laipsnio sąvokos apibendrinimas
Apskaičiuokite:1 variantas
a) (7 d) b) e) c) 2 (-3) f) log 9 log
2 variantas
a) 12 d) b) e) (log 2 + log 3 + 2 c) f) log 125 : log 64 log 81
Rodiklinių lygčių ir nelygybių sprendimas (bendrasis)
1. 3x – 2 3x-2 – 63 = 0
A 4 ; B -1 ; C 2 ; D 0
2.
A 1 ; B -2 ; C ; D …0
3.
A 0 ; B 1 ; C -1 ; D 2
4. 4
A -3 ir 1 ; B 4 ir 0 ; C 2 ; D 1 ir -25.
A 2 ir 3 ; B -2 ir -3 ; C -6 ir 1 ; D 0 ir 6
6. 2x+3 = 4x
A 0 ; B 3 ; C -2 ; D -3
7. 4x – 10 2x-1 = 24
A 1 ir -3 ; B 3 ; C 1 ir 0 ; D 1
8. 2x+3 < 4x
A (3; + ) ; B (- ; -3) ; C (-3; 3) ; D (1; + )
9.
A (-2; 3) ; B (-3; 2) ; C (- ; -3) (2; + ) ; D [2; + )
10.
A (- ; 0) ; B (0; + ) ; C (-1; 1); D (0; 1)
Rodiklinių lygčių ir nelygybiųsprendimas (išplėstinis)
1.
A 5 ir -3 ; B -3 ir 5 ; C 1 ir -3 ; D 3 ir -1 ; E kitas atsakymas
2.
A -1 ; B 0 ir 1 ; C 2 ; D (0; 1) ; E kitas atsakymas
3. 9 31-2x = 272-x
A 0 ; B 3 ; C 1 ; D -3 ; E kitas atsakymas
4. 9x-1 – 32x-4 = 72
A 2 ; B -2 ; C 3 ; D 0 ; E kitas atsakymas
5. 32x+1 – 8 3x = 3
A 3; – ; B 0; 1 ; C 1 ; -1 ; D 1 ; E kitas atsakymas
6. 3x-1 + 2 3-x-1 -1 = 0
A 1 ir 2 ; B 0 ir log32 ; C 1 ir 0 ; D kitas atsakymas
7.
A 2 ir 3 ; B 0 ir 1 ; C -1 ir 0 ; D kitas atsakymas
8. 9x + 4x+1,5 = 6x+1
A log ir 2 log ; B -2 ir 0 ; C 1 ir 0 ; D 0; -1
9. 43x + 42x+1 = 4x + 4
A -1; 1 ; B 0 ; C -1 ir 0 ; D kitas atsakymas
10.
Sprendimas
;
4x = 8x = 24 – y = 1y = 3 (2; 3)
11.
A (- ; B {-3; 0) ; C (-3; 0) ; D [0; + ) ; E kitas atsakymas
12.
A [-1; ; B (- ; -1] ; C (- ; -1) ; D kitas atsakymas
13.
A (- ; -0,8) (1; + ) ; B (- ; 0) ; C (0; + ); D kitas atsakymas
14.
A (-2; 0); B {0; 2) ; C (4; 1) ; D kitas atsakymas
Kontrolinis darbas„Rodiklinės ir logaritminės lygtys bei nelygybės“(bendrasis kursas)
I variantas
1. Apskaičiuokite:a) Jei 12x = 3, paskaičiuokite 122x-1.b) 12 6 (0,5) c) 3
1 grupė 2 grupė
2. Išspręskite lygtis:
1. 6 1. log2(2x – 1) = 32. 225 152x+1 = 1 2. log5 3. 49x+1 = 3. lg(5x + 2) = 4. 9x – 10 3x + 9 = 0 4. log x – 2log2x = 35. * 5. *
3. Išspręskite nelygybes:
1. 1. log0,5(2x + 1) > -22. 2. log7(2x – 1) < 23. 0,7x < 3.
II variantas
1. Apskaičiuokite:a) (27 2 2) b) Jei 8x = 5, raskite 8-x+2c) 8 1 grupė 2 grupė
2. Išspręskite lygtis:
1. 4 1. log 2. 3x + 3x+1 = 4 2. log4(1 – 2×2) = log4(1 – 6x)3. 3. log4x + log4x(x – 6) = 24. 52x – 6 5x + 5 = 0 4. log 5.* 5.*
3. Išspręskite nelygybes:
1. ( )x-6 < 1. log 2. 2. …3. 0,9x 3. log3(1 – x) > log3(3 – 2x)
Išplėstinis kursas
I variantas
1. Apskaičiuokite
a) log2a = 14 Raskite 1) log2(8a) 2) log2a3b) c) d) log4 log981 + log3
1 grupė 2 grupė
2. Išspręskite lygtis:
1. (1,5)x 1. log3(x – 2) + log3 (x + 4) = 32. 52x-3 – 2 5x-2 = 3 2. log 3. 0,23-2x + 3 0,042-x = 8 3. log5(3x – 1) – 2log5(2x + 1) = log 34. 4. log (1 – x) – 2log2(1 – x) = 35. 5.
3. Išspręskite nelygybes:
1. 3 1. log2(x2 – x – 2) 2. 2,5 2. (x – 3) log x
II variantas
3. Apskaičiuokite:
a) log3a = 2, log3b = 6. Raskite 1) log3(a2b) ; 2) log3 b) c) d) 9
4. Išspręskite lygtis:
1 grupė 2 grupė
1. (0,4)x 1. log (x – 3) + log (x – 3) = 22. 27-5x – 2. log7(2x + 3) – 2log7 (3x + 1) = log 23. 5x – 3. log (x2 + 4x – 2) = -14. 4 4. log4 5. 5.
5. Išspręskite nelygybes:
1. 1. log2(x2 – 13x + 30) < 32. 2. (2x + 1)(log x + 2) > 0
Literatūros sąrašas
Matematikos žinynai ir enciklopedijos.