TURINYS
ĮVADAS 31. DEŠIMTAINĖS SKAIČIAVIMO SISTEMOS ATSIRADIMAS 52. KITOS SKAIČIAVIMO SISTEMOS IR JŲ ATSIRADIMAS 52.1. DVYLIKTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA 52.2. ŠEŠIASDEŠIMTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA 62.3. PENKETAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA 62.4. DVIDEŠIMTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA 62.5. DVEJETAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA 73. POZICINĖS IR NEPOZICINĖS SISTEMOS 74. ARITMETINIAI VEIKSMAI ĮVAIRIOSE SKAIČIAVIMO SISTEMOSE 95. PERĖJIMAS IŠ VIENOS SKAIČIAVIMO SISTEMOS Į KITĄ 106. APIE DALUMO POŽYMIUS ĮVAIRIOSE SKAIČIAVIMO SISTEMOSE 127. DVEJETAINĖ SISTEMA ¾ PASLAPČIŲ SAUGOTOJA 138. SKAIČIAVIMO SISTEMŲ EKONOMIŠKUMAS 149. APIE BEGALINES TRUPMENAS ĮVAIRIOSE SKAIČIAVIMO SISTEMOSE 15LITERATŪRA 18ĮVADASSkaičių kalba, kaip ir kiekviena kalba, turi savo abėcėlę. Tos skaičių kalbos, kuria dabar ,,kalba” beveik visas pasaulis, abėcėlė – dešimt skaitmenų, nuo 0 iki 9. Ši kalba vadinama dešimtaine skaičiavimo sistema. Tačiau ne visais laikais ir ne visur žmonės vartojo dešimtainę skaičiavimo sistemą. Matematiniu požiūriu ji nėra pranašesnė už kitas skaičiavimo sistemas, ir jos paplitimą lėmė ne bendri matematiniai dėsniai, o visai kitokios priežastys.Kai apytiksliai vertiname kokį nors dydį – žmogaus amžių, atstumą ir pan., visada vartojame ,,apvalius” skaičius ir paprastai sakome: „Iš namo išėjo maždaug 50 metų žmogus; paėjėjęs gatve apie 200 metrus, jis įėjo parduotuvę, nusipirko dvi dešimtis kiaušinių ir nuėjo toliau……”. Operuoti apvaliais skaičiais žymiai paprasčiau: lengviau juos įsiminti, patogiau atlikti veiksmus. Pavyzdžiui, visai nesunku mintinai padauginti 100 iš 200, o du „neapvalius” triženklius skaičius, tarkim, 147 ir 242, toli gražu ne kiekvienas sudaugins be pieštuko ir popieriausKalbėdami apie apvalius skaičius, net nepalgalvojame, kad skaičių skirstymas į apvalius ir neapvalius iš esmės yra sąlyginis. Vienas ir tas pats skaičius gali būti apvalus arba neapvalus, žiūrint kokioje skaičiavimo sistemoje jis užrašytas. Nagrinėkime įprastą dešimtainę skaičiavimo sistemą. Šioje sistemoje kiekvienas teigiamas sveikasis skaičius yra vienetų, dešimčių, šimtų ir t. t. suma, t. y. suma skaičiaus 10 įvairių laipsnių su koficientais, įgyjančias svekąsiasreikšmes nuo 0 iki 9 imtinai. Pavyzdžiui skaičius 2548 yra 8 vienetų, 4 dešimčių, 5 šimtų ir 2 tūkstančių suma, t. y.
2548 = 2·103+5·102+4·101+8·100.
Taigi 2548 – sutrumpintas šios išraiškos užrašas. Taip pat sėkmingai bet kurį skaičių galima užrašyti ne 10, o kokio nors kito sveikojo skaičiaus (išskyrus 1) laipsnių kombinacija, pavyzdžiui, skaičiaus 7. Šioje sistemoje, vadinamoje „septynetaine skaičiavimo sistema” arba ,,skaičiavimo sistema pagrindu 7”, įprastu būdu skaičiuotume nuo 0 iki 6, o skaičius 7 būtu aukštesniojo skyriaus vienetas. Skaičių 7 naujoje sistemoje žymėtume simboliu 10 (antrojo skyriaus vienetas). Kad nepainiotume šio simbolio su dešimtainiu skaičiumi 10, prirašysime indeksą 7, t. y. Vietoj skaičiaus 7 rašytume (10)7. Kitų skyrių vienetai turėtų būti skaičiai 7², 7³ ir t.t. Bet kurį skaičių galima sudaryti iš skaičiaus 7 laipsnių, t. y.išreikšti šitaip:
ak·7k+ak-1·7k-1+…..+a1·7+a0;
čia kiekvienas koeficientas a0, a1, ……, ak gali būti bet kuris sveikas skai2ius nuo 0 iki 6. Kaip ir dešimtainėje sistemoje pagrindo laipsniu galima praleisti ir skaičių užrašyti šitaip:
(akak-1…..a1a0)7
Indeksas 7 rodo, kad vartojamos sistemos pagrindas – skaičius 7.Išnagrinėkime pavyzdį. Dešimtainį skaičių 2548 galima užrašyti šitaip:
1·74+0·73+3·72+0·7+0,
arba, kaip susitarėme,(103000)7.Taigi (2548)10 =(10300)7.Atkreipkite dėmesį į tai, kad septynetainėje sistemoje apvalūs bus tie ne tie skaičiai kaip dešimtainėje sistemoje. Pavyzdžiui, (147)10 = (300)7, (343)10 = (1000)7 (nes 147=3·72 ir343=73);tuo tarpu (100)10 = (202)7, (500)10 = (1313)7.Todėl septynetainėje sistemoje mintinai padauginti (147)10 ir (343)10 žymiai lengviau negu (100)10 ir (200)10. Jeigu naudotume septynetain3 sistem1, tai, 49 metų (o ne 50) amžių suvoktume kaip ,,apvalią datą” ir švestume jubiliejų. Nustatydami atstum1 i6 akies, sakytume ,,apie 98 metrus” arba ,,maždaug 196 metrai” (nes (98)10 =(200)7 ir (196)10 = (400)7 – apvalūs skaičiai septynetainėje sistemoje), daiktus skaičiuotume septynetais, o ne dešimtimis. Tačiau septynetainė sistema menkai vartojama; ji negali konkuruoti su visur paplitusia dešimtaine sistema.
Šiandien rimtomis dešimtainės sistemos konkurentėmis tampa dvejetainė, aštuntainė ir šešioliktainė sistemos, nes joms pirmenybę teikia šiuolaikinės skaičiavimo mašinos.Šiame referate pasakojama apie įvairių sistemų atsiradimo istoriją, jų ypatybes ir vartojimą.1. DEŠIMTAINĖS SKAIČIAVIMO SISTEMOS ATSIRADIMASKodėl būtent skaičiui 10 teko toks svarbus vaidmuo? Žmogus menkai tesidomintistais dalykais, tikriausia atsakytų taip: 10 – apvalus skaičius, iš jo lengva dauginti bet kurį skaičių, patogu skaičiuoti dešimtimis, šimtais ir t. t. Tačiau jau išsiaiškinome, kad skaičius 10 todėl ir apvalus, kad jis yra skaičiavimo sistemos pagrindas.Užrašius jį bet kurioje skiačiavimo sistemoje, tarkim, septynetainėje (kur 10 užrašomas (137) , jo ,,apvalumas” išnyksta. Dešimtainė skaičiavimo sistema paplito visai ne dėl matematinio pobūdžio priežasčių. Dešimt rankos pirštų štai kur pirmoji skaičiavimo priemonė, kurią žmogus vartojo dar priešistoriniais laikais. Pirštais buvo patogu skaičiuoti nuo vieno iki dešimt. Suskaičiavus iki dešimties, t. y. išnaudojus visas šio skaičiavimo aparato galimybes, natūralu skaičių 10 laikyti nauju, žymiai didesniu vienetu (antrojo skyriaus). Dešimt dešimčių sudaro trečio skyriaus vienetą ir t. t. Būtent skaičiavimas pirštais ir buvo pradžia tos sistemos, kuri dabar mums adrodo savaime suprantama.2. KITOS SKAIČIAVIMO SISTEMOS IR JŲ ATSIRADIMAS2.1. DVYLIKTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMADešimtainė skaičiavimo sistema įsigalėjo toli gražu ne iš karto. Daugelis tautų įvairias istorijos periodais vartojo kitokias skaičiavimo sistemas. Gana paplitusi buvo, pavyzdžiui, dvyliktainė sistema. Jos atsiradimas tai pat siejamas su skaičiavimu pirštais (žr. 1 pav.)1 pav. Dvyliktainė skaičiavimo sistema
Keturi rankos pirštai (išskyrus nykštį) turi 12 pirštikaulių .Liečiant kiekvieną pirštikaulį paeiliui, suskaičiuojama nuo 1 iki12. Po to 12 tampa aukštesniojo skyriaus vienetu ir t. t. Šnekamojoje kalboje dar ir dabar populiairi dvyliktainė sistema: vietoj dvylikos dažnai sakomas tuzinas. Dauguma daiktų (peiliai, šakutės, lėkštės, nosinės, ir kt. ) skaičiuojama tuzinais, o ne dešimtimis. (Prisiminkime, pavyzdžiui, kad servizas paprastai būna 12 arba 6 asmenims ir retai 10 arba 5 ). Dabar labai retas žodis grosas reiškia tuziną tuzinų. Prieš keletą dešimčių jis buvo paplitęs, ypač prekyboje. Dvyliktainės skaičiavimo liekanų yra anglų matų (1 pėda =12 colių) ir pinigų (1 šilingas 12 pensų) sistemose. Atkreipkite dėmėsį į tai, kad dvyliktainė sistema matematiniu požiūriu šiek tiek pranašesnė už dešimtainę, nes skaičius dvylika dalijasi iš 2, 3, 4 ir 6, skaičius dešimt tik iš 2 ir 5. Sistema, kurios pagrindas turi daugiau daliklių, žymiai patogesnė.2.2. ŠEŠIASDEŠIMTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMASenovės Bbabilonijoje, kur klestėjo kultūra ir mokslas, vartojo gana sudėtingą šešiasdešimtainę skaičiavimo sistemą. Kaipgi atsirado ši sistema? Istorikų nuomonės skiriasi. Viena iš hipotezių, nelabai tikėtina, tokia. Susiliejo dvi grntys. Viena jų vartojo šešetainę skaičiavimo sistemą, kita dešimtainę. Kaip savotiškas kompromisas tarp jų atsirado šešiasdešimtainė skaičiavimo sistema. Kita hipotezė aiškina:babiloniečių metų trukmė 360 parų, ir tai siejasi su skaičiumi 60. Tačiau ir ši prielaida nėra pagrįsta:senovės babiloniečiai pakankamai gerai išmanė astronomiją, todėl paklaida, padaryta skaičiuojant metų trukmę, turėjo būti žymiai mažesnė nei 5 paros. Nors ir menkos mūsų žinios apie šešeiasdešimtainę sistemos kilmę, aišku viena: tokia skaičiavimo sistema tikrai buvo paplitusi senovės Babilonijoje. Ir dabar ši sistema dar laiką bei kampus matuojant minutėmis ir sekundėmis (pavyzdžiui valanda dalijama į 60 minučių, minutė į 60 sekundžių; laipsnis lygus 60 minučių, 1 minutė – 60 sekundžių). Šešiasdešimtainė sistema gremėzdiška ir ne tokia patogi kaip dešimtainė jau vien todėl, kad skaičiams rašyti reikia šešiasdešimties skirtingų skaitmenų.2.3. PENKETAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA
Kaip tvirtina Afrikos tyrinėtojas H. Stenlis, kai kuriose Afrikos gentyse buvo paplitusi penketainė skaičiavimo sistema. Tos sistemos ryšys su žmogaus plaštaka ¾ pirmine skaičiavimo mašina ¾ pakankamai ryškus.2.4. DVIDEŠIMTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMADaugelį šimtmečių Amerikos žemyne klestėjusios actekų ir majų tautos (jų kultūrą sunaikino 16 ¾ 17 a. ispanų užkariautojai) vartojo dvidešimtainę skaičiavimo sistemą. Dvidešimtaine sistema naudojosi ir keltai, gyvenę Vakarų Europoje 1 tukstantmetyje p. m. e. Kai kurie keltų dvidešimtainės sistemos išlikę prancūzų kalboje (pavyzddžiui, aštounesdešimt prancūziškai quatre – vingts, t. y. pažodžiui keturiskart dvidešimt ) ir pinigų sistemoje (pagrindinis piniginis vienetas ¾ frankas lygus 20 su) Minėtos skaičiavimo sistemos (dvyliktainė, penketainė, šešiasdešimtainė ir dvidešimtainė ) kartu su dešimtaine turėjo didelę įtaka žmonijos kultūros raidai. Visos jos, išskyrus šešiasdešimtainę, yra anatominės kilmės, t. y. vienokiu ar kitokiu susijusios su skaičiavimu rankų pirštais ( arba rankų ir kojų ). Kaip matyti iš pateiktų pavyųzdžių, daugelio tautų kalboje, pinigų ir matų sistemose dar iki šiol ryškus minėtų skaičiavimų sistemų pėdsakai. Tačiau skaičiams užrašyti ir vienokiems ar kitokiems skaičiavimas atlikti vartojama dešimtainė sistema.2.5. DVEJETAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMAMažiausias iš skaičių kuris gali būti skaičiavimo sistemos pagrindu, yra skaičius 2. Sistema tuo pagrindu vadinama dvejetaine ¾ tai viena seniausių sistemų. Dvejetainę sistemą, tiesa, ne visai tobulos formos, vartojo kai kurios Australijos ir Polinezijos gentys. Ji buvo patogi, nes paprasta. Vatojami tik du skaitmenys: 0 ir 1, o skaičius 2 yra jau kito skyriaus vienetas. Gana paprasti ir veiksmai su skaičiai, užrašytais dvejetainėje sistemoje. Dvejetainės sistemos trūkumas tas, kad net mažam skaičiui toje sistemoje užrašyti reikia gana daug ženklų. Pavyzdžiui, skaičiaus 1000 dvejetainė išraiška yra 1111101000. Net dešimt skaitmenų! Tačiau šis trūkumas kompensuojamas daugeliu pranašumų, dėl kurių ši sistema taikoma įvairiose technikos srityse, yapč šiuolaikinėse skaičiavimo mašinose. Telegrafo kodas ¾ vienas iš seniausių dvejetainės sistemos techninio taikymo būdų. Įrašykime lietuvių abėcėlės raides (tik vietoj Ą rašykime ¾ , t. y. tarpą tarp žodžių) ir jas sunumeruokime:¾ A B C Č D E Ę Ė F G H I Į Y J K L M N O P R S Š T U Ų Ū V Z Ž1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31Raidžių numerius užrašykime dvejetainėje sistemoje. Kadangi 25 =32, tai kiekvienas numeris bus sudarytas ne daugiau kaip iš penkių ženklų. Užrašykime kiekvieną numerį penkiais ženklais, prirašydami trūkstamus ženklus ¾ nulius prieš pirmą reikšminį skaitmenį: ¾ _ 00000; A _00001; B _ 00010; ……. Ž _ 11111;Tarkime, kad turime penkis laidus, jungiančius kokius nors du punktus. Kiekvieną penkiaženklį skaičių, reiškiantĮ abėcėlės raidę, galima perduoti tokia linija tam tikromis elektrinių impulsų kombinacijomis. Sakykime, nulis reikš, kad nėra impulso, o vienetas impulsą. Priėmimo vietoje šių impulsų kombinacijų veikiamas telegrafo aparato spausdinimo įrenginys juostelėje atspausdins raides, atitinkančias tas kombinacijas, t. y.dvejetainius skaičius.Telegrafo aparatas sudarytas iš dviejų įrenginių: perdavimo įrenginio, pervedančio raides į atitinkamą liniją siunčiamų impulsų sistemą, ir priėmimo įrenginio spausdinančio juostelėje (arba blanke) raides, atitinkančias iš anksto parinktą impulsų kombinacija. Dvejetainė sistemos taikymą telegrafijoje, nulėmė tai, kad dvejetainį skaičių patogu perduoti elektriniais impulsais.Kitos skaičiavimo sistemas matome 1 lentelėje.3. POZICINĖS IR NEPOZICINĖS SISTEMOSElektroninėse skaičiavimo mašinose taikomos pozicinės skaičiavimo sistemos. Tokios skaičiavimo sistemos, kaip, pavyzdžiui, romėniškoji nepozicinė, skaičiavimo technikai netinka dėl to, kad jos gremėzdiškos ir jų sudarymo taisyklės labai sudėtingos.Pozicine vadinama tokia skaičiavimo sistema, kurioje skaitmens reikšmė daugiaženkliame skaičiuje priklauso nuo jo padėties (pozicijos) tame skaičiuje. Gali būti įvairių pozicinių skaičiavimo sistemų, žiūrint, koks jų pagrindas: dešimtainė kurios pagrindas dešimt, aštuonetainė, kurios pagrindas aštuoni, dvejetainė, kurios pagrindas du, penketainė, kurios pagrindas penki t. t.Visos minėtos skaičiavimo sistemos sudarytos vienu bendru principu. Imamas koks nors skaičius p skaičiavimo sistemos pagrindas, ir kiekvienas skaičius N išreiškiamas to skaičiaus laipsnių koeficientais, įgyjančias reikšmes nuo 0 iki p – 1, kombinacija, t. y.(akak-1…..a1a0)p. = ak×pk+ak-1×pk-1+…..+a1×p+a0.Čia kiekvieno skaitmens reikšmė priklauso nuo vietos, kurią jis užima. Pavyzdžiui, dešimtainėje sistemoje skaičiuje 222 dvejetas užrašytas tris kartus: pirmas iš dešinės reiškia du vienetus, antrasis dvi dešimtis, o trečias du šimtus. Jeigu vartotume kokia nors kitą sistemą, tarkim pagrindu p , tai tie dvejetai reikštų atitinkamai 2, 2p ir 2p2.Tokiu būdu sudarytos skaičiavimo sistemos vadinamos pozicinėmis.Yra ir kitokių skaičiavimo sistemų ¾ nepozicinių; jos sudarytos kitu principu. Tokia yra ir romėniškoji skaičiavimo sistema. Pagrindiniai simboliai ¾ vienetas I, penki V, dešimt X, penkiasdešimt L, šimtas C ir t. t. Kiekvienas skaičius išreiškiamas tam tikra tų simbolių kombinacija. Pavyzdžiui, skaičius 88 užrašomas šitaip: LXXXVIII. Kiekvieno simbolio prasmė nepriklauso nuo jo vietos užraše. Štai skaitmuo X užrašytas tris kartus, ir kiekvieną kartą jis reiškia tą patį dešimt vienetų.Romėniški skaitmenys dar neužmiršti, jais žymimos valandos laikrodžio ciferblate, tačiau matematikoje nevartojami.Pozicinės sistemos patogios tuo, kad dideliems skaičiams užrašyti tereikia kelių simbolių. Dar vienas svarbus pozicinių sistemų pranašumas , lengva ir paprasta atlikti aritmetinius veiksmus.1 lentelėSkaičiai skaičiavimo sistemoseDešimtainėje Dvejetainėje Aštuonetainėje Šešioliktainėje0 0 0 01 1 1 12 10 2 23 011 3 34 100 4 45 101 5 56 110 6 67 111 7 78 1000 10 89 1001 11 910 1011 12 A11 1100 13 B12 1101 14 C13 1110 15 D14 1111 16 E15 10000 17 F16 10001 20 1017 10010 21 1118 10011 22 1219 10100 23 1320 10101 24 1421 10110 25 1522 10111 26 1623 11000 27 1724 01101 30 184. ARITMETINIAI VEIKSMAI ĮVAIRIOSE SKAIČIAVIMO SISTEMOSEDešimtainėje skaičiavimo sistemoje skaičius dedame ir dauginome stulpeliu, o dalijame kampu. Toks skaičiavimo būdas tinka skaičiams, užrašytiems bet kurioje kitoje pozicinėje sistemoje.Nagrinėsime sudėtį. Kaip ir dešimtainėje, taip ir bet kurioje kitoje sistemoje pirmiausia sudedami vienetai, po to aukštesniojo skyriaus. Jeigu kurio nors skyriaus vienetų suma didesnė už sistemos pagrindą arba lygi jam, tai reškia, kad gautas aukštesnio skyriaus vienetas ir jį reikia perkelti į sekantį skyrių. Pavyzdžiui,
Dabar nagrinėkime daugybą. Kad būtų aiškiau, pasirinkime konkrečią skaičiavimo sistemą, pavyzdžiui, šešetainę. Bet kurie skaičiai dauginami naudojantis daugybos lentele; joje nurodytos mažesnių už sistemos pagrindą skaičių sandaugos. Šešetainės sistemos daugybos lentelė šitokia:
0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 10 12 143 0 3 10 13 20 234 0 4 12 20 24 325 0 5 14 23 32 41
Lentelėje dauginamieji skaičiai ¾ tai eilučių ir stulpelių numeriai, o jų sandaugos įrašytos langeliuose, kur susikerta atitinkama eilutė ir atitinkamas stulpelis (visi skaičiai įrašyti šešetainėje sistemoje). Naudojantis šia lentele,nesunku sudauginti stulpeliu bet kiek skyrių turinčius skaičius.Dalyba kampu tai pat galima bet kurioje sistemoje. Išspręskime šitokį uždavinį:reikia padalyti (120101)3 iš (102)3. Štai sprendimas:
(120101)3 ½(102)3(102)3 (1101)3 (111)3 (102)3 (201)3 (102)3 (22)3
Dvejetainė aritmetika, arba veiksmai su dvejetainiais skaičiais, atliekami pagal šias taisykles, pateiktas sudėties,atimties ir daugybos lentelių pavidalu:
0 + 1 = 1 1 – 0 = 1 0 * 1 = 01 + 0 = 1 1 – 1 = 0 1 * 0 = 0 1 + 1 = 10 10 – 1 = 1 1 * 1 = 1 ēRodyklė paskutiniame sudėties pavyzdyje rodo, kad, užsipildžius pirmajai skilčiai, vienetas perkeliamas į aukštesnę skiltį. Sudedant du daugiaženklius dvejetainius skaičius, atskirai sudedami atitinkamų skilčių skaitmenys, kartu neužmirštant į aukštesnę skiltį perkeltų vienetų.Pavyzdys:
Dvejetainių skaičių atimtis, kaip ir sudėtis, pradedama nuo žemesniųjų skilčių. Pasiskolinus vienetą iš aukštesnės skilties, žemesniojoje gaunami du vienetai.Pavyzdys.
-1 0 1 0 (23+21 = 1010) -1010 0 1 1 0 (22+21 = 610) 610 0 1 0 0 410. Daugyba atliekama sudedant tarpines sandaugas, jas pastūmus į kairę per vieną skiltį.Pavyzdys:
10011 (24+21+20 = 1910) 1910 101 (22+20 = 510) 510 10011 9510 +00000 10011 1011111 (26+24+23+22+21+20= 64+16+8+4+4+4+1 = 9510).
Dalyba susideda iš pasikartojančių atimties operacijų.Pavyzdys. -101010 ź111 1010102 = (25+23+21 = 4210) 111 110 -0111 1112 = (22+21+20 = 710) 111 0000 1102 = (22+21 = 610) (4210 : 710 = 610).5. PERĖJIMAS IŠ VIENOS SKAIČIAVIMO SISTEMOS Į KITĄKaip pereiti iš vienos sistemos į kokią nors kitą, pavyzdžiui, iš dešimtainės į septynetainę? Jau žinome, kad bet kokį skaičių A septynetainėje sistemoje galime išreikšti suma
A= ak×7k+ak-1×7k-1+……+a1×7+a0.Taigi, norint skaičių A užrašyti septynetainėje sistemoje, reikia rasti koeficientus a0, a1,…,ak, iš kurių kiekvienas gali įgyti sveikąsias reikšmes nuo 0 iki 6 imtinai. Padalykime skaičių A iš 7. Gausime liekana, lygią a0 , nes visi sumos A dėmenys, išskyrus paskutinį, dalijasi iš 7. Gautąjį dalmenį vėl dalykime iš 7. Šiuo atveju liekana bus lygi a1. Taip dalydami toliau rasime visus skaitmenis a0, a1, …, ak, sudarančius skaičiaus A septynetainę išraišką. Užrašykime skaičių (3287)10 septynetainėje sistemoje. Padaliję jį iš 7, gauname dalmenį 469 ir liekana 4. Vadinasi, skaičiaus 3287 septynetainės išraiškos paskutinis skaitmuo yra 4. Ieškodami kito (antrojo iš dešinės ) skaitmens, dalijame 469 ir7 ir gauname dalmenį 67 ir liekaną 0. Taigi skaičiaus 3287 septynetainės išraiškos antrasis skaitmuo yra 0. Toliau dalijame 67 iš 7, gauname dalmenį 9 ir liekaną 4. Toji liekana yra skaičiaus 3287 užrašo septynetainėje sistemoje trečias skaitmuo. Padaliję 9 iš 7, gauname dalmenį 1 ir liekaną 2. Liekana 2 yra ieškomo skaičiaus ketvirtasis skaitmuo, o 1 (jo nebegalime padalyti iš 7 ) ¾ penktasis . Taigi (3287)10 = (12404)7.Dešinioji lygybės pusė yra santrumpa išraiškos 1×74+2×73+4×72+0×7+4,o kairioji santrumpa išraiškos 3×103+2×102+8×10+7.Skaičiavimus, kuriuos atlikome ieškodami dešimtainio skaičiaus 3287 septynetainės išraiškos, patogu užrašyti taip: 3287½7 4 469½7 0 67 ½7 4 9 ½7 2 1(3278)10 = (12404)7
Aprašytuoju būdu dešimtainį skaičių galima išreikšti bet kurioje kitoje skaičiavimo sistemoje. Suformuluosime pirmą taisyklę.Norint išreikšti kokį nors skaičių A naujoje skaičiavimo sistemoje pagrindu p, reikia skaičių A padalyti iš tos sistemos pagrindo p; gautoji liekana bus skaičiaus A išraiškos naujoje sistemoje paskutinis (pirmas iš dešinės) skaitmuo. Dalmenį vėl reikia dalyti iš p; antroji liekana bus aukštesniojo (antras iš dešinės ) skyriaus skaitmuo ir t. t.Gautuosius dalmenis reikia dalyti iš p tol, kol bus gautas dalmuo, mažesnis už naujos sistemos pagrindą p. Tas paskutinis dalmuo ir bus skaičiaus A išraiškos sistemos pagrindu p aukščiausiojo skyriaus skaitmuo. (Veiksmus atliekame toje sistemoje, kurioje užrašytas skaičius A).
Iš bet kokios skaičiavimo sistemos į dešimtainę galime pereiti daugiaženklį skaičių užrašę sumos pavidalu ir atlikę veiksmus. Antra taisyklė:
(akak-1…..a1a0)p = ak·pk+ak-1·pk-1+…..+a1p+a0;Pavyzdys:2018 = 2 · 82 + 0 · 8 + 1
Trečia taisyklė: dvejetainio skaičiaus keitimas aštuntainiu. Dvejetainius skaičius skirstomepo tris skaitmenis pradedant nuo galo. Kiekvieną grupę keičiu dešimtainiu skaičiumi:
Ketvirta taisyklė: aštuntainio skaičiaus keitimas dvejetainiu. Kiekvieną aštuonetainį skaičių keičiu trijų dvejetainių skaitmenų grupe:
2 4 5 18010 100 101 0012
Penkta taisyklė: dvejetainio skaičiaus keitimas šešioliktainiu. Dvejetainį skaičių skirstome į grupes po keturis pradedant nuo galo. Kiekvieną grupę keičiu šešioliktainiu skaičiumi:
0001 1001 11002 1 9 C16Šešta taisyklė: šešioliktainio skaičiaus keitimas dvejetainiu. Kiekvieną skaitmenį keičiu keturių dvejetainių skaitmenų grupe:
A 2161010 001026. APIE DALUMO POŽYMIUS ĮVAIRIOSE SKAIČIAVIMO SISTEMOSEPrisiminsime požymius, pagal kuriuos galima numatyti, kad tas ar kitas skaičius dalijasi iš 3, 5, 9 ir t. t. 1. Dalumo iš 3 požymis: skaičius dalijasi iš 3, jeigu jo skaitmenų suma dalijasi 3. Pavyzdžiui skaičius 257802 (skaitmenų suma 2+5+7+8+0+2 = 24) dalijasi iš 3,o 125831 (skaitmenų suma 1+2+5+8+3+1 = 20) iš 3 nesidalija.2. Dalumo iš 5 požymis: skaičius dalijasi iš 5, jeigu jo paskutinis skaitmuo yra 5 arba 0 (t.y. jeigu skaičiaus paskutiniai vienetai dalijasi iš 5). 3. Dalumo iš 2 požymis: skaičius dalijasi iš 2, jeigu jo paskutiniai vienetai dalijasi iš 2. 4. Dalumo iš 9 požymis: skaičius dalijasi iš 9, jeigu jo skaitmenų suma dalijasi iš 9. Šių požymių įrodymas nėra sudėtingas. Imkime, pavyzdžiui, dalumo požymi iš 3. Dalijant iš 3 kiekvieną dešimtainio skyriaus vienetą ( t. y. skaičius 1, 10, 100, 1000 ir t. t.), gaunama liekana, lygi 1. Todėl bet kurį skaičių ( anan-1….a1a0)10, t. y. skaičių an × 10n + an-1 × 10n-1 + …+a1×10+a0, galima užrašyti šitaip: (an+an-1+….+a1+a0)+B; čia B dalijasi iš 3 be liekanos. Matome, kad skaičius an×10n+an-1×10n-1+….+a1× 10+a0, dalijasi iš 3 tik tuomet, kai 3dalijasi skaičius an+an-1+…+a1+a0.
Dalumo iš 5 požymis pagrįstas tuo, kad 10 ¾ skaičiavimo sistemos pagrindas ¾ dalijasi iš 5. Todėl dalijant iš 5 visus skyrius, išskyrus vienetą, gaunama liekana, lygi 0. Panašiai pagrįstas ir dalumo iš 2 požymis; skaičius yra lyginis, jeigu jis baigiasi lyginiu skaitmeniu. Dalumo iš 9, kaip ir iš 3, požymis pagrįstas tuo, kad dalijant ksaičių10k iš 9, gaunama liekana, lygi 1. Aišku, minėti požymiai tinka tik dešimtainės išraiškos skaičiams. Jų negalima taikyti vartojant kitas skaičiavimo sistemas. Pavyzdžiui, skaičius 86 aštuonetainėje sistemoje užrašomas šitaip: (126)8 (nes 86 = 82+2×8+6). Skaitmenų suma lygi 9, bet 86 nesidalija nei iš 9, nei iš 3. Tačiau kiekvienai poziciniai skaičiavimo sistemai galima suformuluoti savus dalumo iš vieno ar kito skaičiaus požymius. Išnagrinėkime keletą pavyzdžių. Suformuluokime dvyliktainėje sistemoje užrašytų skaičių dalumo iš 6 požymį. Kadangi sistemos pagrindas12 dalijasi iš 6, tai toje sistemoje užrašytas skaičius dalijasi iš 6 iš tik tada, kai jo paskutinis skaitmuo dalijasi iš 6 ( panašų į dalumo iš 5 ir 2 požymius dešimtainėje sistemoje ). Kadangi skaičiai 2, 3 ir 4 taip pat yra skaičiaus 12 dalikliai, tai galima suformuluoti kitą dalumo požymį. Dyvliktainėje sistemoje užrašytas skaičius dalijasi iš 2 (iš 3, 4 ), jeigu jo paskutinis skaitmuo dalijasi iš 2 (iš 3, 4). Įrodyikime šiuos teiginius, priskiriamus dalumo požymiams dvyliktainėje sistemoje:skaičius A = (anan-1…a1a0)12 dalijasi iš 8, jeigu iš 8 dalijasi skaičius (a1a0)12, sudarytas iš dviejų paskutinių skaičiaus A skaitmenų;skaičius A = (anan-1….a1a0)12 dalijasi iš 9, jeigu iš 9 dalijasi skaičius (a1a0)12, sudarytas iš dviejų paskutinių skaičiaus A skaitmenų;skaičius A = (anan-1…a1a0)12 dalijasi iš 11, jeigu iš 11 dalijasi jo skaitmenų suma, t. y. skaičius an+an-1+…+a1+a0.Išnagrinėkime dar du pavyzdžius, susijusius su skaičių dalumu. 1. Skaičius A=(3630)p (užrašytas sistemoje pagrindu p) dalinamas iš 7. Reikia rasti pagrindą p ir skaičiaus A dešimtainę išraišką, kai p <12? Ar uždavinio spredinys vienintelis, kai p neapribotas?Atsakymas. p=7, A=(1344)10; kai p neapribotas, sprendinių be galo daug, būtent: p gali bet kuris skaičius 7k arba 7k-1, k=1, 2, …2. Įrodyta, kad skaičius (anan-1…a1a0)p, t. y. skaičius an×pn+an-1×pn-1+….+a1×p+a0, dalijasi iš p-1 tik tada, kai iš p-1dalijasi suma an+an-1+…+a1+a0.7. DVEJETAINĖ SISTEMA ¾ PASLAPČIŲ SAUGOTOJATelegrafas arba radiotelegrafas ¾ gera skubios informacijos perdavimo vienam ar kitam adresatui priemonė. Tačiau tokiu būdu perduodama informaciją lengvai gali perimti kiti asmenys. Dažnai dėl vienokių ar kitokių priežasčių būtina, kad siunčiama informacija suprastu tik adresatas. Tuo tikslu tekstas šifruojamas. Tikriausiai dauguma skaitytojų patys, susižavėję paslaptingu susirašinėjimu, kūrėte įvairius šifravimo būdus. Paprasčiausias iš jų ¾ kiekvieną abėcėlės raidę pažymėti kokiu nors simboliu: kitą raidę skaičiumi, sutartiniu ženklu ir t.t. Perprasti tokia kalba nėra sunku. Kiekviena kalba yra tam tikros struktūros: vienos raidės (ir raidžių deriniai) kalboje pasitaiko dažniau, kitos retai trečios labai retai. Pakeitus raides bet kokias simboliais, kalbos struktūra išlieka nepakitusi, ir tai leidžia be vargo iššifruoti sistemą. Yra ir žymiai sudėtingesnių šifravimo sistemų, tačiau prityrę dešifruotojai atskleidžia ir jas. Kyla klausimas: Ar yra tokia sistema, visiškai garantuojanti paslapties išsaugojimą? Ar gali pakankamai geras dešifruotojas perskaitys bet kokį šifruotą pranešimą? Pasirodo visai nesunku sugalvoti iš esmės paprastą sistemą, kad būtų neįmanoma perskaityti šifruoto teksto neturint rakto. Tokia sistemą aprašysime naudodamiesi dvejetaine sistema ir raidžių penkiaženkliais dvejetainiais skaičiais būdu, aprašytu ankstesniame paragrafe. Bet koks tekstas telegrafo kodu pateikiamas kaip tam tikra vienetų ir nulių penkiaženklių kombinacijų seka. Sakykime, iš anksto paruošta penketais sugrupuotų nulių ir vienetų seką. Tokia seka, skirta tekstui šifruoti vadinama gama. Du gamos egzempliorius užrašėme , pavyzdžiui, skylučių kombinacijomis specialiame popierinėje juostoje. Skylutė vienetas, nėra skylutės nulis(smulkių skylučių eilutė ¾ pagalbinė, gamai nepriklauso). Vieną gamos egzempliorių pasiliekame sau, o kitą siunčiame adresatui, su kuriuo palaikomas ryšys telegrafu. Po to imame tekstą, kurį reikia perduoti, ir jį sudedame su paruošta gama.Tai darome šitaip. Pirmąjį penkiaženklį teksto skaičių (t. y. pirmąją raidę) sudedame su pirmuoju gamos skaičiumi, antrąjį teksto skaičių su antruoju gamos skaičiumi ir t.t. Tačiau sudedame ne pagal taisykles, kai dviejų vienetų sumą keliame į aukštesnįjį skyrių, o pagal taisyklę: 0 + 0 = 0; 1 + 0 = 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 0, t. y. neperkeldami dviejų vienetų sumos į aukštesnįjį skyrių. Aišku taip sudėdami du dvejetainius skaičius, t. y. dvi kažkokias nulių ir vienetų sekas, gausime nulį, jei tie skaičiai vienodi, ir ne nulį, jei tie skaičiai skirtingi. Tokiu būdu gautą teksto ir gamos sumą galima perduoti adresatui telegrafu. Jeigu tą seką tiesiogiai įvestume į telegrafo aparatą, tai paprastasis atspausdintų beprasmišką raidžių rinkinį. Kad būtų galima atkurti pradinį tekstą, reikia prie šifruoto teksto dar kartą pridėti tą pačią gamą.visą procesą galima aprašyti šitaip:1) tekstas+gama=šifruotas tekstas;2) šifruotas tekstas+gama=tekstas+gama+gama=tekstas;Suprantama, žmogus, turintis tokiu būdu užšifruotą tekstą, bet neturintis atitinkamos gamos, negali žinoti to teksto turinio. Visai tai pat, kaip nieko negalima pasakyti apie dydį X, jeigu žinome tik suma X+Y ir pasakyta, kad Y kažkoks skaičius.Aprašytąjį procesą galima automatizuotu įtaisius prie telegrafo perdaviko ir priėmimo aparatų po įrenginį, paskyriui sudedantį perduodamą tekstą ir gama. Aptarnaujantys liniją telegrafininkai net nejaus, kad yra tokie įrenginiai.Aprašytoji šifravimo sistema gana gremėzdiška, nes ir siuntėjas ir gavėjas turi turėti gamos atsargų. Kiekviena gamos atkarpa naudojamasi tik vieną kartą (kad pašaliniai negalėtų iššifruoti teksto). Šifruojant patogu naudotis dvejetaine skaičiavimo sistema. Nes būtent šioje sistemoje sudėjus paskyriui tuos pačius skaičius gaunamas nulis.8. SKAIČIAVIMO SISTEMŲ EKONOMIŠKUMASEkonomiškumas tai – atsarga skaičių, kuriuos galima užrašyti tam tikru kiekiu ženklų. Paaiškinsime tai pavyzdžiu. Norint dešimtainėje sistemoje užrašyti 1000 skaičių (nuo 0 iki 999), reikia 30 ženklų (po 10 skaitmenų kiekvienam skyriui). O dvejetainėje sistemoje, turint 30 ženklų, galima užrašyti 215 įvairių skaičių ( nes kiekvienam dvejetainės sistemos skyriui reikia tik dviejų skaitmenų 0 ir1, o trimis dešimtimis skaitmenų galima užrašyti skaičius, turinčius 15 skyrių). 215 > 1000, todėl turint 15 dvejetainės skyrių, galima užrašyti daugiau įvairių skaičių, negu turint tris dešimtainius. Taigi dvejetainė sistema ekonomiškesnė nei dešimtainė. Kuri skaičių sistema ekonomiškiausia? Kad atsakytume į šį klausimą, išnagrinėkime konkretų uždavinį. Tarkim, kad turime 60 ženklų. Suskirstę juos į30 grupių po 2 elementus kiekvienoje, dvejetainėje sistemoje galima užrašyti bet kokį skaičių, turintį ne daugiau nei 30 dvejetainių skyrių, t. y. iš viso galime užrašyti 230 skaičių. Tuos pačius 60 ženklų suskirstę į 20 grupių po 3 elementus, galime užrašyti 320 į vairių skaičių trejetainėje sistemoje. Tuos 60 ženklų suskirstę į 15 grupių po 4 elementus, galime užrašyti 415 skaičių t. t. Dešimtainėje sistemoje (t. y. visus ženklus suskirstę į 6 grupes po 10elementų kiekvienoje) galime užrašyti 106 skaičių, o šešiasdešimtainėje (babiloniškoje) sistemoje 60 ženklų galime užrašyti tik 60skaičių. Kuri iš tų sistemų ekonomiškiausia, t. y. kurioje sistemoje 60 ženklų galima užrašyti daugiausia skaičių? Kitaip sakant, kuris skaičių yra didžiausias? 230, 320, 415, 512, 610, 106, 125, 203, 302, 60. Nesunku įsitikinti, kad 320 yra didžiausias skaičius. Pirmiausia įrodysime, kad 230<320. Kadangi 230=(23)10=810, o 320=(32)10=910, tai įrodomąją nelygybę galima perrašyti šitaip: 810<910. Taip užrašyta ji akivaizdi. Toliau 415=(22)15=230. Vadinasi, 320>415. Nesunku įrodyti, kad teisingos ir šios nelygybės: 415>512>610>106>154>203>302>60. Taigi trejetainė sistema ekonomiškiausia. Dvejetainė ir ketvertainė, lygiavertės ekonomiškumo požiūriu, tačiau neprilygstančios trejetainei, ekonomiškesnė už visas kitas sistemas. Šiai išvadai jokios įtakos neturi tas faktas, kad pasirinkta 60 ženklų. Šis skaičius buvo paimtas tik todėl, kad jį patogu skirstyti į grupes po 2, 3, 4 ir t. t. ženklų.Jei imsime n ženklų, o skaičiavimo sistemos pagrindu laikysime skaičių x, tai turėsime n/x skyrių ir galėsime užrašyti xn/x skaičių. Nagrinėkime šią išraišką kaip kintamojo x funkcija, kur x gali būti bet koks sveikasis, trupmeninis iracionalusis teigiamas skaičius. Galima rasti kintamojo x reikšmę, su kuria funkcija pasiekia maksimumą. Toji reikšmė lygi e ¾ iracionaliajam skaičiui, kuris yra natūrinio logaritmo pagrindas. Skaičius e užima svarbią vietą aukštojoje matematikoje. Skaičius e apytiksliai lygus 2,718281828459045….. Skaičiui e artimiausias sveikasis skaičius yra 3. Jis yra ekonomiškiausios sistemos pagrindas.9. APIE BEGALINES TRUPMENAS ĮVAIRIOSE SKAIČIAVIMO SISTEMOSEIki šiol kalbėjome apie sveikuosius skaičius. Nuo sveikųjų skaičių dešimtainės išraiškos nesunku pereiti prie dešimtainių trupmenų. Reikia imti skaičiaus 10 teigiamuosius (t. y. 1, 10, 100 ir t. t.) bei neigiamuosius(10-1, 10-2 ir t. t.) laipsnius ir sudaryti jų kombinacijas. Pavyzdžiui, išraiška 23,581 reiškia 2×101+3×100+5×10-1+8×10-2+1×10-3. Įvairius skaičius patogu vaizduoti tiesės taškais Imkime kokią nors tiesę, pasirinkime joje tam tikrą tašką O (atskaitos pradžia), teigiamąją kryptį (į dešinę) ir mastelio vienetą atkarpą OA. Tarsime, kad taškas o atitinka nulį, o taškas A vienetą. Atidėję nuo taško O į dešinę 2, 3 ir t.t. kartus atkarpą OA, gausime taškus, atitinkančius skaičiu2, 3 ir t. t. Taip galima pavaizduoti tiesėje visus sveikuosius skaičius. Norint pavaizduoti dešimtąsias, šimtąsias r t. t. skaičiaus dalis, reikia atkarpą OA padalyti į dešimt, šimtą ir t. t. dalių vartoti šiuos žymiai smulkesnius ilgio vienetus. Taip galima pažymėti tiesėje visus galimus skaičius akak-1…..a1a0,b1b2….bn, t. y. visas galimas dešimtaines trupmenas. Tačiau visų tiesės taškų neužimsime. Pavyzdžiui, jeigu tiesėje nuo taško O atidėsime atkarpą, lygią įstrižainei kvadrato, kurio kaštinė yra 1, tai atkarpos galas nepaklius į skaičių taškų, atitinkančių dešimtaines trupmenas, ir jo įstrižainė ¾ nebendramatės.Norint kiekvienam tiesės taškui priskirti tam tikrą skaičių, baigtinių trupmenų nebepakanka reikia kurti begalines dešimtaines trupmenas. Paaiškinsime šį teiginį. Kad kiekvienam tiesės taškui būtų galima priskirti kokią nors (begalinę) dešimtainę trupmeną, reikia patogumo dėlei imti ne visą tiesę, bet tik jos dalį, būtent, atkarpą OA, kuri yra mastelio vienetas.Sakykim, x ¾ koks nors tos atkarpos taškas. Padalykime OA į 10 dalių ir sunumeruokime jas nuo 0 iki 9. Atkarpą, kurioje yra taškas x, pažymėkime b1. Šią mažą atkarpą vėl padalykime į 10 dalių ir sunumeruokime nuo 0 iki 9, o atkarpėlę, kurioje yra taškas x, pažymėkime b2. Ją vėl padalykime į 10 dalių ir tą dalį, kurioje yra x, pažymėkime b3 ir t. t. Dalijimo procesą neribotai tęskime. Gausime skaitmenų seką b1, b2….., b2, …., kurią užrašysime 0, b1b2… ir vadinsime begaline dešimtaine trupmena,atitinkančią tašką x. Paėmę n ženklų po kablelio, gausime įprastą (baigtinę) dešimtainę trupmeną 0, b1b2….bn, nusakančią taško x vietą tiesėje ne tiksliai, bet apytiksliai (pagrindinės atkarpos 1/10n dalies tikslumu). Kiekvienam tiesės taškui priskyrime begalinę dešimtainę trupmeną. Nesunku pastebėti, kad dėl to atsiranda tam tikras neapibrėžtumas. Būtent, padaliję atkarpą OA į 10 dalių, imkime ir aptarkime, pavyzdžiui, tašką, esantį tarp pirmosios ir antrosios dalies.Šį tašką galima priskirti tiek pirmajai daliai (jos numeris 0), tiek antrajai (jos numeris 1). Pirmuoju atveju, nuosekliai dalydami atkarpą, pastebėsime, kad pasirinktasis taškas kaskart yra paskutinėje dešiniojoje dalinamosios atkarpos dalyje. Taigi gausime begalinę trupmeną 0,99999…, atitinkančią pasirinktąjį tašką. Antruoju atveju, nuosekliai dalydami atkarpą, pastebėsime, kad šis taškas kaskart patenka į tą dalį, kurios numeris 0, t. y. gausime trupmeną 0,10000…Vadinasi, patį tašką atitinka dvi begalinės trupmenos. Tas pats bus ir su bet kuriuo kitu dviejų atkarpos dalių ribiniu tašku. Pavyzdžiui, trupmenos 0,12500…. ir 0,1249999…. Tiesėje vaizduojamos vienu ir tuo pačiu tašku.Šio neapibrėžimo galima išvengti sutarus bet kurį ribinį tašką priskirti arba dešiniajai, arba tik kairiajai atkarpai. Kitaip sakant, galima atmesti visas trupmenas su begalinėm uodegom vien iš nulių arba vien iš devyniukių.Esant tokiai sąlygai, kiekvienam atkarpos taškui x galima priskirti vienintelę apibrėžtą begalinę dešimtainę trupmeną. Be to, du skirtingus taškus atitiks dvi skirtingos trupmenos. Norint fiksuoti taško padėtį tiesėje, nebūtina atkarpą ir kiek smulkesnę jos dalį dalinti į būtent 10 dalių. Vietoj dešimties galima imti bet kuri kitą skaičių, pavyzdžiui, dvejetą, t. y. kaskart dalyti atkarpą pusiau, priskiriant vie…nai iš tų pusių numerį 0, o kitai 1, ir pasirinkti tą pusę, kurioje yra pasirinktas taškas. Tuomet kiekvieną tašką atitiktų seka b1, b2, …, bn, …, sudaryta tik iš nulių ir vienetų. Tą seką galima užrašyti šitaip: (0, b1b2….bn…)2 ir pavadinti begaline dvejetaine trupmena. Paėmę n ženklų po kablelio, gausime baigtine dvejetainę trupmeną (0, b1b2….bn…)2, t. y. skaičių b1× ½ + b2 × ½ +…+ bn × 1/2n, nusakanti pasirinktojo taško padėtį pagrindinės atkarpos 1/2n ¾ osios dalies tikslumu. Begalinnėmis dešimtainėmis trupmenomis galima pavaizduoti visus tiesės taškus. Remiantis tomis trupmenomis, kuriama realiųjų skaičių teorija, kuri yra daugelio aukštosios matematikos skyrių pamatas. Taip sėkmingai galima naudotis ir bet kuriomis kitomis ( pavyzdžiui, dvejetainės, trejetainės ir kt. ) begalinėmis trupmenomis. Pabaigoje iš nagrinėsime šitokį uždavinį. Vėl imkime atkarpą OA, padalykime ją į tris lygias dalis ir atmeskime vidurinę dalį.Toliau kiekvieną iš likusių dviejų dalių vėl išdalykime į tris dalis ir vidurines dalis vėl atmeskime. Liks keturios nedidelės atkarpėlės, kurių vidurines dalis vėl atmeskime. Šį procesą neribotai tęskime toliau. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad taip „švarinant” liks tik kraštiniai taškai O ir A. Šią išvadą, atrodytų, galima patvirtinti tokiais samprotavimais. Raskime visų atmestų atkarpų sumą. Pirmą kartą atmetėm 1/3 ilgio atkarpą, antrą kartą dvi atkarpas po 1/9, trečią kartą keturias po 1/27 ir t. t. Visų atmestųjų atkarpų ilgių suma lygi 1/3 + 2/9 + 4/27 +….. Tia be galo mažėjanti geometrinė progresija, kurios pirmasis narys 1/3, o vardiklis 2/3. Pagal žinomą formulę šios progresijos suma lygi 1/3 :1-2/3 =1. Taigi atmestųjų atkarpų suma tiksliai lygi pradinės atkarpos ilgiui. Ir vis dėlto taip dalijant atkarpą, be taškų O ir A, lieka dar be galo daug neatmestų taškų. Kad tuo isitinkitume, padarykime štai ką. Kiekvieną atkarpos OA taškui priskirkime begalinę trupmeną, užrašytą trejetainėje sistemoje. Atmetus vidurines dalis, liks tie taškai kuriuos atitinka trejetainės trupmenos, neturinčios nė vieno vieneto (t. y. sudarytos iš nulių ir dvejetų ). Ir tikrai pirmą kartą atmetėm vienetinės atkarpos vidurinį trečdalį, t. y. tuos taškus, kuriuos atitiko trejetainės trupmenos, prasidedančios vienetu. Antrą kartą iš kiekvienos likusios dalies vėl atmesdami vidurinį trečdalį, atmetėm tas trejetaines trupmenas, kurių antroje pozicijoje buvo vienetai, ir t. t. (Atmetėme ir tuos taškus, kuriuos atitinka dvi trejetainės trupmenos, jei bent viena jų turi vienetą. Pavyzdžiui, atkarpos OA pirmo trečdalio pabaigą, t. y. skaičių 1/3 galima pavaizduoti trejetaine trupmena 0,1000… arba 0,0222….; tokį tašką atmetėm. ) Taigi atkarpoje OA lieka tie taškai, kuriuos atitinka trejetainės trupmenos, sudarytos iš nulių ir dvejetų. Tačiau tokių trupmenų be galo daug! Vadinasi, be galinių taškų, atkarpoje OA liks neatmesta dar be galo daug taškų. Pavyzdžiui, liks taškas, kurį atitinka trupmena 0,020202…— skaičiaus ¼ trejetainė išraiška. Begalinė trejetainė trupmena 0,020202… yra ne kas kita, kaip geometrinės progresijos suma2 × 3-2 + 2 × 3-4 + 2× 3-6 +….,kuri lygi 2/9 = 2/9 = 1 1-1/9 8/9 4. Kad taškas ¼ nebus išmestas, galima įsitikinti geometriškai samprotaujant. Šis taškas atkarpą [0; 1] dalija santykiu 1:3. Atmetus atkarpą [1/3; 2/3], taškas1/4 lieka pusintervalyje [0; 1/3), kurį jis dalija santykiu3:1. Atmetus pusintervalio [0;1/3) vidurinį trečdalį, taškas ¼ lieka intervale(2/9; 1/3), kurį jis dalija santykiu 3:1, ir t. t. Nė viename dalijimo etape taškas ¼ nebus atmestas.Pasirodo, aprašytuoju būdu atmetinėjant atkarpų vidurines dalis lieka be galo daug neiš mestų taškų, nors ir neužimančių vietos atkarpoje (atmestų atkarpų ilgių suma, kaip matome, lygi vienetui)….LITERATŪRA1. Dagienė V., Grigas G. / Informatika. – Kaunas, 1992.2. Dagienė V., Informatikos pradmenys – Vilnius, 1998.3. Fominas S. / Skaičiavimo sistemos. – Vilnius, 1988.4. Metodiniai patarimai kurybinio darbo aprašui parenkti. / Sudarytoja Kriščiūnienė N. – Elektrėnai, 2002.5. Ščiogoleva L., Davydovas A. / Skaičiavimo technikos ir programavimo pagrindai. – Vilnius, 1985.