Nuolatinė elektros srovė

NUOLATINĖ ELEKTROS SROVĖ

1. Elektros srovės stipris ir srovės tankis

Elektros srovė yra bet koks kryptingas elektros krūvių(tiksliau sakant
elektringųjų dalelių ar įelektrintų kūnų) judėjimas. Laisvųjų elektronų
metaluose ar teigiamųjų bei neigiamųjų jonų elektrolituose judėjimas,
įelektrinto bet kokio kūno slenkamasis ar sukamasis judėjimas yra elektros
srovės pavyzdžiai. Tačiau dažniausiai kalbėdami apie elektros srovę turime
galvoje kryptingą elektringųjų dalelių judėjimą medžiagoje ar vakuume.
Šios elektringosios dalelės dar vadinamos krūvininkais.

Tekant elektros srovei atsiranda naujų reiškinių, kurie nebūdingi
nejudantiems krūviams. Iš jų paminėtini:

1) Šiluminis veikimas. Laidininkas, kuriuo teka elektros srovė, įšyla.

2) Cheminis veikimas. Tekant elektros ssrovei gali kisti medžiagos
cheminė sudėtis. Šis reiškinys būdingas tik medžiagoms, kuriose krūvininkai
yra jonai, pavyzdžiui, elektrolitams – vandeniniams druskų, rūgščių ar
šarmų tirpalams.

3) Magnetinis veikimas. Elektros srovė kuria magnetinį lauką.
Pavyzdžiui, arti laido padėtos magnetinės rodyklės kryptis pakinta, kai
laidu ima tekėti elektros srovė.

Magnetinis srovės veikimas, skirtingai nuo šiluminio ir cheminio, yra
bendriausias. Jis pasireiškia visais elektros srovės atvejais, netgi judant
masyviems įelektrintiems kūnams, kada šiluminio ir cheminio veikimo nesti.
Cheminio veikimo nesti tekant srovei medžiagomis, kuriuose krūvininkai yra
laisvieji elektronai, pavyzdžiui, metalais. Šiluma neišsiskiria tekant
srovei superlaidininkais.

Pagrindinė kiekybinė elektros srovės chharakteristika yra srovės stipris.
Jis lygus krūviui, pratekančiam laidininko skerspjūviu per laiko vienetą.

Jei per be galo mažą laiko intervalą dt prateka elektros krūvis dq, tai
srovės stipris

[pic]

(3.1)

Krūvis, pratekantis per baigtinį laiko intervalą t, pagal (3.1) yra

[pic]

(3.2)

Jeigu srovės kryptis laikui einant nekinta, t

tokia srovė vadinama
nuolatine srove, jei nesikeičia ir jos stipris – pastoviąja nuolatine
srove. Pastoviosios nuolatinės srovės atveju I=const, todėl ją galima
rašyti prieš integralą. Tuo atveju (3.2) užrašysime taip:

[pic]

(3.3)
o (3.1) –

[pic]

(3.4)

Srovės stiprio SI vienetas yra amperas (1 A). Tai pagrindinis vienetas.
Jis nusakomas remiantis srovių magnetine sąveika.

Srovės stipris I yra algebrinis skaliarinis dydis. Jis gali būti
teigiamas arba neigiamas. Sutarta teigiamąja elektros srovės kryptimi
laikyti tą kryptį, kuria juda teigiamieji krūviai.

Nustatysime sąsają tarp srovės stiprio I ir krūvininkų kryptingo
judėjimo greičio v bei jų skaičiaus tankio n. Tarkime, kad skerspjūvio, pro
kurį teka srovė, plotas S, o kiekvieno krūvininko krūvis q0 (52 pav.). Pro
šį plotą per laiko vienetą pralėks tie krūvininkai, kurie nutolę nuo jo
atstumu, ne didesniu už vidutinį kryptingo judėjimo greitį v. Tų krūvininkų
skaičius lygus nvS, o jų krūvis q=q0nvS. Taaigi

[pic]

(3.5)
|[pic] |

Kitas svarbus srovę apibūdinantis dydis yra srovės tankis j. Jis lygus
krūviui, pratekančiam per laiko vienetą pro vienetinį plotą, statmeną
krūvių judėjimo krypčiai:

[pic]

(3.6)
Remdamiesi (3.6) galime užrašyti:

[pic]

(3.7)
|[pic] |

Jei plotelis dS nestatmenas krūvininkų judėjimo krypčiai, tuomet
[pic] (53 pav.), ir pagal (3.7)

[pic] (3.8)
(3.8) lygybę galima užrašyti kaip vektorių [pic][pic]ir [pic] skaliarinę
sandaugą:

[pic]

(3.9)

Srovės, tekančios pro bet kokio baigtinio dydžio plotą S, stipris
apskaičiuojamas integruojant (3.9):

[pic]

(3.10)
Jeigu srovės tankis visame skerspjūvio plote vienodas, (3.10) lygybė tampa

[pic]

(3.11)
o jei dar ir [pic]kryptis sutampa su ploto S normalės kryptimi –

[pic]



(3.12)

Srovės tankio SI vienetas yra 1 A/m2.

Atsižvelgę į (3.5) lygybę, srovės tankio vektorių [pic] galime taip
susieti su vidutiniu kryptingo krūvininkų judėjimo greičiu [pic]:

[pic]

(3.13)

Atkreipsime dėmesį, kad laisvieji elektronai, panašiai, kaip dujų
molekulės, visą laiką netvarkingai (chaotiškai) juda. Tai šiluminis
judėjimas. Elektronų šiluminio judėjimo greitis kambario temperatūroje yra
gana didelis ir siekia apie 105 m/s, o kryptingo judėjimo greitis paprastai
esti v≈1 mm/s. Kryptingas laisvųjų metalo elektronų judėjimas kartais
vadinamas dreifu, o greitis v – elektronų dreifo greičiu.

Bendru atveju elektros srovę gali sąlygoti ne vien tik elektronų, bet ir
kitokių krūvininkų (pvz., jonų elektrolituose ar dujose, skylių
puslaidininkiuose) kryptingas judėjimas. Judant kelių rūšių krūvininkams jų
įnašai į srovė sumuojasi. Tuo atveju (3.13) virsta

[pic]

(3.14)

[pic]

2. Elektrinis laukas tekant nuolatinei srovei

Tekant elektros srovei krūvininkai juda veikiami elektrinio lauko. Taigi
šiuo atveju, skirtingai negu elektrostatikoje, laidininke turi būti
elektrinis laukas

[pic]

(3.15)

Kadangi elektrinio lauko stipris ir potencialas susiję sąryšiu (1.48),
tai iš (1.48) ir (3.15) išplaukia, kad tekant srovei įvairių laidininko
taškų potencialai turi būti skirtingi.

Teigiamieji krūvininkai juda lauko kryptimi, o neigiamieji – prieš lauko
kryptį. Taigi srovės tankis turi būti nukreiptas lauko kryptimi:
[pic]||[pic]Laidininko paviršiuje [pic] ir [pic] turi sutapti su paviršiaus
liestinės kryptimi, nes srovės tankio vektorius [pic] nekerta šoninio
paviršiaus. Žinome, kad lauko stiprio tangentinė dedamoji dvi aplinkas
skiriantį paviršių praeina nepakisdama (žr. (1.107)). Už laidininko, prie
pat jo paviršiaus, ji turi būti tokia, kaip ir laidininke, tačiau ji ten
sumuosis su normaline d

dedamąja, kuri elektrostatikoje ir tebuvo. Todėl
šalia laidininko prie pat jo paviršiaus elektrinis laukas jau nebus
statmenas laidininko paviršiui, o sudarys su juo tam tikrą kampą

[pic]

Elektrinio lauko linijos esant cilindriniam laidininkui elektrostatikos
atveju pavaizduotos 54 pav., a), o tekant srovei – 54 pav., b).
|[pic] |

Tekant srovei, kaip ir elektrostatikos atveju, lauką laidininke bei
šalia jo sukuria to laidininko paviršiuje esantys krūviai, tik tų krūvių
pasiskirstymas esti kitoks, tad pakinta ir jų kuriamas laukas.

[pic]

3. Tolydumo lygtis ir srovės pastovumo sąlyga

Laidininke, kuriuo teka elektros srovė, mintyse paimkime bet kokį
uždarąjį paviršių S. Juo apribotą tūrį pažymėkime V, o tame tūryje esantį
krūvį q. Kadangi uždariesiems paviršiams sutarta normalės, taigi ir
[pic] teigiamąja kryptimi laikyti išorinę kryptį, tai sutinkamai su (3.10)

[pic]

(3.16)
yra per laiko vienetą iš to paviršiaus ištekantis teigiamasis krūvis. Taigi
(3.16) išreiškia teigiamojo krūvio tūryje V sumažėjimą per laiko vienetą:

[pic] (3.17)

(3.17) vadinama tolydumo lygtimi. Iš esmės ji išreiškia krūvio tvermės
dėsnį.

(3.17) yra srovės tolydumo lygties integralinė išraiška. Norint gauti
diferencialinę išraišką, reikia tarti, kad paviršius S bei juo apribotas
tūris V darosi be galo maži. Tūrinį krūvio tankį pažymėję ρ, krūvį q
išreikškime pasinaudodami (1.17) ir įrašykime į (3.17):

[pic] (3.18)
Pritaikę vektoriui [pic]matematinę Gauso teoremą panašiai, kaip tą darėme
vektoriui [pic] (žr. 1.26)), gauname:

[pic]

[pic] (3.19)
Iš (3.18) ir (3.19) išplaukia, kad

[pic] (3.20)

(3.20) lygybė vadinama srovės tolydumo lygties diferencialine išraiška.

Tolydumo lygtis, kuri išreiškiama (3.17) ar (3.18) lygybėmis, galioja
visada tekant bet kokioms srovėms, nes ji

i išreiškia krūvio tvermės dėsnį.

Tekant pastoviajai nuolatinei srovei krūvių pasiskirstymas erdvėje
neturi kisti laikui einant. Iš tikrųjų, jei krūvis q bei jo tūrinis tankis
ρ kistų laikui einant, tai kistų ir jų kuriamas lauko stipris E, nes šiuos
dydžius sieja Gauso dėsnis (žr. (1.23) ir (1.28)). O kintant E, kistų ir
srovės stipris I bei jos tankis j, taigi srovė būtų kintamoji, o ne
pastovioji nuolatinė. Tuo remiantis srovės pastovumo sąlygą remiantis
(3.20) galima suformuluoti taip:

[pic]

(3.21)

(3.21) lygybė rodo, kad pastoviosios nuolatinės srovės tankio linijos
yra uždaros ir neturi šaltinių.

[pic]

4. Omo dėsnis ir jo diferencialinė išraiška

Nagrinėsime dažniausiai praktikoje pasitaikantį atvejį, kai elektros
srovė teka medžiaga, kurioje yra laisvųjų krūvininkų. Tokią medžiagą
vadinsime laidininku, nors atskirais atvejais tai gali būti puslaidininkis
ar elektrolitas. Tačiau laisvųjų krūvininkų buvimo dar nepakanka srovei
atsirasti. Jų kryptingam judėjimui sukelti ir palaikyti reikia jėgos,
veikiančios tam tikra kryptimi. Kai ši jėga nustoja veikti, kryptingas
krūvininkų judėjimas greitai nutrūksta dėl varžos, sąlygotos laisvųjų
krūvininkų sąveikos su kitomis medžiagoje esančiomis dalelėmis (metalų
kristalinės gardelės jonais, priemaišiniais atomais, elektrolitų
neutraliosiomis molekulėmis ir pan.). Kryptingą laisvųjų krūvininkų
judėjimą sukelianti ir palaikanti jėga dažniausiai esti elektrinės
prigimties. Žinome, kad elektriniame [pic]stiprio lauke esantį krūvį q0
veikia jėga [pic] Taip pat žinome, kad elektrostatikos atveju laidininke
lauko nesti [pic]o įvairių laidininko taškų potencialai esti vienodi
(ϕ’const). Vadinasi, kad laidininku tekėtų elektros srovė, jame turi būti
elektrinis laukas [pic]ir potencialų skirtumas Δϕ.

1826 m. Omas (G. Ohm) nustatė, kad srovės stipris laidininke I tiesiai
proporcingas potencialų skirtumui (įtampai) tarp laidininko galų U: (I∼U).
Proporcingumo koeficientą pažymėję G, užrašysime:

[pic]

(3.22)
Dydis G vadinamas elektriniu laidumu. Iš (3.22) išreiškę G, turėsime:
G=I/U. Elektrinio laidumo SI vienetas vadinamas simensu (S). 1 S’1 A/1 V.

Dažniau naudojamas atvirkščias laidumui dydis R, vadinamas elektrine
varža: R’1/G. Tuomet Omo dėsnis grandinės daliai užrašomas taip:

[pic]

(3.23)
Iš (3.23) išreiškę R, turėsime:

[pic]

(3.24)
Varžos SI vienetas vadinamas omu (Ω). 1 Ω’1 V/1 A’1 S−1.

Bandymais nustatyta, kad varža priklauso nuo laidininko medžiagos ir jo
geometrinių matmenų. Laidininko, kurio ilgis l ir pastovus skerspjūvio
plotas S, varža

[pic]

(3.25)
Čia dydis ρ vadinamas medžiagos savitąja varža. Savitoji varža priklauso
nuo laidininko medžiagos ir temperatūros. Iš (3.25) išreiškę ρ, turėsime:
[pic] ir nustatysime, kad savitosios varžos SI vienetas yra 1 Ω⋅1 m2/1 m’1
Ω⋅m. Taip pat iš (3.25) aišku, kad savitoji varža lygi varžai laidininko,
kurio ilgis l’1 m ir skerspjūvio plotas S’1 m2.

Atvirkščias savitajai varžai dydis σ vadinamas savituoju laidumu:

[pic]
Jo SI vienetas yra 1 Ω−1⋅m−1’1 S/m.

Priminsime, kad nuosekliai sujungtų keliu laidininkų varža lygi atskirų
laidininkų varžų sumai:

[pic]

(3.26)
o lygiagrečiai sujungtų laidininkų laidumas lygus atskirų laidininkų
laidumų sumai:

[pic]

(3.27)
arba

[pic]

(3.28)

Jei laidininko skerspjūvio plotas arba savitoji varža nėra pastovūs (55
pav.), varžą galima apskaičiuoti integruojant:

[pic]

(3.29)
Kad galėtume apskaičiuoti (3.29) integralą, turime žinoti, kokiu dėsniu
kinta ρ ir S išilgai laidininko.

|[pic] |[pic] |

Nustatysime sąsają tarp srovės tankio j ir elektrinio lauko stiprio E
tame pačiame laidininko taške. Tam bet kokios formos laidininke, kuriuo
teka srovė, mintyse išskirkime srovės tankio vektoriaus [pic]kryptimi be
galo mažą laidininko elementą, kurio ilgis dl ir skerspjūvio plotas
dS (56 pav.). Šiuo elementu tekančios srovės stipris dI’jdS, įtampa tarp jo
galų dU’Edl, o jo varža [pic] Įrašę šias išraiškas į Omo dėsnio (3.23)
formulę, turėsime:

[pic]
arba suprastinę

[pic]
Kadangi j ir E yra vektoriniai dydžiai, o ρ ir σ – skaliarai, be to,
[pic]||[pic], pastarąją formulę galima užrašyti ir vektoriškai:

[pic] (3.30)

(3.30) išreiškia Omo dėsnio diferencialinę (vietinę, lokalią) formą, nes
susieja dydžius tame pačiame laidininko taške.
[pic]

5. Krūvininkų judris ir relaksacijos trukmė

Tekant srovei krūvininkai dreifuoja veikiami elektrinio lauko, todėl jų
dreifo greitis proporcingas lauko stipriui: (v∝E). Proporcingumo
koeficientą pažymėję μ, užrašysime:

[pic]

(3.31)

Proporcingumo koeficientas μ vadinamas krūvininkų judriu. Išreiškę jį iš
(3.31), gauname:

[pic]

(3.32)

Kaip matome iš (3.32), judris yra lygus vienetinio stiprio elektriniame
lauke įgytam krūvininkų dreifo greičiui.

Judrio SI vienetas nustatomas iš (3.32):

[pic]

Atsiradus elektriniam laukui, dreifo greitį v krūvininkas įgyja per tam
tikrą vidutinį laiką τ. Taigi vidutinis krūvininko pagreitis

[pic]

(3.33)

Pagal antrąjį Niutono dėsnį krūvininko pagreitį galime išreikšti ir
šitaip:

[pic]

(3.34)
Čia F – krūvininką veikianti jėga elektriniame lauke, m – krūvininko masė.
Iš (3.33), (3,34) ir (3.32) lygybių nustatome, kad dreifo greitis

[pic]

(3.35)
o judris

[pic]

(3.36)

Nustojus veikti elektriniam laukui, krūvininkai praranda dreifo greitį v
per laiką τ sąveikaudami su laidininko atomais. Šis laikas τ vadinamas
krūvininkų relaksacijos trukme.

Pasinaudodami (3.30), (3.13) ir (3.32) lygybėmis, medžiagų savitąjį
laidumą galime išreikšti ir taip:

[pic]

(3.37)

o esant kelių rūšių krūvininkams vietoje (3.13) pasinaudoję (3.14) gausime:

[pic]

(3.38)

[pic]

6. Pašalinės elektrovaros (ev)

|[pic] |

Jeigu laidininku sujungsime įelektrinto kondensatoriaus plokšteles, ims
tekėti elektros srovė (57 pav.). Bet ši srovė bus nepastovi ir trumpalaikė,
nes krūviai greitai neutralizuojasi, potencialų skirtumas tarp plokštelių
mažėja, kartu mažėja ir elektrinio lauko, taip pat ir srovės, stipris.
Norint pasiekti, kad tekėtų nuolatinė pastovi srovė, reikia įrenginio,
kuris perkeltų tiek teigiamųjų krūvių iš neigiamosios plokštelės į
teigiamąją (arba neigiamųjų krūvių iš teigiamosios plokštelės į
neigiamąją), kiek jų per tą patį laiką neutralizuojasi tekant srovei. Tokio
krūvių perkėlimo negali atlikti elektrostatinis laukas, nes jis veikia
krūvius priešinga kryptimi, negu turi būti perkeliami krūviai. Taigi
nuolatinės srovės šaltinyje be elektrostatinių jėgų krūvius turi veikti ir
neelektrostatinės kilmės jėgos, kurios šiuo atveju vadinamos pašalinėmis
jėgomis. Jų prigimtis gali būti labai įvairi (cheminė – galvaniniuose
elementuose, akumuliatoriuose, elektromagnetinė – dinamo mašinose, šiluminė
– termoelementuose ir t. t.). Pašalinės jėgos gali veikti krūvius arba
visoje uždaroje grandinėje, arba tik kai kuriose jos vietose.

Svarbiausias fizikinis dydis, apibūdinantis pašalines jėgas, vadinamas
elektrovara (sutrumpintai žymimas EV arba ev). Elektrovara yra fizikinis
dydis, lygus pašalinių jėgų darbo, atliekamo perkeliant teigiamąjį krūvį
uždara grandine, ir to krūvio santykiui:

[pic][pic]

(3.39)

Elektrovaros SI vienetas yra 1 J/1 C’1 V. Jis yra toks pat, kaip ir
potencialo ar potencialų skirtumo (įtampos) vienetas.

Pašalinę jėgą pažymėkime Fp. Tada uždaroje grandinėje atliktas pašalinės
jėgos darbas

[pic]

(3.40)
Įrašę (3.40) į (3.39), gauname:

[pic] (3.41)
Čia

[pic]

(3.42)
yra pašalinių jėgų lauko stipris.

Bendru atveju, jei krūvininkus veikia elektrostatinė ir pašalinės jėgos,
Omo dėsnio diferencialinė forma (3.30) užrašoma taip:

[pic]

(3.43)
(3.43) abi puses skaliariškai dauginkime iš [pic]ir integruokime uždaru
kontūru L:

[pic] (3.44)
Skerspjūvio plotą pažymėję S, (3.44) lygybėje vietoj j įrašykime I/S ir I
iškelkime prieš integralo ženklą, nes visame integravimo kelyje I vertė ta
pati. Be to, (3.44) dešinės pusės pirmasis integralas lygus nuliui, nes
elektrostatinis laukas yra potencialinis, o antrasis integralas sutinkamai
su (3.41) lygus ε. Taigi (3.44) galime užrašyti taip:

[pic]

(3.45)
(3.45) lygybėje integralas reiškia uždaros grandinės suminę varžą
(žr.(3.29)). Galime tarti, jog uždara grandinė susideda iš dviejų dalių:
išorinės ir vidinės. Išorinę grandinę sudaro prie srovės šaltinio gnybtų
prijungtų laidininkų varža, o vidinę – tarp tų gnybtų šaltinio viduje
esančių medžiagų varža. Išorinės grandinės varžą pažymėję R, o vidinės
grandinės r, (3.45) lygybę užrašysime taip:

[pic],

(3.46)
arba

[pic]

(3.47)

(3.46) arba (3.47) išreiškia Omo dėsnį uždarajai elektros grandinei.
Atsižvelgę į Omo dėsnį grandinės daliai (žr. (3.23)), (3.46) galime
užrašyti taip:

[pic]

(3.48)
Čia U yra šaltinio gnybtų įtampa, o Ir dar vadinama įtampos kritimu
vidinėje varžoje. Iš (3.48) matyti, jog

[pic]

(3.49)
t. y. kai srovės šaltinis tiekia srovę išorinei grandinei, jo gnybtų įtampa
esti mažesnė už jo ev dydžiu Ir. Tačiau jei I’0, tada U’ε. Todėl šaltinio
elektrovarą galima ir taip nusakyti: elektrovara lygi šaltinio gnybtų
įtampai, kai šaltiniu srovė neteka. Tuo paprastai naudojamasi norint
praktiškai išmatuoti srovės šaltinio ev.

[pic]

7. Srovės darbas ir galia. Džaulio dėsnis ir jo diferencialinė išraiška

Panagrinėkime grandinės dalį. Tarkime, kad tos dalies įtampa U, o ta
grandine tekančios nuolatinės srovės stipris I. Jei per laiką t prateka
krūvis q, elektrinis laukas atlieka darbą

[pic]
Kadangi tekant nuolatinei pastoviai srovei [pic] tai srovės atliktas darbas

[pic]

(3.50)

Elektros srovės darbas grandinės dalyje lygus įtampos, srovės stiprio ir
laiko, per kurį atliekamas darbas, sandaugai.

Pagal energijos tvermės dėsnį šis darbas turi būti lygus nagrinėjamos
grandinės dalies energijos pokyčiui. Jeigu grandinės dalyje judančių
laidininkų nėra ir nevyksta jokie cheminiai kitimai, tai padidėja jos
vidinė energija, t. y. padidėja temperatūra. Šiuo atveju visas srovės
darbas virsta šiluma: Q’A. Temperatūros didėjimo mechanizmas toks:
krūvininkai (pavyzdžiui, metalo laisvieji elektronai), veikiami elektrinio
lauko jėgos, įgyja papildomą kinetinę energiją, kurią paskui atiduoda
gardelei susidurdami su jos mazguose esančiais jonais.

Pasinaudodami Omo dėsniu grandinės daliai (3.23), šilumos kiekį,
išsiskyrusį per laiką t, galime išreikšti ir taip:

[pic] (3.51)

(3.51) formulė išreiškia Džaulio (J. P. Joule) dėsnį, kurį žodžiais
galima taip suformuluoti: šilumos kiekis, išsiskiriantis laidininke, kai
juo teka srovė, lygus srovės stiprio kvadrato, laidininko varžos ir laiko
sandaugai.

Pagal galios P apibrėžtį P’A/t. Taigi elektros srovės galia

[pic]

(3.52)

Tuo atveju, kai visas srovės darbas virsta šiluma, galią galima
išreikšti ir taip:

[pic] (3.53)

Atkreipsime dėmesį, kad (3.50) ir (3.52) formules galima taikyti ir tuo
atveju, kai visa elektros energija ar jos dalis virsta ne tik šiluma, bet
ir mechanine, chemine ar kitokios formos energija, o (3.51) ir (3.53) – tik
kai visa energija virsta šiluma.

Panagrinėkime energijos virsmus uždarojoje grandinėje, turinčioje
pašalinę elektrovarą ε. (3.48) formulės, išreiškiančios Omo dėsnį uždarajai
grandinei, abi puses padauginkime iš srovės stiprio I:

[pic]

(3.54)
Čia εI yra pašalinių jėgų išvystoma galia. Matome, kad ji lygi išorinės
grandinės (kuri nebūtinai visa virsta šiluma) ir vidinės grandinės
šiluminių galių sumai. Taigi grandine tekant srovei pašalinių jėgų
atliekamas darbas virsta kitų rūšių energija, o elektrinis laukas tik
padeda tą energiją perkelti iš šaltinio į kitas grandinės dalis.

Pagal (3.52) ar (3.53) galima apskaičiuoti tik visame laidininke
išsiskiriančią šiluminę galią. Jei laidininkas nevienalytis (pavyzdžiui,
nevienodas jo skerspjūvio plotas ar nevienoda savitoji varža), tai
išsiskirianti šiluma esti nevienodai pasiskirsčiusi jo tūryje.

Tačiau galima rasti būdą tam tikrame laidininko taške išsiskiriančiai
šiluminei galiai apskaičiuoti.
|[pic] |

Bet kokios formos laidininke mintyse išskirkime be galo mažą jo
elementą, kurio ilgis dl nukreiptas lygiagrečiai su srovės tankio
vektoriumi [pic], o skerspjūvio plotas dS – statmenai jam (58 pav.). Tokio
elemento varža

[pic]
o juo tekančios srovės stipris

[pic]
Jame išsiskirianti šiluminė galia pagal (3.53)

[pic] (3.55)
Čia dV’dl⋅dS – laidininko elemento tūris, o pagal (3.20) j’σE.

Fizikinis dydis

[pic]

(3.56)
vadinamas elektros srovės šiluminės galios tūriniu tankiu. Tai tūrio
vienete išsiskirianti šiluminė galia. Šiluminės galios tūrinio tankio w SI
vienetas yra 1 W/m3. (3.56) formulė vadinama Džaulio dėsnio diferencialine
(vietine, lokalia) forma. Pagal (3.56) apskaičiuojama šiluminė galia,
išsiskirianti tam tikrame laidininko taške. Visame laidininke išsiskirianti
šiluminė galia gali būti apskaičiuota integruojant:

[pic]

(3.57)

[pic]

8. Tiesinės grandinės. Kirchhofo taisyklės

Tiesine vadinama tokia grandinė, kurioje srovės stipris tiesiškai
priklauso nuo įtampos. Ta priklausomybė aprašoma (3.22) arba (3.23)
išraiškomis. Taigi grandinė yra tiesinė, jei jos laidumas G arba varža R
yra pastovūs, nepriklausantys nuo įtampos dydžiai. O jei varža priklauso
nuo įtampos, tokia grandinė yra netiesinė.

Visiškai tiesinių grandinių nėra, nes varža priklauso nuo temperatūros,
o pastaroji turi kisti keičiantis įtampai, nes išsiskiria Džaulio šiluma.
Tačiau esant mažoms įtampoms laidininkai praktiškai neįšyla, todėl jo varža
išlieka pastovi ir grandinė gali būti laikoma tiesine.

Ne visais atvejais sudėtingose grandinėse tekančių srovių stiprius
galima apskaičiuoti remiantis vien tik Omo dėsniu ir pasinaudojant
nuoseklaus, lygiagretaus bei mišraus varžų jungimo formulėmis (žr. (3.26),
(3.28)). Praktikoje dažnai pasitaiko šakotinės grandinės, kuriose, be to,
gali būti keletas įvairiai sujungtų srovės šaltinių. Šakotinės grandinės
pavyzdys parodytas 59 pav.
|[pic] |

Grandinės taškas, į kurį sueina trys ar daugiau laidų, vadinamas mazgu.
59 pav. schemoje yra 4 mazgai. Jie pažymėti A, B, C, D. Grandinės dalis,
jungianti du gretimus mazgus, vadinama šaka. Minėtoje schemoje yra 6 šakos:
AB, AC, AD, BC, CD ir BεD. Bet kuri uždara grandinė vadinama kontūru, pvz.,
BACB, BCDεB, BACDεB ir t. t. Kontūras, kurio viduje nėra šakų, vadinamas
elementariuoju kontūru. 59 pav. schemoje yra 3 elementarieji kontūrai:
BACB, ADCA ir BCDεB. Kiti kontūrai, pvz., BADCB, BACDεB, BADεB nėra
elementarieji.

Tarkime, kad grandinės šakomis tekančių srovių stipriai yra I1, I2, I3,
. . ., I6, o jų kryptys tokios, kaip pavaizduota rodyklėmis.

Pirmoji Kirchhofo (G. Kirchhoff) taisyklė teigia, kad į mazgą sutekančių
srovių stiprių algebrinė suma lygi nuliui. Sumuojant sroves, į mazgą
įtekančias ir ištekančias sroves reikia rašyti su priešingais ženklais,
pvz., įtekančias su “+” ženklu, o ištekančias – su “−”. Žinoma, galima
daryti ir atvirkščiai. Pavyzdžiui, 59 pav. mazgui A užrašysime: I3−I4−I5’0.
Apibendrintai pirmoji Kirchhofo taisyklė užrašoma taip:

[pic] (3.58)

Antroji Kirchhofo taisyklė teigia, kad bet kokio uždaro kontūro šakomis
tekančių srovių stiprių ir varžų sandaugų algebrinė suma lygi tame kontūre
esančių šaltinių elektrovarų algebrinei sumai:

[pic] (3.59)

Norint užrašyti lygtį pagal antrąją Kirchhofo taisyklę, reikia laisvai
pasirinkti kontūro apėjimo kryptį (pagal arba prieš laikrodžio rodyklę).
Jei srovės šakoje kryptis sutampa su pasirinkta apėjimo kryptimi, tai
sandauga IkRk rašoma su “+” ženklu, jei ne – su “−” ženklu. Paskui dar
kartą ta pačia kryptimi apeinamas tas kontūras ir užrašoma (3.59) lygties
dešinė pusė – ev suma. Šiuo atveju būtina atsiminti: jei per šaltinį tenka
eiti potencialo didėjimo kryptimi (t. y. iš “−” į “+”), jo ev imama su “+”
ženklu, o jei potencialo mažėjimo kryptimi (iš “+” į “−”), jo ev rašoma su
“−” ženklu. Kad lengviau tą įsimintume, pailiustruosime piešiniais 60 pav.
kuriame lankelis su rodykle rodo ėjimo per šaltinį kryptį.
|[pic] |

Pavyzdžiui, 59 pav. kontūrui BADεB, pasirinkę apėjimo kryptį pagal
laikrodžio rodyklę, užrašysime:

I3R3+I4R4+Ir’ε.

Pastebėsime, kad pirmoji Kirchhofo taisyklė susijusi su srovės pastovumo
sąlyga. Jei į mazgą sutekančių srovių algebrinė suma nebūtų lygi nuliui,
tai laikui einant tame mazge kauptųsi teigiamas ar neigiamas krūvis, taigi
ir elektrinio lauko stipris, o kartu ir srovės tankis bei stipris irgi
kistų, t. y. srovė nebūtų pastovi nuolatinė. Antroji Kirchhofo taisyklė
susijusi su elektrostatinio lauko potencialumu ir pašalinių elektrovarų
samprata.

Kirchhofo taisyklės įgalina apskaičiuoti srovės stiprius bet kokio
sudėtingumo nuolatinės srovės grandinėje, kai žinomos visos varžos
(išorinės ir vidinės) ir visos ev. Jei visos grandinės varžos yra pastovios
(t. y. nepriklauso nuo įtampos), tinkamai užrašius lygtis pagal pirmąją ir
antrąją Kirchhofo taisykles, gaunama tiesinių lygčių sistema. Kad ta
sistema turėtų vienintelį sprendinį, joje neturi būti tiesiškai priklausomų
lygčių. Tam reikia laikytis šių reikalavimų:

1) jei grandinėje yra iš viso n mazgų, sudarant lygčių sistemą reikia
rašyti tik n−1 lygtį pagal pirmąją Kirchhofo taisyklę;

2) pagal antrąją Kirchhofo taisyklę rašyti tiek lygčių, kiek grandinėje
yra elementariųjų kontūrų.

Laikantis šių dviejų reikalavimų, sistemą sudarys tiek lygčių, kiek šakų
(tuo pačiu ir skirtingo stiprio srovių) yra grandinėje. Išsprendę ją,
nustatysime visų srovių stiprius.

Pastabos. a) Sudėtingoje grandinėje, ypač jei joje yra keletas įvairiai
sujungtų srovės šaltinių, srovės tekėjimo kryptį ne visada galima iš anksto
numatyti. Tačiau srovių kryptis prieš sudarant lygčių sistemą galima
pasirinkti laisvai. Jei išsprendus lygčių sistemą kurių nors srovių stiprių
vertės pasirodys esančios neigiamos, tai reikš, kad tos srovės iš tikrųjų
teka priešingomis kryptimis, negu buvo pasirinkta, o jų moduliai bus lygūs
tų srovių stipriams.

b) Teiginys, kad pagal antrąją Kirchhofo taisyklę galima rašyti tiek
lygčių, kiek yra elementariųjų kontūrų, teisingas tik tuo atveju, jei
grandinės schema yra atvaizduota plokštumoje. Tūrinės schemos atveju lygčių
gali būti mažiau, negu yra elementariųjų kontūrų (žr. 1 pavyzdį).

Kaip pavyzdį užrašysime Kirchhofo lygčių sistemą grandinei, kurios
schema pavaizduota 61 pav. Joje 4 mazgai ir 3 elementarieji kontūrai, tad
lygčių sistemą sudarys 3 lygtys pagal pirmąją ir 3 pagal antrąją Kirchhofo
taisykles. Jei srovių kryptys ir kontūrų apėjimų kryptys pasirinktos
tokios, kaip parodyta rodyklėmis 61 pav., lygčių sistema bus tokia:
|[pic] |

[pic]

Pastebėsime, kad pagal Omo dėsnį grandinės daliai IkRk’Uk, tad antrąją
Kirchhofo taisyklę galima užrašyti ir taip:

[pic]

(3.60)

(3.60) formule tenka naudotis, jei kurioje nors grandinės šakoje yra
kondensatorių arba netiesinių rezistorių (žr. 2 ir 3 pavyzdžius).

1 pavyzdys. Tetraedro trijose briaunose įjungti srovės šaltiniai ε1’2 V,
ε2’4 V ir ε3’6 V, o kitose trijose – vienodi R’10 Ω varžos rezistoriai (61
pav.). Kokio stiprio srovės teka šaltiniais? Į šaltinių vidines varžas
neatsižvelkite.

Sprendimas
|[pic] |

62 pav. grandinėje matome 4 mazgus ir 4 elementariuosius kontūrus.
Tačiau nepriklausomi tik 3 kontūrai, nes parašius lygtis pagal antrąją
Kirchhofo taisyklę, tarkime, trims pasviriesiems kontūrams jau bus
panaudotos visos grandinės šakos, ir lygtis horizontaliajam kontūrui su
varžomis R būtų tiesinė ankstesnių lygčių kombinacija. Taip atsitiko todėl,
kad 62 pav. grandinės schema tūrinė. 63 pav. pavaizduota tos pačios
grandinės lygiavertė schema plokštumoje, kurioje matome 3 elementariuosius
kontūrus. Taigi šioje grandinėje yra 4 mazgai ir 3 elementarieji kontūrai.
Pasirinkę srovių kryptis ir kontūrų apėjimo kryptis, tarkime, tokias, kaip
pavaizduota 63 pav. užrašome tokią 6 lygčių sistemą:

[pic]
Išsprendę ją, apskaičiuojame šaltiniais tekančių srovių stiprius:

[pic]

[pic]

[pic]

2 pavyzdys. Grandinėje, kurios schema pavaizduota 64 pav., ε’9 V, ε1’18
V, ε0’27 V, R’270 Ω, R1’90 Ω, R0’180 Ω, C’1 μF. Pereinamieji procesai
pasibaigę. Kokia yra kondensatoriaus įtampa? Į šaltinių vidines varžas
neatsižvelkite.

Sprendimas
|[pic] |

Grandinėje yra 4 mazgai ir 3 elementarieji kontūrai. Pasirinkę srovių
kryptis, kontūrų apėjimų kryptis ir kondensatoriaus įtampos U poliškumą,
kaip pažymėta 64 pav. ir žinodami, kad nuolatinė pastovioji srovė per
kondensatorių neteka, sudarome tokią lygčių sistemą:

[pic]
Išsprendę ją, apskaičiuojame, kad

[pic]

Neigiamas sprendinys rodo, kad kondensatoriaus įtampos poliškumas yra
priešingas, negu buvo pasirinkta užrašant lygtis, o jo įtampa lygi 1,8 V.

3 pavyzdys. Grandinę sudaro du elementai, kurių elektrovaros ε1’2 V,
ε2’6 V, du rezistoriai, kurių varžos R1’6 Ω, R2’18 Ω, ir netiesinis
rezistorius, kurio voltamperinė charakteristika aprašoma lygtimi [pic](žr.
65 pav.). Apskaičiuokite srovių I, I1 ir I2 stiprius.

Sprendimas
|[pic] |

Netiesinio rezistoriaus įtampą pažymėkime U, o srovės stiprį jame I.
Tris lygtis užrašę remdamiesi Kirchhofo taisyklėmis ir dar prirašę
voltamperinės charakteristikos lygtį, gauname tokią lygčių sistemą:

[pic]
Išsprendę ją, apskaičiuojame, kad U’1,40 V, I’0,36 A, I1’0,10 A, I2’0,26
A.

Pastebėsime, kad esant grandinėje netiesinių rezistorių (diodų,
tranzistorių, varistorių, termorezistorių ir pan.), Kirchhofo taisyklės
irgi galioja, tačiau gaunama netiesinių lygčių sistema, kuri gali turėti
nebūtinai vienintelį sprendinį.

Leave a Comment