NUOLATINĖ ELEKTROS SROVĖ
1. Elektros srovės stipris ir srovės tankis
Elektros srovė yra bet koks kryptingas elektros krūvių(tiksliau sakantelektringųjų dalelių ar įelektrintų kūnų) judėjimas. Laisvųjų elektronųmetaluose ar teigiamųjų bei neigiamųjų jonų elektrolituose judėjimas,įelektrinto bet kokio kūno slenkamasis ar sukamasis judėjimas yra elektrossrovės pavyzdžiai. Tačiau dažniausiai kalbėdami apie elektros srovę turimegalvoje kryptingą elektringųjų dalelių judėjimą medžiagoje ar vakuume.Šios elektringosios dalelės dar vadinamos krūvininkais. Tekant elektros srovei atsiranda naujų reiškinių, kurie nebūdinginejudantiems krūviams. Iš jų paminėtini: 1) Šiluminis veikimas. Laidininkas, kuriuo teka elektros srovė, įšyla. 2) Cheminis veikimas. Tekant elektros srovei gali kisti medžiagoscheminė sudėtis. Šis reiškinys būdingas tik medžiagoms, kuriose krūvininkaiyra jonai, pavyzdžiui, elektrolitams – vandeniniams druskų, rūgščių aršarmų tirpalams. 3) Magnetinis veikimas. Elektros srovė kuria magnetinį lauką.Pavyzdžiui, arti laido padėtos magnetinės rodyklės kryptis pakinta, kailaidu ima tekėti elektros srovė. Magnetinis srovės veikimas, skirtingai nuo šiluminio ir cheminio, yrabendriausias. Jis pasireiškia visais elektros srovės atvejais, netgi judantmasyviems įelektrintiems kūnams, kada šiluminio ir cheminio veikimo nesti.Cheminio veikimo nesti tekant srovei medžiagomis, kuriuose krūvininkai yralaisvieji elektronai, pavyzdžiui, metalais. Šiluma neišsiskiria tekantsrovei superlaidininkais. Pagrindinė kiekybinė elektros srovės charakteristika yra srovės stipris.Jis lygus krūviui, pratekančiam laidininko skerspjūviu per laiko vienetą. Jei per be galo mažą laiko intervalą dt prateka elektros krūvis dq, taisrovės stipris
[pic] (3.1) Krūvis, pratekantis per baigtinį laiko intervalą t, pagal (3.1) yra [pic] (3.2) Jeigu srovės kryptis laikui einant nekinta, tokia srovė vadinamanuolatine srove, jei nesikeičia ir jos stipris – pastoviąja nuolatine
srove. Pastoviosios nuolatinės srovės atveju I=const, todėl ją galimarašyti prieš integralą. Tuo atveju (3.2) užrašysime taip: [pic] (3.3)o (3.1) –[pic] (3.4) Srovės stiprio SI vienetas yra amperas (1 A). Tai pagrindinis vienetas.Jis nusakomas remiantis srovių magnetine sąveika. Srovės stipris I yra algebrinis skaliarinis dydis. Jis gali būtiteigiamas arba neigiamas. Sutarta teigiamąja elektros srovės kryptimilaikyti tą kryptį, kuria juda teigiamieji krūviai. Nustatysime sąsają tarp srovės stiprio I ir krūvininkų kryptingojudėjimo greičio v bei jų skaičiaus tankio n. Tarkime, kad skerspjūvio, prokurį teka srovė, plotas S, o kiekvieno krūvininko krūvis q0 (52 pav.). Prošį plotą per laiko vienetą pralėks tie krūvininkai, kurie nutolę nuo joatstumu, ne didesniu už vidutinį kryptingo judėjimo greitį v. Tų krūvininkųskaičius lygus nvS, o jų krūvis q=q0nvS. Taigi
[pic] (3.5)|[pic] |
Kitas svarbus srovę apibūdinantis dydis yra srovės tankis j. Jis lyguskrūviui, pratekančiam per laiko vienetą pro vienetinį plotą, statmenąkrūvių judėjimo krypčiai: [pic] (3.6)Remdamiesi (3.6) galime užrašyti: [pic] (3.7)|[pic] |
Jei plotelis dS nestatmenas krūvininkų judėjimo krypčiai, tuomet[pic] (53 pav.), ir pagal (3.7) [pic] (3.8)(3.8) lygybę galima užrašyti kaip vektorių [pic][pic]ir [pic] skaliarinęsandaugą: [pic] (3.9) Srovės, tekančios pro bet kokio baigtinio dydžio plotą S, stiprisapskaičiuojamas integruojant (3.9):
[pic] (3.10)Jeigu srovės tankis visame skerspjūvio plote vienodas, (3.10) lygybė tampa [pic] (3.11)o jei dar ir [pic]kryptis sutampa su ploto S normalės kryptimi – [pic] (3.12) Srovės tankio SI vienetas yra 1 A/m2. Atsižvelgę į (3.5) lygybę, srovės tankio vektorių [pic] galime taipsusieti su vidutiniu kryptingo krūvininkų judėjimo greičiu [pic]: [pic] (3.13) Atkreipsime dėmesį, kad laisvieji elektronai, panašiai, kaip dujų
molekulės, visą laiką netvarkingai (chaotiškai) juda. Tai šiluminisjudėjimas. Elektronų šiluminio judėjimo greitis kambario temperatūroje yragana didelis ir siekia apie 105 m/s, o kryptingo judėjimo greitis paprastaiesti v≈1 mm/s. Kryptingas laisvųjų metalo elektronų judėjimas kartaisvadinamas dreifu, o greitis v – elektronų dreifo greičiu. Bendru atveju elektros srovę gali sąlygoti ne vien tik elektronų, bet irkitokių krūvininkų (pvz., jonų elektrolituose ar dujose, skyliųpuslaidininkiuose) kryptingas judėjimas. Judant kelių rūšių krūvininkams jųįnašai į srovė sumuojasi. Tuo atveju (3.13) virsta[pic] (3.14)
[pic]
2. Elektrinis laukas tekant nuolatinei srovei
Tekant elektros srovei krūvininkai juda veikiami elektrinio lauko. Taigišiuo atveju, skirtingai negu elektrostatikoje, laidininke turi būtielektrinis laukas
[pic] (3.15) Kadangi elektrinio lauko stipris ir potencialas susiję sąryšiu (1.48),tai iš (1.48) ir (3.15) išplaukia, kad tekant srovei įvairių laidininkotaškų potencialai turi būti skirtingi. Teigiamieji krūvininkai juda lauko kryptimi, o neigiamieji – prieš laukokryptį. Taigi srovės tankis turi būti nukreiptas lauko kryptimi:[pic]||[pic]Laidininko paviršiuje [pic] ir [pic] turi sutapti su paviršiausliestinės kryptimi, nes srovės tankio vektorius [pic] nekerta šoniniopaviršiaus. Žinome, kad lauko stiprio tangentinė dedamoji dvi aplinkasskiriantį paviršių praeina nepakisdama (žr. (1.107)). Už laidininko, priepat jo paviršiaus, ji turi būti tokia, kaip ir laidininke, tačiau ji tensumuosis su normaline dedamąja, kuri elektrostatikoje ir tebuvo. Todėlšalia laidininko prie pat jo paviršiaus elektrinis laukas jau nebusstatmenas laidininko paviršiui, o sudarys su juo tam tikrą kampą [pic] Elektrinio lauko linijos esant cilindriniam laidininkui elektrostatikosatveju pavaizduotos 54 pav., a), o tekant srovei – 54 pav., b).|[pic] |
Tekant srovei, kaip ir elektrostatikos atveju, lauką laidininke beišalia jo sukuria to laidininko paviršiuje esantys krūviai, tik tų krūvių
pasiskirstymas esti kitoks, tad pakinta ir jų kuriamas laukas.[pic]
3. Tolydumo lygtis ir srovės pastovumo sąlyga
Laidininke, kuriuo teka elektros srovė, mintyse paimkime bet kokįuždarąjį paviršių S. Juo apribotą tūrį pažymėkime V, o tame tūryje esantįkrūvį q. Kadangi uždariesiems paviršiams sutarta normalės, taigi ir[pic] teigiamąja kryptimi laikyti išorinę kryptį, tai sutinkamai su (3.10) [pic] (3.16)yra per laiko vienetą iš to paviršiaus ištekantis teigiamasis krūvis. Taigi(3.16) išreiškia teigiamojo krūvio tūryje V sumažėjimą per laiko vienetą:
[pic] (3.17) (3.17) vadinama tolydumo lygtimi. Iš esmės ji išreiškia krūvio tvermėsdėsnį. (3.17) yra srovės tolydumo lygties integralinė išraiška. Norint gautidiferencialinę išraišką, reikia tarti, kad paviršius S bei juo apribotastūris V darosi be galo maži. Tūrinį krūvio tankį pažymėję ρ, krūvį qišreikškime pasinaudodami (1.17) ir įrašykime į (3.17): [pic] (3.18)Pritaikę vektoriui [pic]matematinę Gauso teoremą panašiai, kaip tą darėmevektoriui [pic] (žr. 1.26)), gauname: [pic] [pic] (3.19)Iš (3.18) ir (3.19) išplaukia, kad
[pic] (3.20) (3.20) lygybė vadinama srovės tolydumo lygties diferencialine išraiška. Tolydumo lygtis, kuri išreiškiama (3.17) ar (3.18) lygybėmis, galiojavisada tekant bet kokioms srovėms, nes ji išreiškia krūvio tvermės dėsnį. Tekant pastoviajai nuolatinei srovei krūvių pasiskirstymas erdvėjeneturi kisti laikui einant. Iš tikrųjų, jei krūvis q bei jo tūrinis tankisρ kistų laikui einant, tai kistų ir jų kuriamas lauko stipris E, nes šiuosdydžius sieja Gauso dėsnis (žr. (1.23) ir (1.28)). O kintant E, kistų irsrovės stipris I bei jos tankis j, taigi srovė būtų kintamoji, o nepastovioji nuolatinė. Tuo remiantis srovės pastovumo sąlygą remiantis
(3.20) galima suformuluoti taip: [pic] (3.21) (3.21) lygybė rodo, kad pastoviosios nuolatinės srovės tankio linijosyra uždaros ir neturi šaltinių.[pic] 4. Omo dėsnis ir jo diferencialinė išraiška
Nagrinėsime dažniausiai praktikoje pasitaikantį atvejį, kai elektrossrovė teka medžiaga, kurioje yra laisvųjų krūvininkų. Tokią medžiagąvadinsime laidininku, nors atskirais atvejais tai gali būti puslaidininkisar elektrolitas. Tačiau laisvųjų krūvininkų buvimo dar nepakanka sroveiatsirasti. Jų kryptingam judėjimui sukelti ir palaikyti reikia jėgos,veikiančios tam tikra kryptimi. Kai ši jėga nustoja veikti, kryptingaskrūvininkų judėjimas greitai nutrūksta dėl varžos, sąlygotos laisvųjųkrūvininkų sąveikos su kitomis medžiagoje esančiomis dalelėmis (metalųkristalinės gardelės jonais, priemaišiniais atomais, elektrolitųneutraliosiomis molekulėmis ir pan.). Kryptingą laisvųjų krūvininkųjudėjimą sukelianti ir palaikanti jėga dažniausiai esti elektrinėsprigimties. Žinome, kad elektriniame [pic]stiprio lauke esantį krūvį q0veikia jėga [pic] Taip pat žinome, kad elektrostatikos atveju laidininkelauko nesti [pic]o įvairių laidininko taškų potencialai esti vienodi(ϕ’const). Vadinasi, kad laidininku tekėtų elektros srovė, jame turi būtielektrinis laukas [pic]ir potencialų skirtumas Δϕ. 1826 m. Omas (G. Ohm) nustatė, kad srovės stipris laidininke I tiesiaiproporcingas potencialų skirtumui (įtampai) tarp laidininko galų U: (I∼U).Proporcingumo koeficientą pažymėję G, užrašysime:
[pic] (3.22)Dydis G vadinamas elektriniu laidumu. Iš (3.22) išreiškę G, turėsime:G=I/U. Elektrinio laidumo SI vienetas vadinamas simensu (S). 1 S’1 A/1 V. Dažniau naudojamas atvirkščias laidumui dydis R, vadinamas elektrinevarža: R’1/G. Tuomet Omo dėsnis grandinės daliai užrašomas taip: [pic] (3.23)Iš (3.23) išreiškę R, turėsime: [pic] (3.24)Varžos SI vienetas vadinamas omu (Ω). 1 Ω’1 V/1 A’1 S−1.
Bandymais nustatyta, kad varža priklauso nuo laidininko medžiagos ir jogeometrinių matmenų. Laidininko, kurio ilgis l ir pastovus skerspjūvioplotas S, varža [pic] (3.25)Čia dydis ρ vadinamas medžiagos savitąja varža. Savitoji varža priklausonuo laidininko medžiagos ir temperatūros. Iš (3.25) išreiškę ρ, turėsime:[pic] ir nustatysime, kad savitosios varžos SI vienetas yra 1 Ω⋅1 m2/1 m’1Ω⋅m. Taip pat iš (3.25) aišku, kad savitoji varža lygi varžai laidininko,kurio ilgis l’1 m ir skerspjūvio plotas S’1 m2. Atvirkščias savitajai varžai dydis σ vadinamas savituoju laidumu: [pic]Jo SI vienetas yra 1 Ω−1⋅m−1’1 S/m. Priminsime, kad nuosekliai sujungtų keliu laidininkų varža lygi atskirųlaidininkų varžų sumai: [pic] (3.26)o lygiagrečiai sujungtų laidininkų laidumas lygus atskirų laidininkųlaidumų sumai: [pic] (3.27)arba [pic] (3.28) Jei laidininko skerspjūvio plotas arba savitoji varža nėra pastovūs (55pav.), varžą galima apskaičiuoti integruojant:[pic] (3.29)Kad galėtume apskaičiuoti (3.29) integralą, turime žinoti, kokiu dėsniukinta ρ ir S išilgai laidininko.
|[pic] |[pic] |
Nustatysime sąsają tarp srovės tankio j ir elektrinio lauko stiprio Etame pačiame laidininko taške. Tam bet kokios formos laidininke, kuriuoteka srovė, mintyse išskirkime srovės tankio vektoriaus [pic]kryptimi begalo mažą laidininko elementą, kurio ilgis dl ir skerspjūvio plotas dS (56 pav.). Šiuo elementu tekančios srovės stipris dI’jdS, įtampa tarp jogalų dU’Edl, o jo varža [pic] Įrašę šias išraiškas į Omo dėsnio (3.23)formulę, turėsime: [pic]arba suprastinę [pic]Kadangi j ir E yra vektoriniai dydžiai, o ρ ir σ – skaliarai, be to,[pic]||[pic], pastarąją formulę galima užrašyti ir vektoriškai:
[pic] (3.30) (3.30) išreiškia Omo dėsnio diferencialinę (vietinę, lokalią) formą, nessusieja dydžius tame pačiame laidininko taške.
[pic]5. Krūvininkų judris ir relaksacijos trukmė
Tekant srovei krūvininkai dreifuoja veikiami elektrinio lauko, todėl jųdreifo greitis proporcingas lauko stipriui: (v∝E). Proporcingumokoeficientą pažymėję μ, užrašysime: [pic] (3.31) Proporcingumo koeficientas μ vadinamas krūvininkų judriu. Išreiškę jį iš(3.31), gauname:
[pic] (3.32) Kaip matome iš (3.32), judris yra lygus vienetinio stiprio elektriniamelauke įgytam krūvininkų dreifo greičiui. Judrio SI vienetas nustatomas iš (3.32): [pic] Atsiradus elektriniam laukui, dreifo greitį v krūvininkas įgyja per tamtikrą vidutinį laiką τ. Taigi vidutinis krūvininko pagreitis [pic] (3.33) Pagal antrąjį Niutono dėsnį krūvininko pagreitį galime išreikšti iršitaip: [pic] (3.34)Čia F – krūvininką veikianti jėga elektriniame lauke, m – krūvininko masė.Iš (3.33), (3,34) ir (3.32) lygybių nustatome, kad dreifo greitis [pic] (3.35)o judris
[pic] (3.36) Nustojus veikti elektriniam laukui, krūvininkai praranda dreifo greitį vper laiką τ sąveikaudami su laidininko atomais. Šis laikas τ vadinamaskrūvininkų relaksacijos trukme. Pasinaudodami (3.30), (3.13) ir (3.32) lygybėmis, medžiagų savitąjįlaidumą galime išreikšti ir taip:
[pic] (3.37) o esant kelių rūšių krūvininkams vietoje (3.13) pasinaudoję (3.14) gausime: [pic] (3.38)
[pic] 6. Pašalinės elektrovaros (ev)
|[pic] |
Jeigu laidininku sujungsime įelektrinto kondensatoriaus plokšteles, imstekėti elektros srovė (57 pav.). Bet ši srovė bus nepastovi ir trumpalaikė,nes krūviai greitai neutralizuojasi, potencialų skirtumas tarp plokšteliųmažėja, kartu mažėja ir elektrinio lauko, taip pat ir srovės, stipris.Norint pasiekti, kad tekėtų nuolatinė pastovi srovė, reikia įrenginio,kuris perkeltų tiek teigiamųjų krūvių iš neigiamosios plokštelės įteigiamąją (arba neigiamųjų krūvių iš teigiamosios plokštelės įneigiamąją), kiek jų per tą patį laiką neutralizuojasi tekant srovei. Tokiokrūvių perkėlimo negali atlikti elektrostatinis laukas, nes jis veikiakrūvius priešinga kryptimi, negu turi būti perkeliami krūviai. Taigi
nuolatinės srovės šaltinyje be elektrostatinių jėgų krūvius turi veikti irneelektrostatinės kilmės jėgos, kurios šiuo atveju vadinamos pašalinėmisjėgomis. Jų prigimtis gali būti labai įvairi (cheminė – galvaniniuoseelementuose, akumuliatoriuose, elektromagnetinė – dinamo mašinose, šiluminė– termoelementuose ir t. t.). Pašalinės jėgos gali veikti krūvius arbavisoje uždaroje grandinėje, arba tik kai kuriose jos vietose. Svarbiausias fizikinis dydis, apibūdinantis pašalines jėgas, vadinamaselektrovara (sutrumpintai žymimas EV arba ev). Elektrovara yra fizikinisdydis, lygus pašalinių jėgų darbo, atliekamo perkeliant teigiamąjį krūvįuždara grandine, ir to krūvio santykiui:[pic][pic] (3.39) Elektrovaros SI vienetas yra 1 J/1 C’1 V. Jis yra toks pat, kaip irpotencialo ar potencialų skirtumo (įtampos) vienetas. Pašalinę jėgą pažymėkime Fp. Tada uždaroje grandinėje atliktas pašalinėsjėgos darbas [pic] (3.40)Įrašę (3.40) į (3.39), gauname: [pic] (3.41)Čia [pic] (3.42)yra pašalinių jėgų lauko stipris. Bendru atveju, jei krūvininkus veikia elektrostatinė ir pašalinės jėgos,Omo dėsnio diferencialinė forma (3.30) užrašoma taip:
[pic] (3.43)(3.43) abi puses skaliariškai dauginkime iš [pic]ir integruokime uždarukontūru L: [pic] (3.44)Skerspjūvio plotą pažymėję S, (3.44) lygybėje vietoj j įrašykime I/S ir Iiškelkime prieš integralo ženklą, nes visame integravimo kelyje I vertė tapati. Be to, (3.44) dešinės pusės pirmasis integralas lygus nuliui, neselektrostatinis laukas yra potencialinis, o antrasis integralas sutinkamaisu (3.41) lygus ε. Taigi (3.44) galime užrašyti taip: [pic] (3.45)(3.45) lygybėje integralas reiškia uždaros grandinės suminę varžą(žr.(3.29)). Galime tarti, jog uždara grandinė susideda iš dviejų dalių:išorinės ir vidinės. Išorinę grandinę sudaro prie srovės šaltinio gnybtųprijungtų laidininkų varža, o vidinę – tarp tų gnybtų šaltinio viduje
esančių medžiagų varža. Išorinės grandinės varžą pažymėję R, o vidinėsgrandinės r, (3.45) lygybę užrašysime taip:[pic], (3.46)arba
[pic] (3.47) (3.46) arba (3.47) išreiškia Omo dėsnį uždarajai elektros grandinei.Atsižvelgę į Omo dėsnį grandinės daliai (žr. (3.23)), (3.46) galimeužrašyti taip: [pic] (3.48)Čia U yra šaltinio gnybtų įtampa, o Ir dar vadinama įtampos kritimuvidinėje varžoje. Iš (3.48) matyti, jog
[pic] (3.49)t. y. kai srovės šaltinis tiekia srovę išorinei grandinei, jo gnybtų įtampaesti mažesnė už jo ev dydžiu Ir. Tačiau jei I’0, tada U’ε. Todėl šaltinioelektrovarą galima ir taip nusakyti: elektrovara lygi šaltinio gnybtųįtampai, kai šaltiniu srovė neteka. Tuo paprastai naudojamasi norintpraktiškai išmatuoti srovės šaltinio ev.
[pic] 7. Srovės darbas ir galia. Džaulio dėsnis ir jo diferencialinė išraiška
Panagrinėkime grandinės dalį. Tarkime, kad tos dalies įtampa U, o tagrandine tekančios nuolatinės srovės stipris I. Jei per laiką t pratekakrūvis q, elektrinis laukas atlieka darbą [pic]Kadangi tekant nuolatinei pastoviai srovei [pic] tai srovės atliktas darbas [pic] (3.50) Elektros srovės darbas grandinės dalyje lygus įtampos, srovės stiprio irlaiko, per kurį atliekamas darbas, sandaugai. Pagal energijos tvermės dėsnį šis darbas turi būti lygus nagrinėjamosgrandinės dalies energijos pokyčiui. Jeigu grandinės dalyje judančiųlaidininkų nėra ir nevyksta jokie cheminiai kitimai, tai padidėja josvidinė energija, t. y. padidėja temperatūra. Šiuo atveju visas srovėsdarbas virsta šiluma: Q’A. Temperatūros didėjimo mechanizmas toks:krūvininkai (pavyzdžiui, metalo laisvieji elektronai), veikiami elektriniolauko jėgos, įgyja papildomą kinetinę energiją, kurią paskui atiduodagardelei susidurdami su jos mazguose esančiais jonais.
Pasinaudodami Omo dėsniu grandinės daliai (3.23), šilumos kiekį,išsiskyrusį per laiką t, galime išreikšti ir taip:[pic] (3.51) (3.51) formulė išreiškia Džaulio (J. P. Joule) dėsnį, kurį žodžiaisgalima taip suformuluoti: šilumos kiekis, išsiskiriantis laidininke, kaijuo teka srovė, lygus srovės stiprio kvadrato, laidininko varžos ir laikosandaugai. Pagal galios P apibrėžtį P’A/t. Taigi elektros srovės galia
[pic] (3.52) Tuo atveju, kai visas srovės darbas virsta šiluma, galią galimaišreikšti ir taip:
[pic] (3.53) Atkreipsime dėmesį, kad (3.50) ir (3.52) formules galima taikyti ir tuoatveju, kai visa elektros energija ar jos dalis virsta ne tik šiluma, betir mechanine, chemine ar kitokios formos energija, o (3.51) ir (3.53) – tikkai visa energija virsta šiluma. Panagrinėkime energijos virsmus uždarojoje grandinėje, turinčiojepašalinę elektrovarą ε. (3.48) formulės, išreiškiančios Omo dėsnį uždarajaigrandinei, abi puses padauginkime iš srovės stiprio I: [pic] (3.54)Čia εI yra pašalinių jėgų išvystoma galia. Matome, kad ji lygi išorinėsgrandinės (kuri nebūtinai visa virsta šiluma) ir vidinės grandinėsšiluminių galių sumai. Taigi grandine tekant srovei pašalinių jėgųatliekamas darbas virsta kitų rūšių energija, o elektrinis laukas tikpadeda tą energiją perkelti iš šaltinio į kitas grandinės dalis. Pagal (3.52) ar (3.53) galima apskaičiuoti tik visame laidininke išsiskiriančią šiluminę galią. Jei laidininkas nevienalytis (pavyzdžiui,nevienodas jo skerspjūvio plotas ar nevienoda savitoji varža), taiišsiskirianti šiluma esti nevienodai pasiskirsčiusi jo tūryje. Tačiau galima rasti būdą tam tikrame laidininko taške išsiskiriančiaišiluminei galiai apskaičiuoti.|[pic] |
Bet kokios formos laidininke mintyse išskirkime be galo mažą joelementą, kurio ilgis dl nukreiptas lygiagrečiai su srovės tankio
vektoriumi [pic], o skerspjūvio plotas dS – statmenai jam (58 pav.). Tokioelemento varža [pic]o juo tekančios srovės stipris [pic]Jame išsiskirianti šiluminė galia pagal (3.53) [pic] (3.55)Čia dV’dl⋅dS – laidininko elemento tūris, o pagal (3.20) j’σE. Fizikinis dydis [pic] (3.56)vadinamas elektros srovės šiluminės galios tūriniu tankiu. Tai tūriovienete išsiskirianti šiluminė galia. Šiluminės galios tūrinio tankio w SIvienetas yra 1 W/m3. (3.56) formulė vadinama Džaulio dėsnio diferencialine(vietine, lokalia) forma. Pagal (3.56) apskaičiuojama šiluminė galia,išsiskirianti tam tikrame laidininko taške. Visame laidininke išsiskiriantišiluminė galia gali būti apskaičiuota integruojant:[pic] (3.57)
[pic] 8. Tiesinės grandinės. Kirchhofo taisyklės
Tiesine vadinama tokia grandinė, kurioje srovės stipris tiesiškaipriklauso nuo įtampos. Ta priklausomybė aprašoma (3.22) arba (3.23)išraiškomis. Taigi grandinė yra tiesinė, jei jos laidumas G arba varža Ryra pastovūs, nepriklausantys nuo įtampos dydžiai. O jei varža priklausonuo įtampos, tokia grandinė yra netiesinė. Visiškai tiesinių grandinių nėra, nes varža priklauso nuo temperatūros,o pastaroji turi kisti keičiantis įtampai, nes išsiskiria Džaulio šiluma.Tačiau esant mažoms įtampoms laidininkai praktiškai neįšyla, todėl jo varžaišlieka pastovi ir grandinė gali būti laikoma tiesine. Ne visais atvejais sudėtingose grandinėse tekančių srovių stipriusgalima apskaičiuoti remiantis vien tik Omo dėsniu ir pasinaudojantnuoseklaus, lygiagretaus bei mišraus varžų jungimo formulėmis (žr. (3.26),(3.28)). Praktikoje dažnai pasitaiko šakotinės grandinės, kuriose, be to,gali būti keletas įvairiai sujungtų srovės šaltinių. Šakotinės grandinėspavyzdys parodytas 59 pav.|[pic] |
Grandinės taškas, į kurį sueina trys ar daugiau laidų, vadinamas mazgu.59 pav. schemoje yra 4 mazgai. Jie pažymėti A, B, C, D. Grandinės dalis,
jungianti du gretimus mazgus, vadinama šaka. Minėtoje schemoje yra 6 šakos:AB, AC, AD, BC, CD ir BεD. Bet kuri uždara grandinė vadinama kontūru, pvz.,BACB, BCDεB, BACDεB ir t. t. Kontūras, kurio viduje nėra šakų, vadinamaselementariuoju kontūru. 59 pav. schemoje yra 3 elementarieji kontūrai:BACB, ADCA ir BCDεB. Kiti kontūrai, pvz., BADCB, BACDεB, BADεB nėraelementarieji. Tarkime, kad grandinės šakomis tekančių srovių stipriai yra I1, I2, I3,. . ., I6, o jų kryptys tokios, kaip pavaizduota rodyklėmis. Pirmoji Kirchhofo (G. Kirchhoff) taisyklė teigia, kad į mazgą sutekančiųsrovių stiprių algebrinė suma lygi nuliui. Sumuojant sroves, į mazgąįtekančias ir ištekančias sroves reikia rašyti su priešingais ženklais,pvz., įtekančias su “+” ženklu, o ištekančias – su “−”. Žinoma, galimadaryti ir atvirkščiai. Pavyzdžiui, 59 pav. mazgui A užrašysime: I3−I4−I5’0.Apibendrintai pirmoji Kirchhofo taisyklė užrašoma taip:[pic] (3.58) Antroji Kirchhofo taisyklė teigia, kad bet kokio uždaro kontūro šakomistekančių srovių stiprių ir varžų sandaugų algebrinė suma lygi tame kontūreesančių šaltinių elektrovarų algebrinei sumai:
[pic] (3.59) Norint užrašyti lygtį pagal antrąją Kirchhofo taisyklę, reikia laisvaipasirinkti kontūro apėjimo kryptį (pagal arba prieš laikrodžio rodyklę).Jei srovės šakoje kryptis sutampa su pasirinkta apėjimo kryptimi, taisandauga IkRk rašoma su “+” ženklu, jei ne – su “−” ženklu. Paskui darkartą ta pačia kryptimi apeinamas tas kontūras ir užrašoma (3.59) lygtiesdešinė pusė – ev suma. Šiuo atveju būtina atsiminti: jei per šaltinį tenkaeiti potencialo didėjimo kryptimi (t. y. iš “−” į “+”), jo ev imama su “+”ženklu, o jei potencialo mažėjimo kryptimi (iš “+” į “−”), jo ev rašoma su“−” ženklu. Kad lengviau tą įsimintume, pailiustruosime piešiniais 60 pav.
kuriame lankelis su rodykle rodo ėjimo per šaltinį kryptį.|[pic] |Pavyzdžiui, 59 pav. kontūrui BADεB, pasirinkę apėjimo kryptį pagallaikrodžio rodyklę, užrašysime: I3R3+I4R4+Ir’ε. Pastebėsime, kad pirmoji Kirchhofo taisyklė susijusi su srovės pastovumosąlyga. Jei į mazgą sutekančių srovių algebrinė suma nebūtų lygi nuliui,tai laikui einant tame mazge kauptųsi teigiamas ar neigiamas krūvis, taigiir elektrinio lauko stipris, o kartu ir srovės tankis bei stipris irgikistų, t. y. srovė nebūtų pastovi nuolatinė. Antroji Kirchhofo taisyklėsusijusi su elektrostatinio lauko potencialumu ir pašalinių elektrovarųsamprata. Kirchhofo taisyklės įgalina apskaičiuoti srovės stiprius bet kokiosudėtingumo nuolatinės srovės grandinėje, kai žinomos visos varžos(išorinės ir vidinės) ir visos ev. Jei visos grandinės varžos yra pastovios(t. y. nepriklauso nuo įtampos), tinkamai užrašius lygtis pagal pirmąją irantrąją Kirchhofo taisykles, gaunama tiesinių lygčių sistema. Kad tasistema turėtų vienintelį sprendinį, joje neturi būti tiesiškai priklausomųlygčių. Tam reikia laikytis šių reikalavimų: 1) jei grandinėje yra iš viso n mazgų, sudarant lygčių sistemą reikiarašyti tik n−1 lygtį pagal pirmąją Kirchhofo taisyklę; 2) pagal antrąją Kirchhofo taisyklę rašyti tiek lygčių, kiek grandinėjeyra elementariųjų kontūrų. Laikantis šių dviejų reikalavimų, sistemą sudarys tiek lygčių, kiek šakų(tuo pačiu ir skirtingo stiprio srovių) yra grandinėje. Išsprendę ją,nustatysime visų srovių stiprius. Pastabos. a) Sudėtingoje grandinėje, ypač jei joje yra keletas įvairiaisujungtų srovės šaltinių, srovės tekėjimo kryptį ne visada galima iš ankstonumatyti. Tačiau srovių kryptis prieš sudarant lygčių sistemą galimapasirinkti laisvai. Jei išsprendus lygčių sistemą kurių nors srovių stiprių
vertės pasirodys esančios neigiamos, tai reikš, kad tos srovės iš tikrųjųteka priešingomis kryptimis, negu buvo pasirinkta, o jų moduliai bus lygūstų srovių stipriams. b) Teiginys, kad pagal antrąją Kirchhofo taisyklę galima rašyti tieklygčių, kiek yra elementariųjų kontūrų, teisingas tik tuo atveju, jeigrandinės schema yra atvaizduota plokštumoje. Tūrinės schemos atveju lygčiųgali būti mažiau, negu yra elementariųjų kontūrų (žr. 1 pavyzdį). Kaip pavyzdį užrašysime Kirchhofo lygčių sistemą grandinei, kuriosschema pavaizduota 61 pav. Joje 4 mazgai ir 3 elementarieji kontūrai, tadlygčių sistemą sudarys 3 lygtys pagal pirmąją ir 3 pagal antrąją Kirchhofotaisykles. Jei srovių kryptys ir kontūrų apėjimų kryptys pasirinktostokios, kaip parodyta rodyklėmis 61 pav., lygčių sistema bus tokia:|[pic] |[pic] Pastebėsime, kad pagal Omo dėsnį grandinės daliai IkRk’Uk, tad antrąjąKirchhofo taisyklę galima užrašyti ir taip: [pic] (3.60) (3.60) formule tenka naudotis, jei kurioje nors grandinės šakoje yrakondensatorių arba netiesinių rezistorių (žr. 2 ir 3 pavyzdžius). 1 pavyzdys. Tetraedro trijose briaunose įjungti srovės šaltiniai ε1’2 V,ε2’4 V ir ε3’6 V, o kitose trijose – vienodi R’10 Ω varžos rezistoriai (61pav.). Kokio stiprio srovės teka šaltiniais? Į šaltinių vidines varžasneatsižvelkite.
Sprendimas|[pic] |
62 pav. grandinėje matome 4 mazgus ir 4 elementariuosius kontūrus.Tačiau nepriklausomi tik 3 kontūrai, nes parašius lygtis pagal antrąjąKirchhofo taisyklę, tarkime, trims pasviriesiems kontūrams jau buspanaudotos visos grandinės šakos, ir lygtis horizontaliajam kontūrui suvaržomis R būtų tiesinė ankstesnių lygčių kombinacija. Taip atsitiko todėl,kad 62 pav. grandinės schema tūrinė. 63 pav. pavaizduota tos pačiosgrandinės lygiavertė schema plokštumoje, kurioje matome 3 elementariuosiuskontūrus. Taigi šioje grandinėje yra 4 mazgai ir 3 elementarieji kontūrai.
Pasirinkę srovių kryptis ir kontūrų apėjimo kryptis, tarkime, tokias, kaippavaizduota 63 pav. užrašome tokią 6 lygčių sistemą: [pic]Išsprendę ją, apskaičiuojame šaltiniais tekančių srovių stiprius: [pic] [pic] [pic]2 pavyzdys. Grandinėje, kurios schema pavaizduota 64 pav., ε’9 V, ε1’18V, ε0’27 V, R’270 Ω, R1’90 Ω, R0’180 Ω, C’1 μF. Pereinamieji procesaipasibaigę. Kokia yra kondensatoriaus įtampa? Į šaltinių vidines varžasneatsižvelkite.
Sprendimas|[pic] |
Grandinėje yra 4 mazgai ir 3 elementarieji kontūrai. Pasirinkę sroviųkryptis, kontūrų apėjimų kryptis ir kondensatoriaus įtampos U poliškumą,kaip pažymėta 64 pav. ir žinodami, kad nuolatinė pastovioji srovė perkondensatorių neteka, sudarome tokią lygčių sistemą: [pic]Išsprendę ją, apskaičiuojame, kad [pic] Neigiamas sprendinys rodo, kad kondensatoriaus įtampos poliškumas yrapriešingas, negu buvo pasirinkta užrašant lygtis, o jo įtampa lygi 1,8 V.
3 pavyzdys. Grandinę sudaro du elementai, kurių elektrovaros ε1’2 V, ε2’6 V, du rezistoriai, kurių varžos R1’6 Ω, R2’18 Ω, ir netiesinisrezistorius, kurio voltamperinė charakteristika aprašoma lygtimi [pic](žr.65 pav.). Apskaičiuokite srovių I, I1 ir I2 stiprius.
Sprendimas|[pic] |
Netiesinio rezistoriaus įtampą pažymėkime U, o srovės stiprį jame I.Tris lygtis užrašę remdamiesi Kirchhofo taisyklėmis ir dar prirašęvoltamperinės charakteristikos lygtį, gauname tokią lygčių sistemą: [pic]Išsprendę ją, apskaičiuojame, kad U’1,40 V, I’0,36 A, I1’0,10 A, I2’0,26A. Pastebėsime, kad esant grandinėje netiesinių rezistorių (diodų,tranzistorių, varistorių, termorezistorių ir pan.), Kirchhofo taisyklėsirgi galioja, tačiau gaunama netiesinių lygčių sistema, kuri gali turėtinebūtinai vienintelį sprendinį.