Matematika ekonometrikoje

TURINYS

ĮVADAS 3
1. EKONOMETRIKA IR MATEMATIKA 4
1.1. Istorija 5
1.2. Ekonometriniai modeliai 6
1.3. Ekonominių matematinių modelių klasifikacija 7
2. TIPINĖS EKONOMIKOS FUNKCIJOS 9
2.1. Kaštų funkcija 9
2.2. Gamybos funkcija 10
3. REGRESIJOS MODELIAI 11
3.1. Regresijos modelio samprata 11
3.2. Vienmačių regresijos modelių sudarymas 12
3.3. Vienmatis tiesinės regresijos modelis 12
3.4. Vienmatis hiperbolinės regresijos modelis 13
3.5. Daugiamačio regresijos modelio samprata 14
4. PROGNOZAVIMAS 15
4.1. Prognozavimo uždavinio samprata 15
4.2. Prognozės modelių tikslumo nustatymas 16
4.3. Stacionarių rodiklių prognozavimas 16
4.3.1. Slankstusis vidurkis 17
4.3.2. Eksponentinis išlyginimas 17
4.4. Nestacionarių rodiklių prognozavimas 18
4.4.1. Tiesinio trendo modeliai 18
4.4.2. Sezoninio trendo modeliai 19
4.5. Ilgalaikė prognozė 19
4.5.1. Tiesinės regresijos modeliai 19
4.5.2. Transformuoti tiesinės regresijos modeliai 20
IŠVADOS 21
LITERATŪRA 22
PRIEDAS 23ĮVADAS
Ekonometrika gali būti apibrėžta kaip mokslas, kuriame ekonomikos teorijos, matematikos priemonės ir statistikos išvados taikomos ekoominių reiškinių analizei. Matematinės ekonomikos pagrindinis interesas yra ekonomikos teoriją išreikšti matematine forma arba lygtimis ( modeliu ), nereikalaujant išmatuoti ar emmpiriškai patikrinti teoriją.
Terminas ekonometrika reiškia ekonomikos matavimą. Taip pat galėtume apibrėžti ir matematiką, t.y. nuolatinių stebinių matavimą, išskyrimą ir analizavimą. Todėl ekonometrika, galima teigti, yra neatsiejama matematikos dalis. Matematiniai veiksmai, dėsniai tarsi apiformina visą ekonometriką.
Mano darbo tema “Matematika ekonometrikoje” turėtų apibrėžti visą ekonometrikos dalyką. Todėl čia stengsiuosi bent minimaliai apibrėžti ekonometrikos dėsningumus bei išskirti svarbiausius požymius.
Pirmajame savo darbo skyriuje pateikiu bendras teorines ( šiek tiek ir istorinių) žinias, susijusias su matematika ekonometrikoje, ekonometrikos modelių klasifikaciją. Antrajame skyriuje nagrinėju gamybos irr kaštų funkcijas, kurios yra pagrindinės ekonometrikos moksle. Čia nagrinėju funkcijas todėl, kad funkcija yra neatsiejama matematikos dalis. Trečiajame skyriuje supažindinu su plačiausiai ekonometrikoje naudojamu modeliu – regresijos modeliu. Detaliau išnagrinėjamos vienmačio ir daugiamačio regresijos modelio savybės, pateikiamos pagrindinės formulės. Paskutinysis sk

kyrius – prognozavimas. Tai neatsiejama tiek matematikos, tiek statistikos, tiek ekonometrikos dalis, kuri bus ir yra reikalinga ekonominiuose santykiuose.1. EKONOMETRIKA IR MATEMATIKA
Matematikos mokslas jau nuo seniausių laikų buvo laikomas pačiu “protingiausiu” mokslu, kuriuom buvo paremti įvairūs dėsniai, reiškiniai ir pan. Šiuo metu niekur negalime atskirti matematikos, ja vis plačiau remiamasi įvairiuose mokslo šakose – fizikoje, biologijoje, medicinoje, socialiniuose moksluose, ekonomikoje ir t.t. Beje, pastarosios procesų analizėje pasiekta ypatingai gerų rezultatų. Pasak E. Stankaus, įvairialypiai ekonomikos uždaviniai padėjo susiformuoti netgi atskiroms matematikos šakoms, tokioms kaip matematinis programavimas, lošimų teorija, masinio aptarnavimo teorija, aktuarijų ( draudimo) matematika ir pan.
Ankstesniuose tyrimuose matematika buvo naudojama tik stebėjimų duomenims sisteminti bei juos apdoroti, tačiau sukūrus šiuolaikinę skaičiavimo techniką matematika ekonomikoje ypatinai tapo aktuali.
Dėl glaudaus matematikos bei ekkonomikos ryšio XX amžiaus pradžioje susiformavo ekonometrija. Ekonometrija apibrėžiama kaip ekonominių procesų tyrimo kryptis, apimanti ekonomikos teoriją, matematinę statistiką bei klasikinę matematiką. Pastarajai dar priskiriama matematinė analizė, aibių teorija, grafų teorija ir t.t. Beabejo, sudėtingesniems praktiniams veiksmams buvo sukurta specialios matematikos, kaip mokslo šakos. Tai matematinis programavimas, lošimų teorija, masinio aptarnavimo sistemos, aktuarijų teorija. Reikėtų pabrėžti, kad šiuo metu ne tiek svarbu kurti iš principo naujus metodus, kiek būtina efektyviai naudoti esamuosius.
Ekonometrika gali būti apibrėžta kaip mokslas, kuriame ekonomikos teorijos, ma
atematikos priemonės ir statistikos išvados taikomos ekoominių reiškinių analizei. Matematinės ekonomikos pagrindinis interesas yra ekonomikos teoriją išreikšti matematine forma arba lygtimis ( modeliu ), nereikalaujant išmatuoti ar empiriškai patikrinti teoriją.
Remiantis kitais šaltiniais, ekonometrika vadinamas mokslas, matematiniais ir statistiniais metodais ir modeliais tiriantis kiekybinius ekonominių objektų ir procesų ryšius. Vadinasi, visa ekonominiuose tyrimuose vartojama matematika gali būti vadinama ekonometrikos sudėtine dalimi. Tradiciškai ekonometrikos tyrimo sritis yra stochastiniai ekonomikos objektai (t.y. savo esme atsitiktiniai) ekonominiai procesai, kuriuos taip pat galime vadinti ekonometrikos mokslo sudėtine dalimi. Čia sutelkiamas dėmesys į ekonominių objektų ir procesų matematinių modelių sudarymą, matematinių modelių tyrimą ir sprendimų priėmimą, kai tiriamą objektą aprašo du ir daugiau atsitiktinių dydžių ( požymių ). Šiuos dydžius papračiausiai galėtume įvardinti kaip ekonominio vyksmo priežastimis, pvz. išlaidos ekonomikai. Kiti požymiai traktuojami kaip išvados, pvz. metinės pajamos. Matematiniu tiriamo objekto modeliu suprantame formulę, kuria remiantis galime apskaičiuoti pasėkmę.
Matematikos ekonomikos pagrindinis interesas yra ekonomikos teorijų išreiškimas matematine forma ar modeliu, nereikalaujant empiriškai patikrinti matematikos tam tikro ekonomikos dėsnio hiperbolinės ar kito tipo.
Tarpusavio priklausomybės dažniausiai išreiškiamos matematinėmis formulėmis.
Paprasčiausias pavyzdys:

(1.1.);
čia:
D – darbo imlumas;
P – apdorojamosios produkcijos kiekis;
N – staklių našumas;
Z – aptarnavimo zona;

– naudingo darbo laiko koefcientas.1.1. Istorija
Trumpai apžvelgiant ekonometrikos istoriją, vėl negalima pamiršti matematikos. Nes terminas “ekonometrika” ( ekonometrija ) pirmą kartą buvo pavartotas 1926 m. no
orvegų ekonomisto bei matematiko R.Frišo ( Ragnar Frisch, 1895-1973 ). Darbų, kuriuose būtų galima rasti matematikos taikymo galimybes yra gana daug. Galima paminėti anglų ekonomistą V.Peti ( William Petty, 1623-1687 ), kuris savo knygoje “Plitinė aritmetika” siūlė pereiti prie griežtesnio minčių reiškimo skaičiais, svoriais, matais. Taip pat labai geras pavyzdys prancūzų mokslininko F.Kenė (Francois Quesnay, 1694-1774), kuris 1758 m. paskelbė darbą “Ekonominė lentelė”, išnagrinėtos pagrindinės reprodukcijos proceso stadijos. Be to, šis žmogus buvo garsus tuom, kad sukūrė pirmąjį pasaulyje ūkio modelį. Būtų klaida nepaminėti ir A.Kurno ( Antoine Augustin Cournot, 1801-1877 ), kurio darbas “ Turto teorijos matematinių principų tyrimas” suformavo matematikos mokyklą ekonomikoje. 1970 metų ekonomikos Nobelio premijos laureatas P.Samuelsonas taip vertina matematiką: “ Matematika būtina ekonomikos mokslui atnaujinti. Matematikos kalba – vienintelė galima kalba pagrindiniams ekonomikos teorijos teiginiams išdėstyti.”1.2.Ekonometriniai modeliai
Modelio sąvoka yra daugiareikšmė. Ūkinių reiškinių modelis – sudėtingas ūkinės tikrovės pakaitalas. Dažnai kaip pakaitalas imama matematinių simbolių sistema, kuri formalizuoja konkrečią ūkinę tikrovę. Taigi ekonominių procesų matematinis modelis – tai komplikuota lygčių ir (ar) nelygibių sistema., vaizduojanti konkrečią, realią ūkinę situaciją. Ekonomikoje ūkiniai ženklai – tai dėklai, į kuriuos įdėti žodžiai, apibūdinantys konkrečią situaciją. Modeliuojant bet kurio agregacijos lygio rodiklius, tie žodžiai yra patys rodikliai, jų ekonominis turinys.

Paprastai ekonominių tyrimų matematinis simbolis nėra abstraktus, bevardis dydis, koks nors x, y, z. Jis yra konkretus proceso ar re
eiškinio kiekybinis matas. Jei matemaitnių simnbolių sistema sudaryta taip, kad ji pildo tik matematikos mokslo reikalavimus ir nagrinėjama visiškai neatsižvelgiant į tiriamų ekonominių procesų ypatybes, turime matematikos mokslo modelius, tiesiogiai nieko nesakančius apie ūkinę situaciją. Norint, kad tokie modeliai būtų ekonomikos mokslo tyrimo objektu , reikia rasti jų realių ūkinių procesų prototipus, atlikti tokių modelių ekonominę interpretaciją. Tai būtų jau ėjimas nuo matematikos, jos aksiominių teorijų į ekonomiką. Tokia tyrimų kryptis jau priklauso matematinės ekonomikos sričiai.
Ekonomistams, ypač ūkinės praktikos požiūriu, įdomesnis kitas būdas : reaių ūkinių procesų matematinis modeliavimas ekonomikos moksle. Koks bebūtų taikomas matematinis aparatas ekonominių dydžių priklausomybei ir dinamikai aprašyti , jis negali išstumti ekonominio turinio.
Ekonomikoje plačiai naudojami ekonometriniai modeliai. Jais nustatomi tiriamų ekonominių procesų dėsningumai, apibūdinama ūkinių reiškinių priklausomybė, prognozuojami ekonominiai procesai. Sudarant tos klasės modelius plačiausiai naudojama matematinė statistika ir matricų algebra.
Ekonometrinių modelių tikslas – parodyti ekonominio rodiklio susiformavimo mechanizmą, matematiškai aprašyti rezultatinių rodiklių priklausomybęnuo jo veiksnių; parodyti pačių veiksnių sąveiką.
Ekonometriniai modeliai – tokios analitinės išraiškos, kuriose viena lygtimi ar jų sistema užfiksuojama esminiai ūkinių procesų, juos apibūdinančių rodiklių ryšiai ir dėsningumai.
Ekonometriniai modeliai priklauso plačiai ekonominių statistinių modelių klasei, yra dalis, orientuojanti tirti ekonominių procesų priežastinius ryšius, standartinių rodiklių sąveiką matematinės statistikos metodais. Tokių ekonominių statistinių modelių, kaip įvairių ūkinių procesų struktūrai tirti taikomų statistinių modelių, kaip įvairių ūkinių procesų struktūrai tirti taikomų teorinių skirstinio dėsnių ( normalinio, lognormalinio ir pan.), negalima laikyti ekonometriniais modeliais. Išsamus matricinių (balansinių) modelių skyrius sudaro jau atskirą ekonometrinių modelių grupę.
Ne visai tikslinga suprantanti ekonometrinius ir regresinius modelius. Regresija- pagrindinė matematinės statistikos sąvoka. Regresijos modeliai – tai matematinės statistikos nagrinėjamos teorinės sistemos. Todėl toliau savo darbe nagrinėsiu ne regresijos sąvoka, o regresijos modelį, jo požymius, formas.
Ekonometrinių modelių funkcijos:
1. Jais nustatomi ekoominių procesų kiekybiniai dėsningumai.
2. Apskaičiuojami įvairūs techniniai ekonominiai normatyvai, kurie yra viso tolesnio planinio darbo pagrindas.
3. Prognozuojami reiškiniai.
4. Plačiai naudojami labiausiai pagrįstiems sprendimams priimti ekonominės politikos srityje.1.3. Ekonominių matematinių modelių klasifikacija
Ekonominiai matematiniai modeliai klasifikuojami pagal daug požymių, todėl juos į vieną bendrą schemą sudėti neįmanoma. Visi ekonominiai matematiniai modeliai skirstomi pagal atsitiktinumo nustatymo pobūdį. Būna: determinuoti ir stochastiniai. Determinuoti modeliai – modeliai, kur kintamieji, nusakantys modelio funkcionavimą laikomi įgyjančiais tam tikras fiksuotas reikšmes, t. y. determinuotais. Stochastiniai modeliai būna tada, kai modelio parametrai esti tikimybinės kilmės ir juos nusako atsitiktiniai dydžiai.
Taip pat visus modelius galime suskirstyti pagal laiko veiksnį. Tokie būtų: statiniai ir dinaminiai. Statiniai uždaviniai – tai dažniausiai praktikoje sprendžiami uždaviniai. Juose tiek išėjimo, tiek įėjimo kintamieji laike nekinta ir yra fiksuoti tam tikram laiko tarpui. O dinaminiuose modeliuose kintamieji kinta laike.
Dažniausiai visuose vadovėliuose ekonominiai matematiniai modeliai skirstomi į 5 grupes. Ši klasifikacija pateikiama 1 lentelėje.

1 lentelė
Ekonominiai-matematiniai modeliai

Modelis Pastabos
1 Funkciniai modeliai Taikomi tada, kai nagrinėjamos tiesioginės priklausomybės tarp priklausomų ir nepriklausomų kintamųjų
2 Balansiniai modeliai Aprašomi lygčių sistemos pagalba
3 Optimizaciniai modeliai Jų tikslas nustatyti maksimalią ar minimalią efektyvumo kriterijaus reikšmę
4 Imitaciniai modeliai
5 Kompleksiniai modeliai Sudaro išvardintųjų modelių rinkiniai

Analizuojant ekonominius matematinius modelius reikia nepamiršti pasirinkti sprendimo metodą, kurie skirstomi į analitinius, skaitmeninius ir ekspermentinius. Apie juos pakalbėsime daugiau.
Analitiniai sprendimo metodai. Taikant juos vienkriterinių determinuotų modelių atžvilgiu, apribojimai turi būti išreikšti griežtomis lygybėmis.
Skaitmeniniai sprendimo metodai. Jis turi būti suformuluotas kaip lygčių sistema, tačiau jau šiuo atveju apribojimai gali būti suformuoti ir kaip nelygybės. Sprendžiant nagrinėjamu metodu, sprendinys gaunamas atliekant skaičiavimų ciklą pagal sudarytą algoritmą, gautieji rezultatai lyginami su anksčiau gautaisiais, tokiu būdu parenkant geriausią sprendinį. Pastaba: šiuo atveju negalima teigti, kad nustatytas optimumas.
Ekspermentiniai sprendimo metodai. Jei matematinis modelis yra suformuotas taip, kad negalima taikyti nei analitinių, nei skaitmeninių metodų, tada yra taikomas ekspermentinis metodas. Naudojant šį metodą, efektyvumo kriterijus bei apribojimai gali būti sudaryti algoritmo forma.2. TIPINĖS EKONOMIKOS FUNKCIJOS
Dar pradinėse klasėse sužinojome kas yra funkcija, ką parodo ir kokia reikšmę turi. Todėl nenuostabu, kad funkcijos sąvoka atlydėjo mus nuo matematikos pradinių žinių iki aukštosios mokyklos. Tiriant paklausos dėsnį matematikas tikriausiai pasiūlytų tiesinį šio dėsnio modelį ar priklausomybę y=F(x). Funkcijos, kaip matematikoje, taip ir ekonometrikoje naudojamos tam tikram ryšiui apibrėžti. Čia išskirsime dvi funkcijų rūšis – kaštų ir gamybos funkcijas.

2. 1.Kaštų funkcija

Norint efektyviai naudoti turimus išteklius, gaminant produkciją ar teikiant paslaugas, reikia minimizuoti kaštus, o tai įmanoma atlikti, tik žinant kaštų funkciją. Kaštų funkcija apibrėžiama kaip kaštų (C) priklausomybė nuo gamybos apimties (Q), t.y.

(2.1.);
Realiame pasaulyje kaštai dažnai priklauso ne tik nuo gamybos apimties, bet ir nuo šią apimtį apibūdinančių papildomų įėjimo kintamųjų , kurių pavyzdžių gali būti šių kintamųjų vienetų kainos. Į tai atsižvelgus, kaštų funkciją galima užrašyti taip:

(2.2.);
Vertinant šios funkcijos parametrus, nevalia užmiršti, kad esama metodologinio skirtumo tarp trumpo ir ilgo laikotarpio kaštų funkcijų.
Trumpo laikotarpio atveju įvertinimo rezultatai bus panaudoti kainodaros sprendimuose, nustatant ribinius kaštus. Įvertinimams nustatyti geriausiai tinka laiko eilutės, surinkus poros metų kiekvieno mėnesio įmonės duomenis. Renkant šiuos duomenis, laikoma, kad įmonė nekeičia savo kapitalo.
Ilgu laikotarpiu kaštai nusako įmonės planavimo horizontą ir naudojami investicijų sprendimams. Šių kaštų įvertinimui imami momentinių stebėjimų duomenys, kuriuose tam tikrais laiko momentais įvertinamos įvairios to paties profilio skirtingų gamybos apimčių įmonės. Jei įmonės išsidėsčiusios geografiškai plačiai, gali būti kainų skirtumų. Šio efekto eliminavimui naudoti fiksuotus kainų indeksus nepatogu. Praktiškai ilgo laikotarpio funkcijoje įvertinamas darbo (W ) ir kapitalo (R ) kainos, ir tada bendroji kaštų funkcijos išraiška yra ši:

(2.3.);2.2. Gamybos funkcija
Kiekvienos įmonės veiklos efektyvumą nusako jos išėjimas – gamybos apimtis Q ir jos įėjimo kintamieji, kuriais dažniausiai yra kapitalas (K ) ir darbas (L ). Be to, reikia įvertinti tai, kad materialiniai ištekliai paverčiami produkcija ar paslaugomis, naudojant tam tikrą fiksuotą technologiją (T ). Kiekvieną šių įėjimo kintamųjų kombinaciją atitinka tam tikras fiksuotas gamybos apimties lygis. Šią išėjimo – įėjimo kintamųjų priklausomybę kaip tik ir nusako gamybos funkcija, kuri apibrėžiama taip:

(2.4.);
Vertinant gamybos funkciją, svarbus yra duomenų surinkimo etapas. Jei duomenys gali būti renkami vienoje įmonėje tam tikru fiksuotu laiko intervalu, tai galima naudoti laiko eilučių metodą. Šiuo atveju būtina atsižvelgti į infliaciją, technologijos pokyčius ir ne visuomet efektyviausią gamybą, esant fiksuotai įėjimo kintamųjų kombinacijai.
Momentinių stebėjimų metodu, duomenys surenkami tuo pačiu laikotarpiu skirtingose panašiose įmonėse. Tada, išvengiama infliacijos poveikio, tačiau gali išryškėti kainų skirtumas dėl geografinio išsidėstymo; išvengiama technologijos kitimo, tačiau atsiranda prielaida, kad stebimos įmonės yra ne tos pačios technologinės kokybės.3. REGRESIJOS MODELIAI
3.1. Regresijos modelio samprata
Ekonomikos tyrimuose dažnai tenka nustatyti dviejų dydžių – Y (išėjimo kintamasis) ir X (įėjimo kintamasis) tarpusavio ryšį. Pastaruosius skirstome į:
• Funkcinius. Šio ryšio įėjimo kintamojo reikšmę atitinka griežtai apibrėžta, fiksuota išėjimo kintamojo reikšmė. Žinant įmonės pajamas ir išlaidas, visuomet galima apskaičiuoti pelną. Funkcinė priklausomybė užrašoma taip: Y=F(X ).
• Korealiacijos. Šio ryšio įėjimo kintamojo kitimas veikia tik išėjimo kintamojo vidutines reikšmes. Kai yra šis ryšys, esant tai pačiai įėjimo kintamojo reikšmei, išėjimo kintamojo reikšmės gali būti skirtingos. Taip yra todėl, kad išėjimo kintamojo dydį, be įėjimo kintamojo, sąlygoja daugybė kitų veiksnių, kurių įtakos negalima išvengti.
Priklausomai nuo įėjimo kintamojo X matiškumo, skiriami vienmačiai regresijos modeliai (kintamųjų skaičius lygus 1 ) ir daugiamačiai ( kintamųjų skaičiaus yra > 1 ).
Regresinės lygties kintamųjų ryšio stiprumą nusako ryšio glaudumo rodikliai:

• koreliacijos koeficientas r; Kai Y ir X sieja tiesinis ryšys, šio ryšio stiprumą nusako koreliacijos koeficientas, kuris nustatomas iš stebėjimo duomenų (xi, yi), pagal šią formulę:

(3.1.);
• koreliacijos santykis R; Jei tarp y ir x yra netiesinė koreliacija, ryšio stiprumą nusako koreliacijos santykis:

(3.2.);
• determinacijos koeficientas D. Ir tiesinės, ir netiesinės koreliacijos atveju apskaičiuojamas determinacijos koeficientas:

(3.3.);
Regresiniuose modeliuose gali būti skaičiuojamos trys dispersijos:
• liekamosios paklaidos parodo, kiek nukrypsta faktiški stebėjimo duomenys nuo apskaičiuotųjų pagal regresijos lygtį:

(3.4.);
• regresinės lygties Regresijos lygties dispersija, parodo nukrypimą nuo vidurkio:

(3.5.);
• įvertinimo ; įvertinimo dispersija įvertina suminį dispersijų poveikį:

(3.6.);3.2. Vienmačių regresijos modelių sudarymas
Regresijos modelių koeficientų įvertinimas paremtas mažiausių kvadratų metodu:

(3.7.);
Šios liekamosios paklaidos dispersijos minimizavimas leidžia geriausiai parinkti nežinomuosius regresijos lygties koeficientus.
Kiekvienas sudaromas regresijos modelis apima tris etapus:
 ryšio formos parinkimą;
 kiekybinį regresijos lygties koeficientų įvertinimą;
 ryšio glaudumo reikšmingumo nustatymą.
Regresijos lygties koeficientai nustatomi, naudojant normalinių lygčių sistemą. Kadangi koeficientų skaičius kintamas, kiekvienam modelio tipui ši sistema yra skirtinga.3.3. Vienmatis tiesinės regresijos modelis
Tiesinės regresijos modeliai dažniausiai naudojami, aprašant ekonominius procesus. Klasikinis pavyzdys yra paklausos kreivė. Didėjant prekės kainai, pardavimų apimtys mažėja.
Tiesinės regresijos modelio išraiška:

(3.8.);
čia b – tiesinės regresijos lygties polinkis; a – tiesinės regresijos lygties kirtimas.
Šioje lygtyje koeficientas gali įgyti bet kurias skaitines reikšmes. Šios lygties grafikai pavaizduoti 1 paveiksle

1 pav. Tiesinės regresijos modelio grafikai
Paveikslo grafikai vaizduoja bet kurias galimas x reikšmes. Ekonominiai kintamieji dažniausiai įgyja tik teigiamas reikšmes, tad ekonominėje analizėje tikslinga nagrinėti tik viršutinį dešinį kvadratą.
Bet kokios tiesės polinkis, t.y. santykis y pokyčio su x pokyčiu:

(3.9.);
Tiesinės regresijos lygtyje yra du nežinomi koeficientai – a ir b; jie nustatomi iš normalinių lygčių sistemos:

(3.10);
Išsprendę šią lygčių sistemą gauname:

(3.11);

(3.12);3.4. Vienmatis hiperbolinės regresijos modelis
Kaip atskiras kreivinės vienmatės regresijos lygties atvejis aptartinas hiperbolinės regresijos modelis. Šis koreliacijos ryšys pasižymi tuo, kad, tolygiai x didėjant, y mažėja greitėjančiai. Tipinis pavyzdys yra vidutinių gaminio išlaidų priklausomybė nuo pardavimo apimties.
Dažniausia hiperbolinės regresijos modelio išraiška:

(3.13);
Hiperbolinės lygties parametrai a ir b nustatomi pagal normalinių lygčių sistemą:

(3.14.);
Pagal pasirinktus duomenis išspręsime vienmatės hiperbolinės regresijos modelio uždavinį, kuris pateikiamas 1 priede.3.5. Daugiamačio regresijos modelio samprata
Vienmatės koreliacijos atveju nagrinėtas vieno išėjimo kintamojo – y ir vieno įėjimo kintamojo – x ryšys. Praktiškai pasitaiko daug uždavinių, kur reikia nustatyti y priklausomybę nuo p įėjimo kintamųjų (x1, x2 ,., xp ). Kuo įėjimo kintamųjų daugiau, tuo modelį sudaryti darosi sunkiau, atsiranda papildomų tyrimo aspektų.
Daugiamatį koreliacijos ryšį nusako šis modelis:

(3.15.);
Bendruoju atveju daugiamatės regresijos modelis užrašomas:

(3.16.);
Tiesinės koreliacijos koeficientai vadinami poriniais koreliacijos koeficientais, jiems būdingas simetriškumas, . Porinių koreliacijos koeficientų reikšmingumas tikrinamas analogiškai kaip ir vienmatės regresijos atveju, pagal Stjudento kriterijų
Reikšminiai poriniai koreliacijos koeficientai užrašomi į koreliacijos koeficientų matricą R, kuri yra kvadratinė ir simetrinė:

y x1 x2 . . . xp
y 1

. . .

x1

1
. . .

x2 1 . . .

.
.
. . . . .
.
.
xp 1
Daugiamatis koreliacijos koeficientas nustatomas taip:

(3.17);
čia – matricos R determinantas; R00 – r00-ojo elemento algebrinis papildymas.
Daugiamačio koreliacijos koeficiento reikšmingumas tikrinamas pagal Fišerio kriterijų.4. PROGNOZAVIMAS
4.1. Prognozavimo uždavinio samprata
Ekonominių rodiklių, ypač prekių paklausos prognozavimas yra neatskiriama kiekvienos firmos ekonominės veiklos dalis. Prognozavimas – tai būsimos nagrinėjamojo proceso eigos nustatymas, atsižvelgiant į turimą praktinį patyrimą ir priimtas teorines prielaidas.
Prognozavimo uždavinį galima spręsti dviem būdais:
 sudarant ekonominio objekto matematinį priežasties – pasekmės modelį;
 naudojant dinamines eilutes.
Sprendžiant uždavinį pirmuoju būdu, reikia nustatyti, kurie veiksniai lemia prognozuojamo rodiklio kitimą. Tada pagal sudarytą matematinį modelį galima apskaičiuoti prognozuojamo ekonominio rodiklio reikšmę. Matematiniams modeliams sudaryti geriausiai tinka regresiniai modeliai.
Sprendžiant uždavinį antruoju būdu, nenagrinėjamos ekonominio rodiklio funkcionavimo priežastys, o tik stebima, kaip šis rodiklis ilgainiui kinta, ir sudaroma dinaminė eilutė. Dinamine eilute vadinama statistinių dydžių seka, rodanti, kaip, laikui bėgant, kinta ekonominis rodiklis.
Dinaminės eilutės gali būti momentinės (pirkėjų skaičius parduotuvėje) ir intervalinės (per pamainą pagamintų kineskopų skaičius). Ekonominiuose tyrimuose svarbesnės yra intervalinės dinaminės eilutės.
Naudojant prognozavimo modelius, reikia atsižvelgti į tai, kad prognozuojama reikšmė bus su paklaida. Šios paklaidos yra pasiskirsčiusios pagal normalųjį dėsnį ir jų pasiskirstymą nusako dispersija: kuo didesnė rodiklio dispersija, tuo didesnė ir prognozės dispersija.
Kintamas dinaminės eilutės vidurkis vadinamas trendu. Pagal pobūdį trendai skirstomi į:
 tiesinius,
 sezoninius,
 mišriuosius.
Esant tiesiniam trendui, dinaminės eilutės vidurkis ilgainiui mažėja arba didėja tiesine priklausomybe. Esant sezoniniam trendui, vidurkis kinta cikliškai tam tikrais laiko intervalais. Mišrusis trendas turi tiesinio ir sezoninio trendo bruožų. Pavyzdžiu gali būti aviabilietų pardavimas. Oro transporto paslaugos nuolat plečiamos, tačiau per kurortinį sezoną šių paslaugų poreikis dar labiau padidėja.4.2. Prognozės modelių tikslumo nustatymas
Prognozavimo tikslumą nusako šie rodikliai:
1. Prognozavimo paklaida et (Forecasting Error); nustatoma kaip faktiškos rodiklio reikšmės yt ir prognozuojamos rodiklio reikšmės ft skirtumas:
et = yt – ft (4.1.);
2. Standartinė paklaida t (Standart Error); galima apskaičiuoti pagal klasikinę paklaidos dispersijos formulę.
3. Vidutinė procentinė absoliutinė paklaida MAPE (Mean Absolute Percentage Error); apskaičiuojama taip:
MAPE= (4.2.);
4. Vidutinė procentinė paklaida MPE (Mean Percentage Error); apskaičiuojama taip:
MPE = % (4.3.);
5. Vidutinė paklaida ME (Mean Error); apskaičiuojama taip:

ME = (4.4.);
Ši paklaida nėra santykinis dydis ir nusako prognozės nuokrypio dydį.
6. Vidutinė kvadratinė paklaida MSE (Mean Sguare Error). apskaičiuojama taip:
MSE= (4.5.);
Šis dydis nusako paklaidos dispersiją, ir, ja remiantis, parenkami optimalūs prognozavimo modelio parametrai.4.3. Stacionarių rodiklių prognozavimas
Stacionarūs rodikliai prognozuojami šiais metodais:
 slankiojo vidurkio;
 eksponentinio išlyginimo.

4.3.1.Slankusis vidurkis
Naudojant šį klasikinį ekonominių rodiklių prognozavimo metodą, apskaičiuojamas r buvusių rodiklio reikšmių vidurkis. Paprastai slankusis vidurkis nustatomas taip:
mt = (4.6.);
čia yi – ekonominio rodiklio reikšmė i – uoju laiko momentu.
Klasikiniu slankiojo vidurkio metodu apskaičiuotoms rodiklio reikšmėms suteikiamas vienodas svoris – , o kitoms reikšmėms – nulis. Tačiau reikia turėti galvoje tai, kad paskutiniai stebėjimai yra svarbesni, todėl jiems reikia suteikti didesnį svorį. Slankusis vidurkis su svoriniais koeficientais nustatomas taip:

(4.7.);4.3.2. Eksponentinis išlyginimas
Jei skaičiuosime slankiojo vidurkio metodu, informacijos naujumui vertinti reikia pasitelkti pastovius svorinius koeficientus. Skaičiuojant eksponentinio išlyginimo metodu, vietoj vienos fiksuotos svorinių koeficientų sistemos imami kintami svoriniai koeficientai.
Pastarieji koeficientai ilgainiui eksponentiškai mažėja. Jie nustatomi pagal šią eilutę:

(4.8.);

Šiuo atveju svoriniai koeficientai netampa lygi 0.
Yra įrodyta, kad, kai kinta nuo 0 iki 1, svorinių koeficientų suma lygi 1.

(4.9.);
Tai pagrindinė eksponentinio išlyginimo metodo lygtis.
Jei palyginsime slankiojo vidurkio ir eksponentinio išlyginimo metodus, bus nustatyta, kad

(4.10);
Kadangi, prognozuojant ekonominius rodiklius, dažniausiai kinta nuo 0,05 iki 0,3, tai įmanoma palyginti abiejų metodų parametrus, kurie išsidėstę taip:

0,05 0,1 0,2 0,3
r 39 19 9 6

Skaičiuojant eksponentinio išlyginimo metodu, kaip ir slankiojo vidurkio metodu, parenkama pradinė vidurkio reikšmė m 0. Reikia pasakyti, kad šios reikšmės parinkimo įtaka prognozavimo rezultatams yra mažesnė negu parinkimo.4.4. Nestacionarių rodiklių prognozavimas
Nestacionariems rodikliams prognozuoti naudojami šie modeliai:
 tiesinio trendo;
 sezoninio trendo.4.4.1. Tiesinio trendo modeliai
Laikoma, kad prognozuojamo rodiklio y t vidurkis ilgainiui tiesiškai kinta, t.y.

(4.11.);
čia – eilutės vidurkis; – vidurkio didėjimo greitis; – atsitiktinė paklaida su nuliniu vidurkiu.
Formulėje pateiktiems dydžiams ir nustatyti dažniausiai naudojamas Holto modelis ir Brauno adaptyvaus išlyginimo modelis.
Holto modelis remiasi eksponentinio išlyginimo metodo idėja ir ekonominio rodiklio kitimo greitį nusako koeficientas b t .
Reikiami dydžiai apskaičiuojami pagal šias formules:

(4.12);

(4.13.);
Parametrai A ir B kinta nuo 0 iki 1. Dažniausiai imama A=0,1 ir B=0,01

Naudojant Brauno adaptyvaus išlyginimo modelį, skaičiuojama pagal šias formules:

(4.14.);

(4.15.);
Parametras kinta nuo 0 iki 1. Paprastai imama =0,4.4.4.2. Sezoninio trendo modeliai
Naudojant sezoninio trendo modelius, atskirai nustatomas stacionarusis vidurkis, trendo tiesinis kitimas ir sezoniškumo koeficientai. Dažniausiai naudojamas Holto – Vinterio modelis.
Stacionarusis vidurkis nustatomas kaip ir naudojant Holto modelį:

(4.16.);
Šioje lygtyje einamoji rodiklio reikšmė yra padalyta iš sezoniškumo koeficiento, pastumto laiko ašimi L periodų atgal.
Trendo tiesinis kitimas nustatomas taip:

(4.17.);
Sezoniškumo koeficientas:

(4.18.);
Koeficientų A,B,C rekomenduojamos reikšmės: 0,2; 0,2; 0,6.4.5. Ilgalaikė prognozė
Ilgalaikės prognozės dažniausiai sudaromos, remiantis metų ataskaitiniais duomenimis.
Skiriamos šios ilgalaikės prognozės modelių grupės:
 tiesinės regresijos modeliai;
 transformuoti tiesinės regresijos modeliai.4.5.1. Tiesinės regresijos modeliai
Tiesinės regresijos lygtis užrašoma taip:

(4.19.);

čia a, b – tiesinės regresijos lygties koeficientai, nustatomi iš normalinių lygčių sistemos.
Tiesinės regresijos normalinių lygčių sistema užrašoma taip:

(4.20.);
Koeficientai apskaičiuojami:

(4.21.);

(4.22.);4.5.2. Transformuoti tiesinės regresijos modeliai
Kai trendo negalima aprašyti tiesine regresijos lygtimi, naudojamos kreivinės regresijos lygtys. Norint naudoti kreivinę regresijos lygtį, dažniausiai daromi du pakeitimai: natūrinis arba paprastasis logaritmas ir atvirkštinis pakeitimas. Reikia pasakyti, kad šie pakeitimai gali būti pritaikyti tiek y, tiek t , tiek abiem kartu.
Toliau 2 lentelėje pateiksiu regresinių kreivių apskaičiavimo formules:
2 lentelė
Regresinių kreivių apskaičiavimo formulės

Kreivė
Lygtis
Pakeitimas Apskaičiavimo formulės

a b

Eksponentė

Rodiklinė

HiperbolėIŠVADOS
• Ekonometriką formuoja 3 pagrindinės mokslo kryptys: matematika, ekonomika ir statistika. Manau, matematika yra pagrindinė iš šių, nes be pastarosios sunku būtų įsivaizduoti tiek ekonomiką, tiek statistiką, tiek ir ekonometriką. Taigi, galima teigti, ka matematika paremti visi svarbiausi pagrindiniai mokslai.
• Ekonometrika, paremta matematika, statistika bei ekonomika, pateikia daugumos ekonomikos teorijos teiginių empirinę priklausomybę.
• Matematika paskutiniu metu ekonomikoje tapo ypatingai aktuali dėl techninės pažangos mokslo srityje.
• Ekonominių rodiklių prognozavimas yra neatskiriama kiekvienos firmos ekonominės veiklos dalis. Prognozavimas – tai būsimos nagrinėjamojo proceso eigos nustatymas, atsižvelgiant į turimą praktinį patyrimą ir priimtas teorines prielaidas.
• Ekonometriniai modeliai priklauso plačiai ekonominių statistinių modelių klasei. Orientuojasi į ekonominių procesų priežastinius ryšius, standartinių rodiklių sąveiką tirriant matematinės statistikos metodaisLITERATŪRA
1. Boguslauskas V. Ekonometrika (Antras pataisytas leidimas)/ Kaunas, Technologija, 2003
2. Janušauskaitė S., Marčiukaitienė A. ir kt. Tiesinė algebra ir matematinė analizė / Kaunas, Technologija, 2001, ISBN 9986-13-769-1
3. Martišius S. Ekonometrija ir prognozavimas / Vilniaus universiteto leidykla, 2000
4. Martišius S. Elementarūs prognozavimo metodai ir modeliai / Vilnius, Mintis, 1974
5. Mišeikis F. Statistika ir ekonometrija 2-as leidimas / VGTU Matematinės statistikos katedra, Vilniaus universitetas, Vilnius, Technika, 1998, ISBN 9986-05-340-4
6. Stankus E. Ekonomerija.Paskaitų ciklas / Vilnius, Vilniaus vadybos kolegija, 2003, ISBN 9955-528-03-6
7. Steponavičius A. Matematika / Kaunas, Šviesa, 1998, ISBN 5-430-02412-0PRIEDAS
Lentelėje pateikti statistiniai duomenys. Sudaryti regresinį modelį.

Gaminio vieneto išlaidų statistiniai duomenys
Pavadinimas Mato vnt. Žymėjimas
1 2 3 4 5 6 7 8
Pardavimo apimtis vnt. xi 1 3 4 6 8 9 10 12
Vieneto išlaidos Lt yi 4,8 4,1 3,6 2,8 2,8 2,6 2,3 2,0
Apskaičiuotos vieneto išlaidos vnt.
5.1 3.3 3.1 2.8 2.7 2.7 2.7 2.6

Sprendimas. Nubraižome koreliacijos lauką.Iš statistikos duomenų išdėstymo darome prielaidą, kad yra hiperbolinis koreliacijos ryšys.
Įvertiname statistikos charakteristikas:

;

3pav. Koreliacijos laukas

.
Nustatome regresijos lygties koeficientus:

Tada a =2,39; b=2,71.
Hiperbolinė regresijos lygtis užrašoma taip:

.
Žinant pardavimų apimtis, galima apskaičiuoti reikšmes pagal pasirinktą regresijos modelį. Kai x =1, tada .
Kitos reikšmės pateiktos lentelėje.
Koreliacijos santykis nustatomas taip:

.
Visos regresijos lygties reikšmingumas patikrinamas pagal Fišerio kriterijų:

;

Kadangi 13,555,99, tai apskaičiuotoji regresijos lygtis yra reikšminė.
Determinacijos koeficientas rodo, kad 57,53% vieneto išlaidų priklauso nuo pardavimo apimties.

Leave a Comment