1. Sąvokos ……………………………………………….32. Nacionalinis biudžetas …………………………..43. Akcizas ……………………………………………….64. Truputis istorijos …………………………………..75. Draudimas ……………………………………………76. Palūkanų apskaičiavimas ……………………….87. Kapitalo kaupimas ……………………………….118. Kredito gražinimas ………………………………139. Uždavinių pavyzdžiai …………………………..15
MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMAS
Minimalūs reikalavimai: Skirti sąvokas kaina, antkainis, nuolaida, pajamos, išlaidos, pelnas, nuostoliai, palūkanos. Paprasčiausiais atvejais gebėti apskaičiuoti antkainį, nuolaidą, pajamas, išlaidas, pelną, nuostolį, paprastąsias palūkanas.
Pagrindiniai reikalavimai: Nesudėtingais atvejais gebėti apskaičiuoti antkainį, nuolaidą, pajamas, išlaidas, pelną, nuostolius, paprastąsias palūkanas. Paprastais atvejais apskaičiuoti sudėtines palūkanas.
Aukštesni reikalavimai: Nesudėtingais atvejais apskaičiuoti sudėtines palūkanas.
Kaina – tai prekės vertė, išreikšta piniginiu vienetu. Kainą sudaro gamybos sąnaudos, panaudotos medžiagos kiekis, transportavimo, akcizo, muito ir kiti mokesčiai, priklausantys nuo prekės. Antkainis – tai savikainos ir pardavimo kainos skirtumas. Nuolaida – tai kainos sumažinimas prekei, siekiant ją kuo greičiau parduoti. Pajamos – tai gaunami pinigai už darbą (atlyginimas), palūkanas, pardavimus, laimėjimus ir kt. per tam tikrą laikotarpį. Išlaidos – tai išleidžiami pinigai už būstą, maistą, įvairius pirkinius, mokesčius ir kt. per tam tikrą laikotarpį. Pelnas – tai pajamų ir išlaidų skirtumas, didesnis už nulį (teigiamas). Nuostoliai – tai pajamų ir išlaidų skirtumas mažesnis už nulį (neigiamas). Palūkanos – tai skolininko užmokestis skolintojui už naudojimąsi jo pinigais.
Nacionalinis biudžetas
Kaip žmonės ar šeimos sudarinėja savo biudžetus, taip Vyriausybė kiekvieniems metams parengia nacionalinį šalies biudžetą. Jame numatomos būsimųjų metų pajamos ir išlaidos.Iš kur pajamų gauna žmonės, jau žinome: atlyginimai, palūkanos pardavimai, laimėjimai, … kur pinigus išleisti, žino kiekvienas: būstas, maistas, pirkiniai, mokesčiai, … Dar šiokios tokios nenumatytos išlaidos – ir biudžetas deficitinis…
O kaip atrodo nacionalinis biudžetas?Pirmiausia – pajamos. Jos daugiausiai susidaro iš mokesčių. Mokesčius moka visi šalies piliečiai, moka firmos ir įmonės, gamintojai ir paslaugų teikėjai, importuotojai ir eksportuotojai, moka pirkėjai ir pardavėjai. Be to, valstybė gauna ir nemokestinių pajamų: už suteikta naudoti turtą, žemę, gamtos išteklius, už paskolas, renka baudas ir kitas rinkliavas už įvairių valstybės institucijų paslaugas. Šalies išlaidų yra labai daug ir įvairių: ekonomikai, socialinei sferai, kitoms valstybės funkcijoms. Visas jas sunku išvardyti…
Lietuvos Respublikos 1999 metų nacionalinis biudžetas
Tūkst.. (LT) (%)
PAJAMOS 8 983 600 100
Mokestinės 8 376 071 93,24 Pajamų, pelno ir kapitalo mokesčiai: 2 937 222 fizinių asmenų pajamų mokestis 2 576394 juridinių asmenų pelno mokestis 360 828 Turto mokesčiai: 246 606 žemės mokestis 18 795 žemės nuomos mokestis 47 452 nekilnojamojo turto mokestis 178 210 turto dovanojimo ir paveldėjimo mokestis 2149 Vidaus prekių ir paslaugų mokesčiai: 4 784 873 PVM 3 466 514 akcizai 1 318 359 Tarptautinės prekybos ir sandorių mokesčiai 192 611 Kiti mokesčiai 214 759Nemokestinės 607 529 6,76
IŠLAIDOS 9 108 723 100
Ekonomikai: 1 115 847 12,25 butų ir komunaliniam ūkiui 273 762 kuro ir energijos tiekimo paslaugoms 90 797 žemės ūkiui, miškininkystei, žuvininkystei, veterinarijai 469 908 mineralinių išteklių gavybai, pramonei ir statybai 38 920 transportui ir ryšiams 166 265 kitai ekonominei veiklai 76 195Socialinei sferai: 4 769 066 52,36 švietimui 2 787 578 sveikatos apsaugai 562 157 socialinei apsaugai 1 023 648 sveikatingumui (sportui), rekreacijai, 395 683Kitoms valstybės funkcijoms: 3 223 810 35,39 bendrosioms valstybės paslaugoms 760 955 krašto apsaugai 494 274 viešajai tvarkai ir visuomenės apsaugai 973 069 kitos išlaidos 995 512
PERTEKLIUS/DEFICITAS -125 123
Mokesčiai. Akcizas
Kaip matėme nagrinėdami nacionalinį biudžetą, didžiausią dalį pajamų sudaro šalies piliečių ir įmonių ( fizinių ir juridinių asmenų) mokami mokesčiai. Mes jau nagrinėjome pajamų, Sodros, pelno, pridėtosios vertės mokesčius.
Iš viso Lietuvoje yra daugiau kaip 20 įvairių mokesčių, kuriuos moka tiek gamintojai, tiek vartotojai.O kodėl visi turi mokėti mokesčius, kokią naudą jie atneša savo šalies piliečiams, kiekvienam eiliniam žmogui?
Pirma, mokesčiai yra pagrindinis nacionalinio biudžeto pajamų šaltinis. Antra, kai kurie mokesčiai saugo šalies gamintojus ir darbo vietas. Pavyzdžiui, importo muito mokestis saugo vieną ar kitą gamybos šaką nuo žlugimo dėl pigių prekių įvežimo iš užsienio. Beje, taip yra visose valstybėse. Trečia, mokesčiais slopinama visuomenės dalies kai kuri žalinga veikla ar įpročiai (pavyzdžiui, akcizai rūkalams ar alkoholiui, padidinti mokesčiai už aplinką teršiančią gamybą ir pan.). Ketvirta, mokesčių lengvatomis skatinama tam tikra naudinga šalies ekonomikai veikla (investicijos į įmonių modernizavimą, gamybos našumo didinimas, darbo vietų sukūrimas, labdara ir kt.).
Penkta, mokesčių tarifų keitimu valdoma šalies ekonomika ( remiamos besivystančios ar gyvybiškai būtinos šaliai gamybos šakos, skatinamas eksportas, ribojama perteklinė produkcija).Vienas iš svarbiausių mūsų dar nenagrinėtų mokesčių yra akcizo mokestis. Jo mokėtojai yra tiek fiziniai, tiek juridiniai asmenys – kai kurių prekių gamintojai ir importuotojai. Reikia žinoti, kad kai perkame maistą ar gėrimus, naudojame dujas ar elektrą, važiuojame automobiliu ar skrendame lėktuvu, tai į beveik visas produktų ar kuro kainas jau įskaičiuotas akcizo mokestis. Juo paprastai apmokestinami energetiniai resursai, įvairūs kvaišajai, kai kurios prabangos prekės, erotinio pobūdžio produkcija, kava, gaminiai iš kakavos.Akcizo mokesčio tarifai nustatomi arba konkrečia pinigų suma, arba – apmokestinamosios vertės dalimi procentais. Jei akcizo kokiai nors prekei nėra, sakoma, kad tai nulinis akcizo tarifas.
Nors ir ne visiems tai patinka – mokesčius mokėti reikia visiems. Valstybė turi specialias institucijas, kurios prižiūri piliečių, įmonių ir organizacijų mokesčių mokėjimą.
Draudimas
Ne tik iš reklamos, bet ir iš nukentėjusių įvairių nelaimingų atsitikimų metu esame girdėję, kad „draustis pigiau“. O kokia draudimo prasmė apskritai?Žmonės, drausdami savo turtą, draudimo kompanijoms sumoka tam tikrą pinigų sumą, kuri sudaro tik keletą procentų ( ar procento dalių) nuo apdraudžiamo turto vertės, o draudimo kompanijos įsipareigoja įvykus nelaimei sumokėti ( priklausomai nuo daugybės sąlygų) visą arba dalį apdrausto turto vertės.
Aišku, kad drausdamos kompanijos tikisi, jog nelaimė neįvyks. Todėl paprastai draudimo mokestis yra nedidelis, palyginti su draudimo suma. Kartu draudėjai įveda visokių apribojimų, kad sumažintų savo riziką. Visais atvejais draudimo mokestis nurodomas arba tam tikra pinigų suma, arba draudžiamos sumos procentais.
Palūkanų skaičiavimas
Pinigų skaičiavimas – ne vien tik bankininkų, finansininkų bei verslininkų darbas. Daugeliui žmonių tenka spręsti įvairaus pinigų kaupimo, jų investavimo, o neretai ir skolų gražinimo uždavinius.
Visi žinome, kad kiekvienas bankas savo indėlininkams moka palūkanas. Tačiau jų didumas ir skaičiavimo taisyklės dažnai skiriasi. Taip pat nevienodos būna ir kreditų grąžinimo sąlygos: mokėjimo terminai, palūkanų didumas ir kt. čia susipažinsime su bendrąja palūkanų skaičiavimo schema ir aptarsime kelis atskiruosius atvejus. Pirmiausia prisiminkime, kad palūkanos yra skolininko užmokestis skolintojui už naudojimąsi pinigais. Kai indėlininkas atidaro sąskaitą banke, tai palūkanas jam įsipareigoja mokėti bankas, nes jis yra skolininkas. Tuo tarpu kreditą gavęs žmogus yra banko skolininkas, todėl pagal sudarytą sutartį turi grąžinti ne tik pasiskolintą pinigų sumą, bet ir atitinkamas palūkanas. Dabar aptarkime palūkanų normos sąvoką. Tarkime, kad tam tikram laikotarpiui T, kurio trukmė t metų, paskolintas B litų kapitalas, už kurį pagal sutartį turi būti sumokėtas P litų didumo palūkanos. Tada laikotarpis T vadinamas palūkanų periodu, o santykis P/ B – periodine palūkanų norma. Periodinė palūkanų norma žymima i. Kartais ji išreiškiama procentais. Taigii = P/ B. (1.1.1)arba i = P/ B • 100%.
Bankininkystėje naudojamas palūkanų normos „standartas“ yra metinė palūkanų norma. Ji žymima p ir apibrėžiama formule
p = i/ t; (1.1.2)
čia i – periodinės palūkanų norma, o t – palūkanų periodo trukmė, išreikšta metais. Iš pirmų dviejų formulių gauname
i = p t (1.1.3)ir P = B p t. (1.1.4)
Vadinasi, žinant metinę palūkanų normą p ir palūkanų periodą t, galima rasti periodinę palūkanų normą i ir apskaičiuoti periodo palūkanas P. taip pat matome, kad periodo palūkanos P yra proporcingos palūkanų periodo trukmei t. Be to, iš (1.1.2) formulės išplaukia, kad metinė palūkanų norma p sutampa su periodine palūkanų norma i, kai palūkanų periodas t – vieneri metai. Dar priminsime, kad (1.1.4) formulė P = B p t vadinama paprastųjų palūkanų skaičiavimo formule.
Dabar aptarkime vieną bendro pobūdžio uždavinį. Tarkime, indėlininkas atidarė sąskaitą banke ir padėjo B0 litų. Banko metinė palūkanų norma p. Pagal sutartį palūkanų periodo trukmė t metų, o pinigus atsiimti galima tik periodui pasibaigus. Taigi pasibaigus palūkanų periodui indėlininko kapitalą sąskaitoje sudarys indėlis B0 ir palūkanos P = B0 p t (pagal (1.1.4) formulę). Pažymėkime jį B1. kadangi sandauga p t yra periodinė palūkanų norma i, tai
B = B2 + P = B0 + B0 p t = B0 (1 + i). (1.1.5)
Sakykime, kad indėlininkas pinigų neatsiėmė, o su banku sudarė naują sutartį tomis pačiomis sąlygomis ir patikėjo jam visą B1 litų kapitalą. Vadinasi, po antrojo palūkanų periodo jo sąskaitoje susidarė kapitalas B2, kurį galima apskaičiuoti taip:
B2 = B1 + B1 p t = B1 (1 + i).
Atsižvelgę į (1.1.5), gausime
B2 = B0 (1 + i)2 . (1.1.6)
Analogiškai elgdamasis n kartų, indėlininkas sukauptų Bn litų kapitalą:
Bn = Bn – 1 (1 + i) = Bn – 2 (1 + i)2 = . . . = B0 (1 + i)n ,
t.y.
Bn = B0 (1 + i)n . (1.1.7)
Aišku, aprašytąją indėlininko ir banko elgesio strategiją galima išdėstyti ir vienoje sutartyje. Tada visas sutarties galiojimo laikas būtų padalintas į n vienodos trukmės palūkanų periodų, o kiekvieno periodo pabaigoje to periodo palūkanos priskaičiuojamos prie sąskaitoje esančio kapitalo. Finansų matematikoje (1.1.7) formulė vadinama sudėtinių palūkanų formule, nors pagal ją skaičiuojamos ne sudėtinės palūkanos, o galutinis kapitalas Bn. Akivaizdu, kad sudėtinės palūkanos (pažymėkime jas Pn ) yra galutinio kapitalo Bn ir pradinio indėlio B0 skirtumas. Jas nesunku apskaičiuoti, pasinaudojus (1.1.7) formule:
Pn = Bn – B0 = B0 ((1 + i)n – 1). (1.1.8)
Aišku, kad sudėtinių palūkanų formulę (1.1.7) galima naudoti ne tik indėlininko sąskaitoje esančiam kapitalui, bet ir kreditą gavusio žmogaus skolai apskaičiuoti.
Dabar pagvildenkime tokį klausimą. Kas naudingiau indėlininkui: kai palūkanų periodai trumpi ar kai jie ilgi? Tarkime, kad banko metinė palūkanų norma lygi p , indėlininko sąskaitoje yra B0 litų, o palūkanos skaičiuojamos, padalinus metus į n vienodos trukmės palūkanų periodus. Tada periodinė palūkanų norma yra i = p/n, todėl pagal (1.1.8) formulę gauname tokias per metus susikaupusias palūkanas: Pn = B0 ((1 + p ÷ n) n – 1). (1.1.9)
Matome, kad palūkanų Pn didumas priklauso nuo palūkanų periodų kiekio n per metus. Pasirinkę n = 1, n = 2 ir n = 3, pagal (1.1.9) turėsime:
P1 = B0 ((1 + p) – 1) = B0 p,
P2 = B0 ((1 + p ÷ 2)2 – 1) = B0 (p + p2 ÷ 4),
P3 = B0 ((1 + p ÷ 3) 3 – 1) = B0 (p + p2 ÷ 3 + p3 ÷ 27).
Kadangi p < p + p2 ÷ 4 < p + p2 ÷ 3 + p3 ÷ 27,
tai P1 < P2 < P3 . Galima įrodyti, kad su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi n galioja nelygybė (1 + p ÷ n) n < (1 + p ÷ (n + 1)) n + 1 .
(Šio teiginio čia neįrodinėsime). Pasinaudoję tuo, gausimeB0 ((1 + p ÷ n) n – 1) < B0 ((1 + p ÷ (n + 1) n + 1 – 1),
o pagal (1.1.9) – Pn < Pn + 1, n = 1, 2, 3, . . .
Vadinasi, kuo smulkiau metai suskaidyti į palūkanų periodus, tuo didesnės per metus susikaupia palūkanos. Tačiau tas didėjimas nėra begalinis, nes seka 1 + p, (1 + p ÷ 2) 2 , (1 + p ÷ 3) n , . . ., (1 + p ÷ n) n , . . .
turi ribą:
lim (1 + p ÷ n) n = e p ; n → ∞ čia e = 2,71828182… . Taigi palūkanų seka
P1, P2, P3, . . ., Pn , . . .
irgi turi ribą:
lim Pn = lim B0 ((1 + p ÷ n) n – 1) = B0 • (ep – 1). n → ∞ n → ∞
Ribinę palūkanų reikšmę pažymėję P* , turėsime tokią formulę:
P* = B0 • (ep – 1). (1.1.10)
Ši formulė labai naudinga matematinėje ekonomikoje nagrinėjant įvairius finansų matematikos uždavinius. Ją galima apibūdinti ir kaip pačią „teisingiausią“, nes palūkanos priskaičiuojamos kiekvienu laiko momentu.
Kapitalo kaupimas
Šiame skyrelyje išnagrinėsime kelis kapitalo kaupimo uždavinius, kai tam tikslui panaudojamos banko mokamos palūkanos.
Tarkime, kad indėlininkas atidarė banke sąskaitą ir padėjo B0 litų, o pagal sutartį nustatyta, jog bus mokamos sudėtinės palūkanos su metine palūkanų norma p ir vienodos t metų trukmės palūkanų periodais. Vadinasi, po n periodų indėlininko sąskaitoje bus Bn litų kapitalas:Bn = B0 (1 + i) n ; (1.2.1)
čia i = p t – periodinė palūkanų norma. Norėdamas sužinoti, per kiek laiko sukaups B litų didumo kapitalą, indėlininkas turėtų spręsti nelygybę Bn ≥ B , t. y.
B0 (1 +i) n ≥ B. (1.2.2)
Logaritmuodamas gautų
n ≥ lg (B / B0 ) . lg (1 + i)
Mažiausias natūralusis skaičius n, tinkantis šiai nelygybei, ir yra tas palūkanų periodų kiekis, kuris reikalingas norimo didumo B kapitalui sukaupti banko sąskaitoje. Tačiau toks kapitalo kaupimo tempas indėlininkui gali pasirodyti per lėtas. Viena iš galimybių pagreitinti kapitalo kaupimą yra papildomai indėliai į sąskaitą. Čia, žinoma, įmanomi įvairūs variantai. Išnagrinėkime tokį. Sakykime, kad pasibaigus kiekvienam palūkanų periodui indėlininkas papildomai įmoka į sąskaitą C litų. Apskaičiuokime kapitalo didumą po n periodų. Pažymėję jį Kn, pagal (1.2.1) formulę gausime:
K1 = B0 (1 + i), K2 = (K1 + C) • (1 + i), K3 = (K2 + C) • (1 + i), ……………………………………. Kn – 1 = (Kn – 2 + C) • (1 + i), Kn = (Kn – 1 + C) • (1 + i).
Iš šių lygčių dydį Kn galima išreikšti pradiniu indėliu B0, papildomais indėliais C ir periodine palūkanų norma i. Iš tikrųjų,
K2 = (B0 (1 + i) + C) • (1 + i) = B0 (1 + i)2 + C (1 + i), K3 = (B0 (1 + i) 2 + C (1 +i) + C) • (1 +i) = B0 (1 + i ) 3 + C (1 + i) 2 + C (1 +i).
Analogiškai skaičiuodami toliau, gausime
Kn = B0 (1 +i) n + C (1 +i) n – 1 + C (1 + i) n – 2 + . . . + C (1 +i) 2 + C (1 + i) == B0 (1 + i) n + C (1 +i) • ((1 + i) n – 2 + (1 + i) n – 3 + . . . + (1 + i) + 1).
Skliausteliuose parašytos sumos dėmenys
1,1 + i, (1 +i) 2 , . . . , (1 + i) n – 3 , (1 +i) n – 2
sudaro geometrinę progresiją. Jos pirmasis narys b1 = 1, o vardiklis q = 1 + i. Pagal pirmųjų narių sumos formulę tada1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + . . . + (1 + i) n – 2 = (1 + i) n – 1 – 1 = ((1 +i) n – 1 – 1 . (1 + i) – 1 i
Taigi
Kn = B0 (1 + i) n + C (1 +i) • ((1 + i) n – 1 – 1) . (1.2.3) i
Sugretinę šią formulę su (1.2.1), turėsime tokį sąryšį tarp Kn ir Bn :
Kn = Bn + C (1 + i) • ((1 + i) n – 1 – 1) . I
Antrasis dėmuo čia yra kapitalas, sukauptas iš papildomų indėlių C ir dėl jų susidariusių palūkanų. Norėdamas sužinoti, po kelių palūkanų periodų kapitalas Kn banke pasieks norimą didumą B, indėlininkas dabar turėtų spręsti ne (1.2.2), o šią nelygybę:
B0 (1 + i) n + C (1 +i) • ((1 + i) n – 1 – 1) ≥ B i
Taip pat yra atvejų kai po kiekvieno periodo indėlininkas sąskaitoje esantį kapitalą papildo nebūtinai vienodo didumo pinigų suma Cj, j = 1, 2, . . . , n – 1 (Cj ≥ 0). Skaičiuodami kapitalą Kn po n periodų, gausime
K1 = B0 (1 + i),K2 = (K1 + C1) • (1 + i), K3 = (K2 + C 2) • (1 + i), ……………………………………. Kn – 1 = (Kn – 2 + C n – 2) • (1 + i), Kn = (Kn – 1 + C n – 1) • (1 + i).
Panašiai kaip ankstesniu atveju dydį Kn galima išreikšti dydžiais B0, C1, C2, . . . , C n – 1 ir i:
Kn =B0 (1 + i) n + C1 (1 + i) n – 1 + C2 (1 + i) n – 2 + . . . + Cn – 2 (1 + i) 2 + Cn – 1 (1 + i). (1.2.4)
Šią formulę lengva įsiminti: dešinėje lygybės pusėje yra n – ojo laipsnio daugianaris sumos 1 + i atžvilgiu. Jo koeficientai B0, C1, C2, . . . , Cn – 1 yra pradinio ir visų papildomų indėlių didumai.
Kredito grąžinimas
Tarkime, kad verslininkas paėmė iš banko K litų didumo kreditą ir įsipareigojo atsiskaityti per m metų. Banko metinė palūkanų norma p, o palūkanos prie skolos priskaičiuojamos kas t metų. Pagal sutartį verslininkas gali atsiskaityti su banku iš karto arba dalimis. Kad būtų paprasčiau, išnagrinėkime kredito grąžinimo uždavinį, kai m/t yra sveikasis skaičius, sakykime n , o skolos dalį arba visą skolą verslininkas bankui gražina tik pasibaigus palūkanų periodui. Taigi visas kredito grąžinimo laiko tarpsnis susideda iš n periodų, o periodinė palūkanų norma i lygi p t.
Pradinę verslininko skolą bankui pažymėkime S0 , o skolą pasibaigus j – am palūkanų periodui – Sj ; j = 1, 2, . . . , n. Aišku, kad S0 = K . grąžinamą bankui skolos dalį po j – ojo periodo pažymėkime Rj ; čia Rj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n. Pagal sudėtinių palūkanų formulę gausime:S1 = S0 (1 + i) – R1 = K (1 + i) – R1 , S2 = S1 (1 + i) – R2 , S3 = S2 (1 + i) – R3 , ………………………………. Sn – 1 = Sn – 2 (1 + i) – Rn – 1 , Sn = Sn – 1 (1 + i) – Rn .
Iš šių lygčių išreikškime dydį Sn dydžiais K, i ir R1, R2, . . . , Rn . Skaičiuodami gausime
S2 = (K (1 + i) – R1) • (1 + i) – R2 = K (1 + i) 2 – R1 (1 + i) – R2 , S3 = (K (1 + i) 2 – R1 • (1 + i) – R2 ) • (1 + i) – R3 = K (1 + i) 3 – R1 • (1 + i) 2 – R2 • (1 + i) – R3
ir t.t. Galiausiai
Sn = K (1 + i) n – R1 (1 + i) n – 1 – R2 (1 + i) n – 2 – . . . – R n – 1 (1 + i) – R n . (1.3.1)
Šia formule yra išreikštas verslininko skolos didumas bankui, pasibaigus n palūkanų periodų. Kadangi pagal sutartį Sn = 0, tai
R1 (1 + i) n – 1 + R2 (1 + i) n – 2 + . . . + R n – 1 (1 + i) + Rn = K (1 + i) n . (1.3.2)
Pasinaudojus (1.3.1) bei (1.3.2) formulėmis, galima gana lengvai išspręsti įvairius kredito grąžinimo uždavinius. Taip pat galima gauti patogias formules kai kuriems atskiriems atvejams. Apskaičiuokime įmokos R didumą pagal (1.3.2):
R ((1 + i) n – 1 + (1 + i) n – 2 + . . . + (1 + i) + 1) = K (1 + i) n . (1.3.3)Kadangi skaičiai
1,1 + i, (1 + i) 2 , . . . , (1 + i) n – 2 , (1 + i) n – 1 sudaro geometrine progresiją, tai
1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + . . . + (1 + i) n – 2 + (1 + i) n – 1 = (1 + i) n – 1 . iĮrašę į (1.3.3), turėsime
R ((1 + i) n – 1) = K (1 + i) n , i
o iš čia gausime
R = K (1 + i) n i . (1.3.4) (1 + i) n – 1
1. PAVYZDYS. Už 25 tonas benzino sumokėtas 30 250 Lt akcizo mokestis. Koks akcizo mokestis už 1 toną benzino; už 18,5 tonos benzino?Kadangi akcizo mokestis už 25 tonas benzino yra 30 250 Lt, tai už vieną toną sumokėta 30 250 ÷ 25 = 1210 (Lt) akcizo. Šiuo atveju sakoma, kad akcizo mokesčio tarifas išreikštas konkrečia pinigų suma.
Akcizo mokestis už 18,5 t benzino yra 1210 • 18,5 = 22 385 (Lt).2. PAVYZDYS. Akcizo mokesčio tarifas ne senesniems kaip 5 metų ypač prabangiems automobiliams yra 15% automobilio kainos, viršijančios 60 000 Lt. Įsigyjant tokį automobilį sumokėtas 1125 Lt akcizo mokestis. Apskaičiuokime įsigyto automobilio kainą.Kadangi akcizo mokestis 1125 Lt sudaro 15% sumos, viršijančios 60 000 Lt, tai ši viršijanti suma lygi 1125 • 100 ÷ 15 = 7500 (Lt).Automobilis iš viso kainavo 60 000 + 7500 = 67 500 (Lt).
3. PAVYZDYS. Žmogus vieneriems metams apdraudė savo turtą nuo gaisro 25 000 Lt sumai, sumokėdamas 0,5% draudimo sumos.Draudimas žmogui kainavo 25 000 • 0,5% ÷ 100% = 25 000 • 0,005 = 125 ( Lt).Jei gaisras tais metais sunaikino visą apdraustą turtą, žmogus iš draudimo kompanijos gali tikėtis 25 000 Lt kompensacijos.
4. PAVYZDYS. Draudžiant namų turtą vieneriems metams nuo įvairių nelaimių iki 10 000 Lt suma, vienoje draudimo bendrovėje reikia mokėti 50 Lt. Be to, taikoma 28% nuolaida. Apskaičiuokite, kiek toje bendrovėje kainuoja namų turto draudimas vieneriems metams 9999 Lt suma.Sprendimas. Kadangi bet kurios draudimo sumos iki 10 000 Lt namų turto draudimo tarifas yra 50 Lt, tai draudimo mokestis su nuolaida yra 50 – 50 • 28 ÷ 100 = 50 – 14 = 36 ( Lt).
5. PAVYZDYS. Antrus metus eksploatuojamo lengvojo automobilio draudimo 50 000 Lt sumai vieneriems metams nuo vagystės tarifas yra 2,6% draudimo sumos, o septintus metus eksploatuojamo lengvojo automobilio draudimo ta pačia suma – 2,1% draudimo sumos. Apskaičiuokite draudimo mokestį kiekvienu atveju.Sprendimas. Naujesnio automobilio draudimo nuo vagystės mokestis50 000 • 2,6 ÷ 100 = 50 000 • 0,026 = 1300 ( Lt),o senesnio50 000 • 2,1 ÷ 100 = 50 000 • 0,021 = 1050 ( Lt).
6. PAVYZDYS. Petraitis ir Jonaitis važinėja tų pačių metų laidos automobiliais. Petraitis vairuoja jau 20 metų, o Jonaitis – 3 metus. Abu draudžia savo automobilius 40 000 Lt sumai nuo avarijos vieneriems metams. Jonaitis už draudimą sumokėjo 2200 Lt, o Petraitis – 1440 Lt. Apskaičiuokite Petraičio ir Jonaičio automobilių draudimus procentais.Sprendimas. Petraičio automobilio draudimo tarifas yra 1440 • 100 ÷ 40 000 = 3,6 (%), o Jonaičio – 2200 • 100 ÷ 40 000 = 5,5 (%).
7. PAVYZDYS. Verslininkas dvejiems metams paėmė iš banko tam tikrą kreditą. Pagal sutartį numatyta už jį mokėti paprastąsias palūkanas, kai metinė palūkanų norma 24%. Apskaičiuokime kredito didumą žinodami, jog po 21 mėnesio verslininkas atsiskaitė su banku, sumokėjęs jam iš karto visą skolą – 42 600 Lt.
Sprendimas. Kredito didumą pažymėkime K. Nors pinigus bankas paskolino dvejiems metams, tačiau šiame uždavinyje galima laikyti, jog palūkanų periodo trukmė t yra 21 mėnuo, t.y. 1,75 metų, o palūkanas skaičiuoti pagal (1.1.4) formulę. GausimeP = 0,24 • 1,75 K = 0,42 K.
Tuomet bendroji verslininko skola bankui yra
K + P = K + 0,42 K = 1,42 K.
Pagal sąlygą ji lygi 42 600 Lt. Vadinasi, turime spręsti lygtį
1,42 K = 42 600.
Iš jos randame verslininko paimto kredito didumą: K = 30 000 Lt.
8. PAVYZDYS. Indėlininkas atidarė banke sąskaitą ir padėjo į ją 10 000 Lt. Pagal sutartį jis gali bet kada iš jos pasiimti dalį pinigų arba įnešti papildomai. Už sąskaitoje esančius pinigus bankas moka paprastąsias palūkanas, kai metinė palūkanų norma 12%. Po trijų mėnesių indėlininkas papildomai įnešė 1700 Lt, o dar po pusės metų pasiėmė iš sąskaitos 6000 Lt. Apskaičiuokime pinigų sumą indėlininko sąskaitoje, praėjus 16 mėnesių nuo jos atidarymo. Sprendimas. Išskirkime tris laiko tarpsnius: T1 – pirmuosius tris mėnesius, T2 – paskesnius šešis mėnesius ir T3 – paskutiniuosius septynis mėnesius. Laikydami juos palūkanų periodais, apskaičiuokime periodines palūkanų normas – i1, i2 ir i3 atitinkamai. Pagal (1.1.3) formulę
i1 = 0,12 • 0,25 = 0,03, i2 = 0,12 • 0,5 = 0,06, i3 = 0,12 • 7/ 12 = 0,07.
Pinigų sumą sąskaitoje po pirmojo periodo pažymėkime B1, po antrojo – B2, o po trečiojo – B3. jas skaičiuokime taip:
B1 = 10 000 + 10 000 • i1 = 10 000 • 1,03 = 10 300; B2 = (10 300 + 1700) • (1 + i2) = 12 000 • 1,06 = 12 720; B3 = (12 720 – 6000) • (1 + i3) = 6720 • 1,07 = 7190,4.
Taigi pinigų suma indėlininko sąskaitoje, praėjus 16 mėnesių nuo jos atidarymo, lygi 7190,4 Lt.
9. PAVYZDYS. Ūkininkas, pardavęs derlių, atidarė banke sąskaitą ir padėjo 6000 Lt. Bankas įsipareigojo mokėti paprastąsias palūkanas už sąskaitoje esančius pinigus ir leisti ūkininkui laisvai disponuoti savo pinigais. Po aštuonių mėnesių ūkininkas pasiėmė iš sąskaitos 400 Lt. Nustatykime, kokia banko metinė palūkanų norma, žinodami, kad po 14 mėnesių nuo atidarymo ūkininko sąskaitoje buvo 6300 Lt.
Sprendimas. Banko metinę palūkanų normą pažymėkime p, o sąlygoje minimą 14 mėnesių tarpsnį padalinkime į du palūkanų periodus: T1 – pirmuosius 8 mėnesius ir T2 – paskesnius 6 mėnesius. Tegu B1 yra pinigų suma sąskaitoje po pirmojo periodo, o B2 – po antrojo periodo. Kadangi periodo T1 trukmė yra 2/ 3 metų, o T2 – 0,5 metų, tai, pasinaudoję (1.1.4) formule, gausimeB1 = 6000 • (1 + 2p ÷ 3), B2 = (B1 – 400) • (1 + 0,5p) = (5600 + 4000p) • (1 + 0,5p).
Pagal sąlygą B2 = 6300 Lt, todėl sudarome lygtį
(5600 + 4000p) • (1 + 0,5p) = 6300.
Išsprendę ją, nustatome metinę banko palūkanų normą: p = 0,1.
10. PAVYZDYS. Akcinė bendrovė savo veiklai plėsti paėmė iš banko 200 000 Lt kreditą, kai metinė palūkanų norma 20%. Pagal sutartį bendrovės skola bankui perskaičiuojama (palūkanos pridedamos prie skolos) kas pusę metų. Visą skolą iš karto bendrovė grąžino po dviejų metų. Apskaičiuokime, kokia palūkanų suma P per tą laiką susikaupė. Sprendimas. Šiam uždaviniui spręsti galima taikyti (1.1.8) formulę, imant joje B0 = 200 000, i = 0,2 • 0,5 = 0,1 , n = 4. tada
P = P4 = 200 000 ((1 + 0,1)4 – 1) = 92 820 (Lt).
11. PAVYZDYS. Banko metinė palūkanų norma 12%, o indėliai perskaičiuojami kas mėnesį. Po kelių mėnesių 2500 Lt indėlis pasidarys didesnis už 3000 Lt?
Sprendimas. Pagal sudėtinių palūkanų formulę po n periodų (mėnesių) indėlininko sąskaitoje bus 2500 (1 + 0,12 • 1 ÷ 12)n = 2500(1,01) n
litų. Pagal sąlygą reikia rasti mažiausią natūralųjį skaičių n, su kuriuo 2500(1,01) n > 3000.
Logaritmuodami abi nelygybės puses gauname
n > lg 1,2 ≈ 0,7918 ≈ 18,3. lg 1,01 0,00432
Taigi po 19 mėnesių ( palūkanų periodų) indėlininko sąskaitoje bus daugiau kaip 3000 Lt.
12. PAVYZDYS. Ūkininkas banke, mokančiame 10% metinių palūkanų, atidarė sąskaitą ir padėjo 10 000 Lt. Pagal sutartį palūkanos priskaičiuojamos kas pusę metų ir leidžiami papildomi indėliai. Apskaičiuokime, kokie turi būti papildomi indėliai (vienodo didumo) po pirmųjų trijų palūkanų periodų, kad ūkininko kapitalas sąskaitoje po dviejų metų pasiektų 20 000 Lt. Kokią sukauptojo kapitalo dalį sudaro palūkanos?
Sprendimas. Skaičiavimui pasinaudosime (1.2.3) formule su B0 = 10 000, i = 0,1 ÷ 2 = 0,05, n = 4, K4 = 20 000 . gausime lygtį
20 000 = 10 000 • (1,05)4 + C • 1,05 ((1,05) 3 – 1) . 0,05
Iš čia C ≈ 2370 Lt.
13. PAVYZDYS. Bankas moka 10% metinių palūkanų, o palūkanų periodas – pusė metų. Indėlininkas, atidarydamas sąskaitą, padėjo 30 000 Lt. Po pirmųjų metų jis papildomai įmokėjo 6925 Lt, o po antrųjų – dar tam tikrą sumą C. Apskaičiuokite, C žinodami, kad, praėjus trejiems metams nuo sąskaitos atidarymo, joje buvo 55 125 Lt.
Sprendimas. Visą trejų metų laiko tarpsnį galima suskaidyti į šešis palūkanų periodus, o skaičiavimui pritaikyti (1.2.4) formulę, kai n = 6, i = 0,05, B0 = 30 000, C1 = 0, C2 = 6925, C3 = 0, C4 = C, C5 = 0, K6 = 55 125. vadinasi,
55 125 = 30 000 • (1,05)6 + 6925 • (1,05)4 + C (1,05)2 + 1,05.
Turime tiesinę lygtį su vienu nežinomuoju. Iš jos ir surandame papildomą indėlį po antrųjų metų: C = 5900 Lt.
14. PAVYZDYS. Bankas išduoda paskolas su 20% metinėmis palūkomis. Palūkanos perskaičiuojamos kas pusę metų. Firma gavo 50 000 Lt kreditą ir įsipareigojo grąžinti skolą per trejus metus. Po vienerių metų ji grąžino bankui 25 000 Lt. Kokią sumą R firma turi grąžinti bankui po antrųjų metų, kad baigiantis sutarties terminui jai liktų sumokėti 42 955 Lt?
Sprendimas. Pagal sąlygą turime šešis palūkanų periodus su pastovia periodine palūkanų norma i = 0,1. pažymėję Rj , j = 1, 2, . . . , 6 grąžinamą bankui pinigų sumą po j – ojo periodo, turėsime R1 = 0, R2 = 25 000, R3 = 0, R4 = R , R5 = 0 ir R6 = 42 955. įrašę turimą informaciją į (1.3.2), gausime
25 000 • (1,1) 4 + R • (1,1) 2 + 42 955 = 50 000 • (1,1) 6 .
Iš čia R = 7455 Lt.