Ekonometrijos praktiniai darbai

1 UŽDUOTIS

1.1. Duoti duomenys apie N apskrities pienininkystės ūkių pieno savikainą (Y, Lt/t) ir vdutinį metinį primilžį iš karvės (X. t). Sudaryti Y ir X tarpusavio priklausomybės tiesinį ekonometrinį modelį naudojant MS Excel ir jį įvertinti.
1.2. Naudojant tuos pačius duomenis SPP „Statistica“ sumodeliuoti tiesinę ir netiesines funkcijas duotų rodiklių tarpusavio priklausomybei bei išreikšti (hiperbolę, parabolę, laipsninę ir rodiklinę).
1.1. Tiesinio modelio sudarymas ir įvertinimas Excel ir su Statistica.

1 lentelė
Pradiniai duomenys
Y 836 601 636 735 555 570 596 530 436 665 734 936 472 640 626 651 675 665 405 584
X 2,8 3,7 3,3 2,6 3,3 3,8 2,4 3,6 4,2 4,4 2,6 3,2 4,3 2,8 3,8 3,7 2,6 4,2 3,8 4,6

Tiesinio pieno savikainos ir karvių produktyvumo priklausomybės modulio sudarymui išspręsime šią lygčių sistemą:

nb0 +b1

=b0 +b1 x2 (1)

Parametrų vektoriaus apskaičiavimui sudauginame vektorių y su atvirkštine matrica x.

b= Y*X-1
2 lentelėje parodytas modelio parametrų apskaičiavimas.

2 lentelė
Modelio parametrų apskaičiavimas
Y X yx X 2 Parametrų apskaičiavimai
836 2,8 2340,8 7,84 Vektorius Y

2953,5
601 3,7 2223,7 13,69 12548
636 3,3 2098,8 10,89 Matrica X 20 69,7
735 2,6 1911 6,76 69,7 251,69
555 3,3 1831,5 10,89 Determinantas X 175,71
570 3,8 2166 14,44 Atvirkštinė X 1,432417 -0,39668
596 2,4 1430,4 5,76 -0,39668 0,113824

Vektorius b 935,332
530 3,6 1908 12,96 -88,359
436 4,2 1831,2 17,64

2 lentelės tęsinys
Y X yx X 2 Parametrų apskaičiavimai
665 4,4 2926 19,36
734 2,6 1908,4 6,76
936 3,2 2995,2 10,24
472 4,3 2029,6 18,49
640 2,8 1792 7,84
626 3,8 2378,8 14,44
651 3,7 2408,7 13,69
675 2,6 1755 6,76
665 4,2 2793 17,64
405 3,8 1539 14,44
584 4,6 2686,4 21,16
12548 69,7 42953,5 251,69 Suma
Vidurkis
627,4 3,485 2147,675 12,5845

Pieno savikainos ir karvių produktyvumo priklausomybės tiesinis ekonometrinis modelis:
y= 935,322-88,359x

Modelio interpretacija:
2003 m. 20 n apskrities pienininkystės ūkiuose pieno primilžiui iš karvės padidėjus 1 tona, pieno savikaina vidutiniškai sumažėja 88,4 Lt, kitoms sąlygoms nekintant.

Santykinio karvių produktyvumo poveikio pieno savikainai įvertinimui apskaičiuojame elastingumo koeficientą:

(2)

E=-0,49081
Elastingumo interpretacija:
2003 m. 20 N apskrities pienininkystės ūkių pieno primilžiui iš karvės padidėjus 1%, pieno savikaina vidutiniškai sumažėja 0,,49% c.p.

Modelio kokybės įvertinimui apskaičiuosime determinacijos koeficientą bei F ir t kriterijus pagal šias formules:

(3)
R2 =

(4)

(5)
tb1 = µb1 =

3 lentelė
Modelio kokybės rodiklių apskaičiavimas
ŷ (ŷ -y)2 (y-y)2 (y- ŷ)2 Kokybės rodiklių apskaičiavimai
687,9260714 3663,405315 43513,96 21925,888 R2 =0,22909
608,4027659 360,8949026 696,96 54,800943 F=5,349
643,7464572 267,206664 73,96 60,0076 µb1 =38,20451
705,597917 6114,914227 11577,76 864,48248 tb1 =2,31279
643,7464572 267,206664 5241,76 7875,9337
599,5668431 774,6846234 3294,76 874,19821
723,2697627 9191,011396 985,96 16197,592
617,2386887 103,2522463 9486,76 7610,5888
564,2231518 3991,31415 36633,96 16441,177
546,5513061 6536,511301 1413,76 14030,093
705,597917 6114,914227 11363,56 806,67832
652,5823801 634,1522654 95233,96 80325,547
555,387229 5185,839193 24149,16 6953,43
687,9260714 3663,405315 158,76 2296,9083
599,5668431 774,6846234 1,96 698,71178
608,4027659 360,8949026 556,96 1814,5244
705,597917 6114,914227 2265,76 936,23253
564,2231518 3991,31415 1413,76 10155,973
599,5668431 774,6846234 49461,76 37856,256
528,8794605 9706,296708 1883,56 3038,2739
12548 68591,50172 299408,8 230817,3 Suma
627,4 3429,575086 14970,44 11540,865 Vidurkiai

Išvados:
1. Determinacijos koeficientas R2 = 0,23 parodo, kad karvių produktyvumo kitimas nagrinėtuose 20 ūkių pieno savikainos kitimą lėmė 23

3% likusi dalis(77%) teko modelyje nenagrinėtiems veiksniams ir atsitiktinėms priežastims.
2. Apskaičiavus F kriterijus (F= 5,4) rodo, kad 95% šį ekonometrinį modelį galime laikyti statistiškai pagrįstu, nes jo reikšmė yra didesnė už kritinę ( F0,05 1, 18)= 4,41
3. Apskaičiuotasis parametras b1 t kriterijus (t b1 = 2,31) rodo,kad šis modelio paramtras yra 95% statistiškai pagrįstas, nes jis yra didesnis už kritinę reikšmę.(t0,05 ; 18=2,1)

Pasiteisinus modelio kokybei statistinės išvados pritaikytinos visumai apskaičiuojant parametro b1 pasikkliautinąjį intervalą:

(6)

-164,77≤-11,95

Išvada: 2003 m. 20 šalies pienininkystės ūkiuose karvių produktyvumui padidėjus 1 t, pieno savikaina 95% tikėtina sumažėja nuo 164,77Lt iki 11,95 Lt.

1.2. Karvių produktyvumo ir pieno savikainos laipsninio, hiperbolės, parabolės ir rodiklinio modelių funkcijos yra šios:

Laipsninė y= b0 *xb1 (7)

Hiperbolė y= b0 +b1/x (8)

Parabolė y=b0 +b1x+b2x2 (9)

Rodiklinė y=b0*b1x (10)

Jų modeliavimui panaudosime SPP „Statistica“ modulį „Nonlinear Estimation“
Modeliai ir jų pagrindinės kokybės charakteristikos užrašytos 4 lentelėje

4 lentelė
Modeliai ir jų pagrindinės kookybės charakteristikos
Funkcija Modelis R2 F-kriterijus k1=m-1 k2 =n-m F- lentelinė
Tiesė Y=b0+b1*x 0,22909 5,349 1 18 4,41
Hiperbolė Y= b0 +b1/x 0,2149 4,927 1 18 4,41
Parabolė Y=b0+b1x+b2x2 0,20 5,34 2 17 4,41
Laipsninė Y= b0 *xb1 0,2212 5,11 1 18 4,41
Rodikllinė Y=b0*b1x 0,2290 5,346 1 18 4,41

Karvių produktyvumo ir pieno savikainos tarpusavio priklausomybės tiesiniai ir netiesiniai modeliai pavaizduoti 1- 5 paveiksluose.

1 pav. Tiesinis modelis

2 pav. Hiperbolės modelis 3 pav.Parabolės modelis

4 pav. Laipsninis modelis 5 pav. Rodiklinis modelis

Išvada: Pagal šių modelių kokybės rodiklius vadybiniais tikslais arba prognozavimui parinktinas tiesinis modelis, kadangi jo R2 didžiausias be to F gerokai viršija kritinę reikšmę.

Statistica ataskaita
R= ,47863326 R²= ,22908980 Adjusted R²= ,18626145
F(1,18)=5,3490 p<,03277 Std.Error of estimate: 113,24

St. Err. St. Err.

BETA of BETA B of B t(18) p-level
Intercpt 935,3319 135,5291346 6,901334636 1,87771E-06
X -0,47863 0,20695 -88,3592 38,20451428 -2,312795489 0,032767672

“Statistica” ataskaita

Sums of Mean

Squares df Squares F p-level
Regress. 68591,5 1 68591,5 5,349022865 0,032767672
Residual 230817,3 18 12823,18
Total 299408,8

2 UŽDUOTIS

1. Duoti duomenys apie 15 regionų vi

idutines realiąsias pajamas(y), žemės ūkyje užimtų aktyvių gyventojų procentinę dalį bendrame aktyvių gyventojų skaičiuje (x1 ) ir mokytųsi metų skaičių (x2 ). Sudaryti y ir x1 bei x2 tarpusavio priklausomybės tiesinį ekonometrinį modelį ir jį įvertinti (Excel–yje)
2. Naudojant tuos pačius duomenis SPP“ Statistica“ sumodeliuoti tiesinį ir pačių pasirinktų formų netiesinius modelius duotų rodiklių tarpusavio priklausomybei išreikšti. Modeliavimo rezultatus užrašyti lentelėje.

2.1. Tiesinio modelio sudarymas ir įvertinimas Excel ir su Statistica

1 lentelė
Pradiniai duomenys
Y 8 9 9 8 8 13 9 8 10 11 11 12 9 10 12
X1 9 9 7 6 10 4 5 5 6 7 6 4 8 5 8
X2 9 13 11 11 12 16 11 11 12 14 11 15 15 10 13

 = n +  +  +  +...+ 
 =  +  +  +  +...+  (1)

 =  +  +  +  +...+ 

Parametrų vektoriaus apskaičiavimui sudauginame vektorių y su atvirkštine matrica x.

b= Y*X-1

2 lentelėje parodytas modelio parametrų apskaičiavimas.

2 lentelė
Modelio parametrų apskaičiavimas

Y X1 X2 X1*x2 X1 2 X2 2 Y*x1 Y*x2 Parametrų apskaičiavimai

8 9 9 81 81 81 72 72 Vektorius y

9 9 13 117 81 169 81 117 147,00

9 7 11 77 49 121 63 99 950,00

8 6 11 66 36 121 48 88 1833,00

8 10 12 120 100 144 80 96 Matrica X

13 4 16 64 16 256 42 208 15 99 184

9 5 11 55 25 121 45 99 99 703 1205

8 5 11 55 25 121 40 88 184 1205 2314

10 6 12 72 36 144 60 120 Determinantas X

11 7 14 98 49 196 77 154 41033

11 6 11 66 36 121 66 121 Atvirkštinė X

12 4 15 60 16 225 48 180

9 8 15 120 64 225 72 135

10 5 10 50 25 100 50 100

12 8 13 104 64 169 96 156 Vektorius b
Suma 147 99 184 1205 703 2314 950 1833 6,122341
Vidurkis 9,8 6,6 12,26667 80,333 46,8666 154,2667 63,333 122,2 -0,31801

0,470914

Vidutinių realių pajamų ir žemės ūkyje užimtų aktyvių gyventojų dalies tiesinis ekonometrinis modelis:
y= 6,12-0,32×1 +0,47×2

Modelio interpretacija:
2003 m. 15 regionų realiosioms pajamoms padidėjus 1 Lt, savikaina vidutiniškai sumažėja 32 Lt, kitoms sąlygoms nekintant.

Santykinio realių pajamų poveikio žemės ūkyje užimtų gyventojų įvertinimui apskaičiuojame elastingumo koeficientą:

(2)

E=-0,21417

E=0,589443
Elastingumo interpretacija:
2003 m. 15 šalies regionų realiosioms pajamoms padidėjus 1%, užimtų gyventojų vidutiniškai padidėja 0,58% c.p.

Modelio kokybės įvertinimui apskaičiuosime determinacijos koeficientą bei F ir t kriterijus pagal šias formules:

(3)

(4)

(5)

3 lentelė
Modelio kokybės rodiklių apskaičiavimas
ŷ (ŷ -y)2 (y-y)2 (y- ŷ)2 Kokybės rodiklių apskaičiavimai
7,498452 5,297121 3,24 0,25155 R2 =0,532736
9,382107 0,174634 0,64 0,146006 F=6,840716
9,076304 0,523735 0,64 0,005822 µb1 =
9,394317 0,164579 3,24 1,944119 tb1 =
8,593181 1,456412 3,24 0,351864
12,38491 6,681758 10,24 0,378336
9,712329 0,007686 0,64 0,507413
9,712329 0,007686 3,24 2,932071
9,86523 0,004255 0,04 0,018163
10,48905 0,474784 1,44 0,261075
9,394317 0,164579 1,44 2,578219
11,914 4,468979 4,84 0,007397
10,64195 0,708874 0,64 2,695989
9,241415 0,312017 0,04 0,575451
9,700119 0,009976 4,84 5,289451
147 20,45708 38,4 17,94292 Suma
9,8 1,363805 2,56 1,196195 Vidurkiai

1.3. Realių pajamų bei žemės ūkyje užimtų gyventojų laipsninio, hiperbolės, parabolės ir rodiklinio modelių funkcijos yra šios:

Laipsninė y= b0 *xb1 (7)

Hiperbolė y= b0 +b1/x (8)

Jų modeliavimui panaudosime SPP „Statistica“ modulį „Nonlinear Estimation“
Modeliai ir jų pagrindinės kokybės charakteristikos užrašytos 4 lentelėje

4 lentelė
Modeliai ir jų

ų pagrindinės kokybės charakteristikos
Funkcija Modelis R2 F-kriterijus k1=m-1 k2 =n-m F- lentelinė
Tiesė Y=b0+b1*x 0,729887905 16,213 2 12 4,41
Hiperbolė Y= b0 +b1/x 0,713635335 14,952 2 12 4,41
Laipsninė Y= b0 *xb1 0,731683009 16,361 2 12 4,41

Realių pajamų bei užimtų aktyvių gyventojų tarpusavio priklausomybės tiesiniai ir netiesiniai modeliai pavaizduoti 1- 3paveiksluose.

1 pav. Tiesinis modelis 2 pav. Hiperbolės modelis

3 pav.laipsninis modelis

Regression Summary for Dependent Variable: Y (new.sta)
R= ,72988791 R²= ,53273635 Adjusted R²= ,45485908
F(2,12)=6,8407 p<,01041 Std.Error of estimate: 1,2228

St. Err. St. Err.

BETA of BETA B of B t(12) p-level
Intercpt 6,122341 2,523231 2,42639 0,031943
X1 -0,36142583 0,200490368 -0,31801 0,176408 -1,80271 0,096586
X2 0,573401701 0,200490368 0,470914 0,164655 2,859996 0,014354

Analysis of Variance; DV: Y (new.sta)

Sums of Mean

Squares df Squares F p-level
Regress. 20,45707512 2 10,22854 6,840716 0,010408
Residual 17,9429245 12 1,495244
Total 38,40000153

3 UŽDUOTIS

3.1. Globalaus trendo modeliai

Turime duomenis apie šalies žemdirbių namų ūkio pajamas vienam namų ūkio nariui per mėnesį Lt/nariui.

3.1 lentelė
Pradiniai duomenys

Kintamieji 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. 1998m. 1999m. 2000m. 2001m. 2002m. 2003m.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 284,6 286,1 252,6 239,3 249,9 237,1

Užduoties tikslas – remiantis duotais duomenimis sudaryti ir įvertinti tiriamojo rodiklio yt laiko eilutės globalaus trendo modelius (tiesinį, laipsninį ir hiperbolinį) ir geriausiojo pagrindu prognozuoti šio rodiklio lygį.

Su STATISTICA apskaičiuojame teorines bei faktines reikšmes, parametrus b0 ir b1, bei nuokrypius nuo faktinių reikšmių.
Excel programoje naudodami su STATISTICA gautus duomenys apskaičiuojame MSE, RMSE, MAPE.
MSE apskaičiuojame: (1)

RMSE apskaičiuojame: (2)
MAPE apskaičiuojame: ( 3)
Prognozuojame į modelį įrašę prognozuojamos eilutės t reikšmę, t.y. 11.
Intervalą skaičiuojame dešimtai bei prognozuojamai (11) laiko eilutėms, pagal formulę:

(4)

3.2 lentelė
Tiesinio globalaus trendo modelis

prognoz RMSE
t 1 2 .. 10 11 18,51623
yt 230,2 236,9 .. 237,1 MAPE
ŷ 252,2891 252,5582 .. 254,7109 254,98 5,922646
(y-ŷ)** 487,928 245,1787 .. 310,144 3428,506 342,8506
y-ŷ/:y 0,095956 0,066096 .. 0,074276 0,592265 0,059226
Model: y=b0+b1*t suma vid
B0 B1 progn. Intervalas 217,6785 217,9475
252,02 0,269091 291,7434 292,0125

3.1 pav. Tiesinis globalaus trendo modelis

Tiesinio modelio interpretacija : nurodytu laikotarpiu šalies žemdirbių namų ūkių pajamos tenkančios vienam namų ūkio nariui per mėnesį, vidutiniškai padidėdavo 269 Lt( b1 =0,269 tūkst.Lt), kitoms sąlygoms nepakitus.
Laipsninio ir hiperbolinio modelių parametras b1 neinterpretuotinas, kadangi nėra prasmės laiko momentų tėkmę matuoti procentais ar

rba atvirkštiniais dydžiais.

3.3 lentelė
Parabolės modelis

prognoz RMSE
t 1 2 . 10 11 7,774796
yt 230,2 236,9 . 237,1 MAPE
ŷ 229,7077 237,2028 . 241,628 281,65 2,43722
(y-ŷ)** 0,242372 0,091691 . 20,50256 604,4746 60,44746
y-ŷ/:y 0,002139 0,001278 . 0,019097 0,243722 0,024372

suma Vid
Model:Y=b0+b1*t+b2*t**2+b3*t**3+b4*t**4 (new.sta) Intervalas
B0 B1 B2 B3 226,0784 266,1004
246,35 -34,5512 21,15615 -3,4109 0,163607 257,1776 297,1996

3. 2 pav. Parabolės modelis

3.4 lentelė
Hiperbolės modelis

prognoz RMSE
t 1 2 . 10 11 16,73231
yt 230,2 236,9 . 237,1 MAPE
ŷ 232,0821 247,2269 . 259,3428 259,6181 5,270647
y-y^)** 3,542156 106,6451 . 494,741 2799,7 279,97
y-y^/:y 0,008176 0,043592 . 0,093812 0,527065 0,052706

suma vid
Model: Y=B0+B1/t progn. Intervalas

225,8782 226,1535
B0 B1 292,8074 293,0828
262,3718 -30,2897

3.3 pav. Hiperbolės modelis

3.2. Slankiųjų vidurkių ir eksponentiniai modeliai

Turime tuos pačius duomenis t.y. žemdirbių namų ūkių pajamas vienam namų ūkio nariui per mėnesį laiko eilutę (yt )1994-2003m.
Užduoties tikslas – remiantis šiais duomenimis sudaryti tiriamojo rodiklio yt laiko eilutės slankiųjų vidurkių, eksponentinį ir eksponentinį Holto –Vinterio modelius ir jų pagrindu prognozuoti šio rodiklio lygį kitais metais įvertinant modelių kokybę ir prognozės tikslumą. Visais trim atvejais pasirinktini atitinkami modelių parametrai: pradinės laiko eilutės reikšmių skaičius r slankiajam vidurkiui apskaičiuoti, svorio koeficientai ai slankiesiems svertiniams vidurkiams nustatyti, išlyginimo koeficientas taikant eksponentinio išlyginimo būdą, išlyginimo parametrai u ir v modeliuojant Holto – Vinterio metodu.
Prognozuojant slankiųjų vidurkių būdu, tarkim r=3, tuomet slankusis vidurkis apskaičiuojamas kaip ytsl = *(yt +yt-1 +yt-2 ) Pirmoji taip apskaičiuoto slankiojo vidurkio reikšmė fiksuotina t=3 laiko momentu.
Excel programoje naudodami su STATISTICA gautus duomenys apskaičiuojame MSE, RMSE, MAPE.
MSE apskaičiuojame: (1)

RMSE apskaičiuojame: (2)
MAPE apskaičiuojame: ( 3)
Prognozuojame į modelį įrašę prognozuojamos eilutės t reikšmę, t.y. 11.
Intervalą skaičiuojame dešimtai bei prognozuojamai (11) laiko eilutėms, pagal formulę:

(4)

3.5 lentelė
Prognozavimo ir prognozės įvertinimo schema (slankiųjų vidurkių būdas r=3)
Duoti ir skaičiuoti dydžiai 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. . 2002m. 2003m. 2004m. Intervalas
t 1 2 3 4 . 9 10 11 200,685 195,518
Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 249,9 237,1 Prognozė 242,1 293,848 288,682
Ytsl 236,9 240,6 251,7 247,3 242,1 Prognozės paklaidos
Yt+1prog 236,9 240,6 . 259,3 247,3
(Yt-Ytprog)2 320,41 522,88 . 88,98 103,36 Suma 4339,8 Vidurkis MSE
542,47 RMSE 23,29
/Yt-Ytprog/:Yt 0,0703 0,087 . 0,0377 0,043 0,665 0,083 MAPE
8,316

Žinant taškinę prognozę ir vidutinę prognozės paklaidą RMSE, su pasirinktu tikslumu( 95 proc.) įvertintina intervalinė prognozė 2004 m. y11prog (int) 195,5±293,8.
Interpretuojame gautus rezultatus prognozuojant 2004 metais: 95 proc, tikėtina, kad 2004 m. šalies žemdirbių namų ūkio pajamos padidės iki 242,1 tūkst.lt (vienam namų ūkio nariui). Plačiąja prasme, šio rodiklio dydis gali kisti nuo 195,5 iki 293,8 tūkst.Lt. Vidutinė procentinė paklaida (MAPE) neviršija 10proc., vadinasi, prognozės kokybė yra gera.
Faktiniai, suvidurkinti slankiųjų vidurkių būdu ir prognoziniai duomenys grafiškai pavaizduoti 3.4 paveiksle.

3.4 pav. Faktinis ir prognozuojamas namų ūkių pajamos 1 ūkio nariui per mėnesį
1994-2004m. (slankiųjų vidurkių būdas, r=3)

Prognozuojant slankiųkų vidurkių būdu, kai r=5, slankusis vidurkis apskaičiuotinas pagal tokią schemą:
Ytsl = (y1 +yt-1 +yt-2 +yt-3+yt-4 ) (5)
Pirmoji pagal pastarąją formulę nustatyta slankiojo vidurkio reikšmė fiksuotina t=5 laiko momentu. Taškinės bei intervalinės prognozės bei jos tikslumo charakteristikos parodytos 3.6 lentelėje
3.6 lentelė
Prognozavimo ir prognozės įvertinimo schema (slankiųjų vidurkių būdas r=5)
Duoti ir skaičiuoti dydžiai 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. 1998m. 1999m. . 2002m. 2003m. 2004m. Intervalas
t 1 2 3 4 5 6 . 9 10 11 215,200 205,700
Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 284,6 286,1 249,9 237,1 Prognozė 253,0 309,799 300,299
Ytsl 263,5 254,0 265,18 262,5 253,0 MAPE
8,764%
Yt+1prog 263,5 254,0 265,2 262,5
(Yt-Ytprog)2 445,21 1030,4 234,7 645,2 Suma 3355,90 Vidurkis MSE
559,32 RMSE
23,65
/Yt-Ytprog/:Yt 0,0741 0,1122 0,0613 0,1071 0,526 0,087

Tiriamojo yt prognozės intervalas y11prog =205,7 ±309,7 yra siauresnis, o vidutinės prognozės paklaidos RMSE ir MAPE yra didesnės negu ankstesnioje lentelėje, vadinasi šio modelio prognozės kokybė yra blogesnė

3.5 pav. Faktinis ir prognozuojamas namų ūkių pajamos 1 ūkio nariui per mėnesį
1994-2004m. (slankiųjų vidurkių būdas, r=5)

Prognozuojant slankiųjų svertinių vidurkių būdu kai r=4, o svorio koeficientai a atitinkamai yra lygūs 0,4, 0,3, 0,2, 0,1, slankusis vidurkis skaičiuotinas pagal tokią formulę:
Ytsl = 0,4yt +0,3yt-1 +0,2yt-2 +0,1yt-3 (6)
3.7 lentelė
Prognozavimo ir prognozės įvertinimo schema (slankiųjų svertinių vidurkių būdas r=4;0,4;0,3;0,2;0,1)
Duoti ir skaičiuoti dydžiai 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. 1998m. 1999m. . 2002m. 2003m. 2004m. Intervalas
t 1 2 3 4 5 6 . 9 10 11 207,412 199,463
Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 284,6 286,1 249,9 237,1 Prognozė 242,93 294,347 286,397
Ytsl 254,8 252,24 267,54 278,0 250,88 242,93 MAPE
7,546
Yt+1prog 254,8 252,24 267,54 257,18 250,88
(Yt-Ytprog)2 75,69 1047,17 344,47 52,99 189,88 Suma 3306,48 Vidurkis MSE
472,35 RMSE
21,73
/Yt-Ytprog/:Yt 0,033 0,114 0,065 0,029 0,058 0,528 0,0754

Tiriamojo yt prognozės intervalas y11prog(int) 199,4 ± 294,3 yra platesnis, o vidutinės prognozės paklaidos RMSE ir MAPE yra mažesnės negu prieš tai buvusiame pavyzdyje, ir priešingai,- intervalas siauresnis, o paklaidos mažesnės negu pirmajame. Vadinasi, ši prognozė geresnė už pimąją. Namų ūkių pajamų prognozės modelio grafikas pavaizduotas 3.6 paveiksle.

3.6 pav. Faktinis ir prognozuojamas namų ūkių pajamos 1 ūkio nariui per mėnesį
1994-2004m. (svertinių vidurkių būdas, r=4, a=0,4;0,3;0,2;0,1 )

Ieškant geriausio prognozės modelio taikytinas eksponentinis būdas. Sakykime eksponentinio išlyginimo koeficientas a=0,33. Tuomet laiko momentu t eksponentinį slankųjį vidurkį apskaičiuojame taip:
Ytsl =0,33yt +(1-0,33)yt-1sl (7)

Eksponentinio prognozavimo ir prognozės tikslumo įvertinimo charakteristikos pavaizduotos 3.8 lentelėje, o prognozės modelio grafikas – 3.7 paveiksle.

3.8 lentelė
Prognozavimo ir prognozės įvertinimo schema (eksponentinis būdas a= 0,33)

Duoti ir skaičiuoti dydžiai 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. . 2002m. 2003m. 2004m. Intervalas
t 1 2 3 4 . 9 10 11 209,872 204,444
Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 249,9 237,1 Prognozė 248,13 297,226 291,798
Ytsl 230,2 232,41 239,80 247,62 253,55 248,13 MAPE
7,578
Yt+1prog 230,2 232,41 239,80 255,35 253,55
(Yt-Ytprog)2 44,89 501,267 561,720 29,661 270,569

Suma 4292,26 Vidurkis MSE
476,917 RMSE
21,84
/Yt-Ytprog/:Yt 0,0283 0,0878 0,0899

0,0218 0,0694 0,682 0,0758

Tiriamojo yt prognozės intervalas y11prog (int) 204,4 ± 297,2 yra platesnis, o prognozės tikslumo charakteristikos yra prastesnės negu prieš tai buvusiuose.

3.7 pav. Faktinis ir prognozuojamas namų ūkių pajamos 1 ūkio nariui per mėnesį
1994-2004m. (eksponentinis būdas, a=0,33)

Kaip atskiras laiko eilutės eksponentinio išlyginimo atvejis – Holto – Vinterio metodas – leidžia gauti dar tikslesnę prognozę, kadangi pasižymi didesniu eilutės detalizacijos laipsniu.Šiuo metodu kiekviena išlygintos eilutės reikšmė apskaičiuojama nuosekliai sudedant tam tikrą svorį turinčias einamojo momento yt ir prieš tai buvusio laiko momento yt-1sl bei Tt-1 reikšmes. Holto – Vinterio eksponentinio išlyginimo parametrai u ir v atitinkamai yra lygūs 0,2 ir 0,8. Tuomet laiko momentu t eksponentinį slankųjį vidurkį ir trendą apskaičiuojame taip:

Ytsl=0,2(yt-1sl+Tt-1 )+(1-0,2)yt ir Tt =0,8Tt-1 +(1-0,8)(ytsl –yt-1sl) (8)

Būsimo t +j laiko momento prognozė nustatoma pagal tokias formules:

Lgyt = lgb0 +tlgb1 (9)

B1= ( 10)

Holto –Vinterio eksponentinio prognozavimo ir prognozės tikslumo įvertinimo charakteristikos parodytos 3.9 lentelėje
3.9 lentelė
Prognozavimo ir prognozės įvertinimo schema (Holto-Vinterio metodas))

Duoti ir skaičiuoti dydžiai 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. . 2002m. 2003m. 2004m. Intervalas
t 1 2 3 4 . 9 10 11 230,227 223.692
Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 249,9 237,1 Prognozė 231,215 245,274 238,738
Ytsl 236,9 252,56 263,55 245,59 237,75 MAPE
1,031%
Tt 6,7 11,18 11,084 -5,234 -6,535
(Yt-ŷt )2 0 5,0176 0,0023 18,59 0,4236 Suma 127,353 Vidurkis MSE
14,150 RMSE
3,761
/Yt-ŷt/:Yt 0 0,0088 0,00018 0,01725 0,00275 0,0928 0.0103

Šiuo atveju yt intervalinė prognozė y11prog (int) 223,69 ± 245,27 yra gerokai siauresnė, o prognozės tikslumo charakteristikos yra daug geresnės negu prieš tai buvusių. 3.8 paveiksle parodytas žemdirbių namų ūkių pajamų Holto –Vinterio prognozės modelio grafikas.

3.8 pav. Faktinis ir prognozuojamas namų ūkių pajamos 1 ūkio nariui per mėnesį
1994-2004m. (Holto –Vinterio metodas)

3.3. Autoregresinis modelis

Turime tuos pačius duomenis apie žemdirbių namų ūkio pajamas vienam namų ūkio nariui per mėnesį.

Užduoties tikslas – pagal duotus duomenis sudaryti tiriamojo rodiklio yt laiko eilutės vieno vėlavimo tiesinį autoregresinį modelį ir jo pagrindu prognozuoti šio rodiklio lygį kitais metais įvertinant modelio kokybę ir prognozės tikslumą.
Vieno vėlavimo(kitaip dar – pirmos eilės)tiesinis autoregresinis modelis užrašomas taip:

Ŷt = b0 +b1 yt-1 +b2 yt-2 +br yt-p +e (11)

Modelio parametrai surandami pritaikius mažiausiųjų kvadratų metodą

B1 = ir b0=yt –bt t (12,13)
3.10 lentelė
Autoregresinis modelis
Duoti ir skaičiuoti dydžiai 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. . 2002m. 2003m. 2004m. Intervalas
t 1 2 3 4 . 9 10 11 225,142 216,991
Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 . 249,9 237,1 Prognozė 245,502 282,163 274,012
ŷ 240,732 245,367 256,555 . 246,965 253,652 MAPE 4,867%
(y- ŷ)2 14,688 88,965 48,220 . 8,614 273,986 1828,914 MSE
203,212
(y- ŷ)/:y 0,0162 0,0370 0,02635 0,0117 0,0698 Suma 0,4380 Vidurkis 0,0486 RMSE
14,255

Tiesinio autoregresinio modelio interpretacija. Nagrinėjamu laikotarpiu šalies žemdirbių namų ūkių pajamos, tenkančios vienam namų ūkio nariui per mėnesį vidutiniškai sumažėjo 377,28 Lt (b1 =-0,37728), vienu tūkstančiu Lt sumažėjus prieš tai buvusių metų šio rodiklio lygiui, kitoms sąlygoms nekintant. Autoregresinis modelis yra kokybiškesnis už tiesinį, tačiau mažesnė standartinės bei prognozės paklaidos ir siauresnis prognozės intervalas y11 (int) 217 ±282) liudija apie tikslesnę prognozę lyginant su globalaus trendo modeliais. Pasakytina, kad šis autoregresinis modelis pagal prognozės tikslumo rodiklius ir jos intervalo ydį yra geresnis už visas empiriniu būdu suvidurkintas namų ūkių pajamų rodiklio eilutes, išskyrus Holto – Vinterio metodą.
3.9 paveiksle parodytas žemdirbių namų ūkių pajamų vieno vėlavimo tiesinis autoregresinis prognozės modelis.

3.9 pav. Faktinis ir prognozuojamas žemdirbių namų ūkių pajamos

3.4. Sezoniniai modeliai

Turime pajamų iš žemės ūkio (vienam kaimo namų ūkio nariui per mėn) laiko eilutę (yt) ketvirčiais 1998 – 2002 m.Lt
3.11 lentelė
Pradiniai duomenys
Pa –
jamos 1998 m. 1999 m. 2000 m. 2001 m. 2002 m.

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV
Yt 103,1 67,2 101,4 100,8 83,2 57,9 76,1 89,3 84,9 38,6 75,9 84,3 68,2 45,3 78,2 92,6 70,2 47,9 69,3 83,4

Užduoties tikslas – pagal šiuos duomenis sudaryti tiriamojo rodiklio yt laiko eilutės sezoninius adityvųjį su fiktyviais kintamaisiais modelius bei jų pagrindu prognozuoti kitų metų I-IV ketvirčių šio rodiklio lygį įvertinant modelių kokybę ir prognozės tikslumą.
Modeliuojant antruoju būdu t.y. pasitelkiant 2 – 4 sezonų fiktyvius kintamuosius t2, t3, ir t4 įgyjančius vienetą esant reikšmėms tik iš atitinkamo 2,3 arba 4 periodų, o esant kitoms – nulį ir globalaus trendo kintamąjį t1 t.y. laiko momento eilės numerį, bendra tiriamojo yt raida aprašytina tiesės lygtimi .
Tiesinio regresinio modelio parametras b1 nustatytas statistinių programų paketo „Statistica“ specialiosiomis operacijomis.

Regression Summary for Dependent Variable: VAR1 (new.sta)
R= ,93312821 R²= ,87072827 Adjusted R²= ,83625580
F(4,15)=25,259 p<,00000 Std.Error of estimate: 7,4161

St. Err. St. Err.

BETA of BETA B of B t(15) p-level
Intercpt 94,61 4,237952 22,32446 6,38E-13
VAR2 -0,45516 0,09463 -1,41 0,293145 -4,8099 0,000229
VAR3 -0,70614 0,11392 -29,13 4,699477 -6,19856 1,7E-05
VAR4 0,02618 0,114583 1,08 4,726826 0,228483 0,822356
VAR5 0,300345 0,115679 12,39 4,77206 2,596363 0,020245

Modelio interpretacija: Nagrinėjamu laikotarpiu, kitoms sąlygoms nekintant, pajamos iš žemės ūkio (vienam kaimo namų ūkio nariui per mėn) kas kiekvieną penkerių metų ketvirtį vidutiniškai padidėdavo
Šio sezoninio modelio adekvatumo faktinei laiko eilutei prognozės paklaidos RMSE bei MAPE liudija apie gerą prognozės modelio kokybę, tačiau prognozė tikslesnė ir jos intervalas siauresnis prieš tai aprašytame. Prognozės intervalas 2003 m. y21prog (int) 52,2± 77,8, y22prog (int) 21,62±47,3, y23prog (int)50,42± 76,1, y24prog (int) 60,32 ± 86,0
3.10 paveiksle parodytas pajamų iš žemės ūkio (vienam kaimo namų ūkio nariui per mėn) sezoninės prognozės modelis su fiktyviais kintamaisiais.

3.10 pav. Faktinės ir prognozuojamos pajamos iš žemės ūkio
(vienam ūkio nariui per mėn)

Leave a Comment