Ekonometrijos praktiniai darbai

1 UŽDUOTIS

1.1. Duoti duomenys apie N apskrities pienininkystės ūkių pieno savikainą (Y, Lt/t) ir vdutinį metinį primilžį iš karvės (X. t). Sudaryti Y ir X tarpusavio priklausomybės tiesinį ekonometrinį modelį naudojant MS Excel ir jį įvertinti.1.2. Naudojant tuos pačius duomenis SPP „Statistica“ sumodeliuoti tiesinę ir netiesines funkcijas duotų rodiklių tarpusavio priklausomybei bei išreikšti (hiperbolę, parabolę, laipsninę ir rodiklinę).1.1. Tiesinio modelio sudarymas ir įvertinimas Excel ir su Statistica.

1 lentelėPradiniai duomenysY 836 601 636 735 555 570 596 530 436 665 734 936 472 640 626 651 675 665 405 584X 2,8 3,7 3,3 2,6 3,3 3,8 2,4 3,6 4,2 4,4 2,6 3,2 4,3 2,8 3,8 3,7 2,6 4,2 3,8 4,6

Tiesinio pieno savikainos ir karvių produktyvumo priklausomybės modulio sudarymui išspręsime šią lygčių sistemą: nb0 +b1 =b0 +b1 x2 (1)

Parametrų vektoriaus apskaičiavimui sudauginame vektorių y su atvirkštine matrica x.

b= Y*X-12 lentelėje parodytas modelio parametrų apskaičiavimas. 2 lentelėModelio parametrų apskaičiavimasY X yx X 2 Parametrų apskaičiavimai836 2,8 2340,8 7,84 Vektorius Y 2953,5601 3,7 2223,7 13,69 12548636 3,3 2098,8 10,89 Matrica X 20 69,7735 2,6 1911 6,76 69,7 251,69555 3,3 1831,5 10,89 Determinantas X 175,71570 3,8 2166 14,44 Atvirkštinė X 1,432417 -0,39668596 2,4 1430,4 5,76 -0,39668 0,113824 Vektorius b 935,332530 3,6 1908 12,96 -88,359436 4,2 1831,2 17,64

2 lentelės tęsinysY X yx X 2 Parametrų apskaičiavimai665 4,4 2926 19,36 734 2,6 1908,4 6,76 936 3,2 2995,2 10,24 472 4,3 2029,6 18,49 640 2,8 1792 7,84 626 3,8 2378,8 14,44 651 3,7 2408,7 13,69 675 2,6 1755 6,76 665 4,2 2793 17,64 405 3,8 1539 14,44 584 4,6 2686,4 21,16 12548 69,7 42953,5 251,69 SumaVidurkis627,4 3,485 2147,675 12,5845

Pieno savikainos ir karvių produktyvumo priklausomybės tiesinis ekonometrinis modelis: y= 935,322-88,359x

Modelio interpretacija:2003 m. 20 n apskrities pienininkystės ūkiuose pieno primilžiui iš karvės padidėjus 1 tona, pieno savikaina vidutiniškai sumažėja 88,4 Lt, kitoms sąlygoms nekintant.

Santykinio karvių produktyvumo poveikio pieno savikainai įvertinimui apskaičiuojame elastingumo koeficientą: (2) E=-0,49081Elastingumo interpretacija:2003 m. 20 N apskrities pienininkystės ūkių pieno primilžiui iš karvės padidėjus 1%, pieno savikaina vidutiniškai sumažėja 0,49% c.p.

Modelio kokybės įvertinimui apskaičiuosime determinacijos koeficientą bei F ir t kriterijus pagal šias formules:

(3)R2 = (4)

(5) tb1 = µb1 = 3 lentelėModelio kokybės rodiklių apskaičiavimasŷ (ŷ -y)2 (y-y)2 (y- ŷ)2 Kokybės rodiklių apskaičiavimai687,9260714 3663,405315 43513,96 21925,888 R2 =0,22909608,4027659 360,8949026 696,96 54,800943 F=5,349643,7464572 267,206664 73,96 60,0076 µb1 =38,20451705,597917 6114,914227 11577,76 864,48248 tb1 =2,31279643,7464572 267,206664 5241,76 7875,9337 599,5668431 774,6846234 3294,76 874,19821 723,2697627 9191,011396 985,96 16197,592 617,2386887 103,2522463 9486,76 7610,5888 564,2231518 3991,31415 36633,96 16441,177 546,5513061 6536,511301 1413,76 14030,093 705,597917 6114,914227 11363,56 806,67832 652,5823801 634,1522654 95233,96 80325,547 555,387229 5185,839193 24149,16 6953,43 687,9260714 3663,405315 158,76 2296,9083 599,5668431 774,6846234 1,96 698,71178 608,4027659 360,8949026 556,96 1814,5244 705,597917 6114,914227 2265,76 936,23253 564,2231518 3991,31415 1413,76 10155,973 599,5668431 774,6846234 49461,76 37856,256 528,8794605 9706,296708 1883,56 3038,2739 12548 68591,50172 299408,8 230817,3 Suma627,4 3429,575086 14970,44 11540,865 Vidurkiai

Išvados: 1. Determinacijos koeficientas R2 = 0,23 parodo, kad karvių produktyvumo kitimas nagrinėtuose 20 ūkių pieno savikainos kitimą lėmė 23% likusi dalis(77%) teko modelyje nenagrinėtiems veiksniams ir atsitiktinėms priežastims.

2. Apskaičiavus F kriterijus (F= 5,4) rodo, kad 95% šį ekonometrinį modelį galime laikyti statistiškai pagrįstu, nes jo reikšmė yra didesnė už kritinę ( F0,05 1, 18)= 4,413. Apskaičiuotasis parametras b1 t kriterijus (t b1 = 2,31) rodo,kad šis modelio paramtras yra 95% statistiškai pagrįstas, nes jis yra didesnis už kritinę reikšmę.(t0,05 ; 18=2,1)

Pasiteisinus modelio kokybei statistinės išvados pritaikytinos visumai apskaičiuojant parametro b1 pasikkliautinąjį intervalą: (6) -164,77≤-11,95

Išvada: 2003 m. 20 šalies pienininkystės ūkiuose karvių produktyvumui padidėjus 1 t, pieno savikaina 95% tikėtina sumažėja nuo 164,77Lt iki 11,95 Lt.

1.2. Karvių produktyvumo ir pieno savikainos laipsninio, hiperbolės, parabolės ir rodiklinio modelių funkcijos yra šios:

Laipsninė y= b0 *xb1 (7) Hiperbolė y= b0 +b1/x (8) Parabolė y=b0 +b1x+b2x2 (9) Rodiklinė y=b0*b1x (10)

Jų modeliavimui panaudosime SPP „Statistica“ modulį „Nonlinear Estimation“Modeliai ir jų pagrindinės kokybės charakteristikos užrašytos 4 lentelėje 4 lentelėModeliai ir jų pagrindinės kokybės charakteristikosFunkcija Modelis R2 F-kriterijus k1=m-1 k2 =n-m F- lentelinėTiesė Y=b0+b1*x 0,22909 5,349 1 18 4,41Hiperbolė Y= b0 +b1/x 0,2149 4,927 1 18 4,41Parabolė Y=b0+b1x+b2x2 0,20 5,34 2 17 4,41Laipsninė Y= b0 *xb1 0,2212 5,11 1 18 4,41Rodikllinė Y=b0*b1x 0,2290 5,346 1 18 4,41

Karvių produktyvumo ir pieno savikainos tarpusavio priklausomybės tiesiniai ir netiesiniai modeliai pavaizduoti 1- 5 paveiksluose.

1 pav. Tiesinis modelis

2 pav. Hiperbolės modelis 3 pav.Parabolės modelis

4 pav. Laipsninis modelis 5 pav. Rodiklinis modelis

Išvada: Pagal šių modelių kokybės rodiklius vadybiniais tikslais arba prognozavimui parinktinas tiesinis modelis, kadangi jo R2 didžiausias be to F gerokai viršija kritinę reikšmę.

Statistica ataskaita R= ,47863326 R²= ,22908980 Adjusted R²= ,18626145 F(1,18)=5,3490 p<,03277 Std.Error of estimate: 113,24 St. Err. St. Err. BETA of BETA B of B t(18) p-levelIntercpt 935,3319 135,5291346 6,901334636 1,87771E-06X -0,47863 0,20695 -88,3592 38,20451428 -2,312795489 0,032767672

“Statistica” ataskaita Sums of Mean Squares df Squares F p-levelRegress. 68591,5 1 68591,5 5,349022865 0,032767672Residual 230817,3 18 12823,18 Total 299408,8

2 UŽDUOTIS

1. Duoti duomenys apie 15 regionų vidutines realiąsias pajamas(y), žemės ūkyje užimtų aktyvių gyventojų procentinę dalį bendrame aktyvių gyventojų skaičiuje (x1 ) ir mokytųsi metų skaičių (x2 ). Sudaryti y ir x1 bei x2 tarpusavio priklausomybės tiesinį ekonometrinį modelį ir jį įvertinti (Excel–yje)2. Naudojant tuos pačius duomenis SPP“ Statistica“ sumodeliuoti tiesinį ir pačių pasirinktų formų netiesinius modelius duotų rodiklių tarpusavio priklausomybei išreikšti. Modeliavimo rezultatus užrašyti lentelėje.

2.1. Tiesinio modelio sudarymas ir įvertinimas Excel ir su Statistica 1 lentelėPradiniai duomenysY 8 9 9 8 8 13 9 8 10 11 11 12 9 10 12X1 9 9 7 6 10 4 5 5 6 7 6 4 8 5 8X2 9 13 11 11 12 16 11 11 12 14 11 15 15 10 13

 = n +  +  +  +…….+   =  +  +  +  +…….+  (1)  =  +  +  +  +…….+ 

Parametrų vektoriaus apskaičiavimui sudauginame vektorių y su atvirkštine matrica x.

b= Y*X-1

2 lentelėje parodytas modelio parametrų apskaičiavimas.

2 lentelėModelio parametrų apskaičiavimas Y X1 X2 X1*x2 X1 2 X2 2 Y*x1 Y*x2 Parametrų apskaičiavimai 8 9 9 81 81 81 72 72 Vektorius y 9 9 13 117 81 169 81 117 147,00 9 7 11 77 49 121 63 99 950,00 8 6 11 66 36 121 48 88 1833,00 8 10 12 120 100 144 80 96 Matrica X 13 4 16 64 16 256 42 208 15 99 184 9 5 11 55 25 121 45 99 99 703 1205 8 5 11 55 25 121 40 88 184 1205 2314 10 6 12 72 36 144 60 120 Determinantas X 11 7 14 98 49 196 77 154 41033 11 6 11 66 36 121 66 121 Atvirkštinė X 12 4 15 60 16 225 48 180 9 8 15 120 64 225 72 135 10 5 10 50 25 100 50 100 12 8 13 104 64 169 96 156 Vektorius bSuma 147 99 184 1205 703 2314 950 1833 6,122341Vidurkis 9,8 6,6 12,26667 80,333 46,8666 154,2667 63,333 122,2 -0,31801 0,470914

Vidutinių realių pajamų ir žemės ūkyje užimtų aktyvių gyventojų dalies tiesinis ekonometrinis modelis: y= 6,12-0,32×1 +0,47×2

Modelio interpretacija:2003 m. 15 regionų realiosioms pajamoms padidėjus 1 Lt, savikaina vidutiniškai sumažėja 32 Lt, kitoms sąlygoms nekintant.

Santykinio realių pajamų poveikio žemės ūkyje užimtų gyventojų įvertinimui apskaičiuojame elastingumo koeficientą: (2) E=-0,21417 E=0,589443Elastingumo interpretacija:2003 m. 15 šalies regionų realiosioms pajamoms padidėjus 1%, užimtų gyventojų vidutiniškai padidėja 0,58% c.p.

Modelio kokybės įvertinimui apskaičiuosime determinacijos koeficientą bei F ir t kriterijus pagal šias formules:

(3) (4)

(5)

3 lentelėModelio kokybės rodiklių apskaičiavimasŷ (ŷ -y)2 (y-y)2 (y- ŷ)2 Kokybės rodiklių apskaičiavimai7,498452 5,297121 3,24 0,25155 R2 =0,5327369,382107 0,174634 0,64 0,146006 F=6,8407169,076304 0,523735 0,64 0,005822 µb1 =9,394317 0,164579 3,24 1,944119 tb1 =8,593181 1,456412 3,24 0,351864 12,38491 6,681758 10,24 0,378336 9,712329 0,007686 0,64 0,507413 9,712329 0,007686 3,24 2,932071 9,86523 0,004255 0,04 0,018163 10,48905 0,474784 1,44 0,261075 9,394317 0,164579 1,44 2,578219 11,914 4,468979 4,84 0,007397 10,64195 0,708874 0,64 2,695989 9,241415 0,312017 0,04 0,575451 9,700119 0,009976 4,84 5,289451 147 20,45708 38,4 17,94292 Suma9,8 1,363805 2,56 1,196195 Vidurkiai

1.3. Realių pajamų bei žemės ūkyje užimtų gyventojų laipsninio, hiperbolės, parabolės ir rodiklinio modelių funkcijos yra šios:

Laipsninė y= b0 *xb1 (7) Hiperbolė y= b0 +b1/x (8)

Jų modeliavimui panaudosime SPP „Statistica“ modulį „Nonlinear Estimation“Modeliai ir jų pagrindinės kokybės charakteristikos užrašytos 4 lentelėje

4 lentelėModeliai ir jų pagrindinės kokybės charakteristikosFunkcija Modelis R2 F-kriterijus k1=m-1 k2 =n-m F- lentelinėTiesė Y=b0+b1*x 0,729887905 16,213 2 12 4,41Hiperbolė Y= b0 +b1/x 0,713635335 14,952 2 12 4,41Laipsninė Y= b0 *xb1 0,731683009 16,361 2 12 4,41

Realių pajamų bei užimtų aktyvių gyventojų tarpusavio priklausomybės tiesiniai ir netiesiniai modeliai pavaizduoti 1- 3paveiksluose.

1 pav. Tiesinis modelis 2 pav. Hiperbolės modelis

3 pav.laipsninis modelis

Regression Summary for Dependent Variable: Y (new.sta) R= ,72988791 R²= ,53273635 Adjusted R²= ,45485908 F(2,12)=6,8407 p<,01041 Std.Error of estimate: 1,2228 St. Err. St. Err. BETA of BETA B of B t(12) p-levelIntercpt 6,122341 2,523231 2,42639 0,031943X1 -0,36142583 0,200490368 -0,31801 0,176408 -1,80271 0,096586X2 0,573401701 0,200490368 0,470914 0,164655 2,859996 0,014354

Analysis of Variance; DV: Y (new.sta) Sums of Mean Squares df Squares F p-levelRegress. 20,45707512 2 10,22854 6,840716 0,010408Residual 17,9429245 12 1,495244 Total 38,40000153

3 UŽDUOTIS

3.1. Globalaus trendo modeliai

Turime duomenis apie šalies žemdirbių namų ūkio pajamas vienam namų ūkio nariui per mėnesį Lt/nariui.

3.1 lentelėPradiniai duomenys

Kintamieji 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. 1998m. 1999m. 2000m. 2001m. 2002m. 2003m.t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 284,6 286,1 252,6 239,3 249,9 237,1

Užduoties tikslas – remiantis duotais duomenimis sudaryti ir įvertinti tiriamojo rodiklio yt laiko eilutės globalaus trendo modelius (tiesinį, laipsninį ir hiperbolinį) ir geriausiojo pagrindu prognozuoti šio rodiklio lygį.

Su STATISTICA apskaičiuojame teorines bei faktines reikšmes, parametrus b0 ir b1, bei nuokrypius nuo faktinių reikšmių.Excel programoje naudodami su STATISTICA gautus duomenys apskaičiuojame MSE, RMSE, MAPE. MSE apskaičiuojame: (1) RMSE apskaičiuojame: (2)MAPE apskaičiuojame: ( 3)Prognozuojame į modelį įrašę prognozuojamos eilutės t reikšmę, t.y. 11. Intervalą skaičiuojame dešimtai bei prognozuojamai (11) laiko eilutėms, pagal formulę: (4)

3.2 lentelėTiesinio globalaus trendo modelis prognoz RMSEt 1 2 …. 10 11 18,51623yt 230,2 236,9 …. 237,1 MAPEŷ 252,2891 252,5582 …. 254,7109 254,98 5,922646(y-ŷ)** 487,928 245,1787 …. 310,144 3428,506 342,8506y-ŷ/:y 0,095956 0,066096 …. 0,074276 0,592265 0,059226Model: y=b0+b1*t suma vidB0 B1 progn. Intervalas 217,6785 217,9475252,02 0,269091 291,7434 292,0125

3.1 pav. Tiesinis globalaus trendo modelis

Tiesinio modelio interpretacija : nurodytu laikotarpiu šalies žemdirbių namų ūkių pajamos tenkančios vienam namų ūkio nariui per mėnesį, vidutiniškai padidėdavo 269 Lt( b1 =0,269 tūkst.Lt), kitoms sąlygoms nepakitus.

Laipsninio ir hiperbolinio modelių parametras b1 neinterpretuotinas, kadangi nėra prasmės laiko momentų tėkmę matuoti procentais arba atvirkštiniais dydžiais. 3.3 lentelėParabolės modelis prognoz RMSEt 1 2 … 10 11 7,774796yt 230,2 236,9 … 237,1 MAPEŷ 229,7077 237,2028 … 241,628 281,65 2,43722(y-ŷ)** 0,242372 0,091691 … 20,50256 604,4746 60,44746y-ŷ/:y 0,002139 0,001278 … 0,019097 0,243722 0,024372 suma VidModel:Y=b0+b1*t+b2*t**2+b3*t**3+b4*t**4 (new.sta) IntervalasB0 B1 B2 B3 226,0784 266,1004246,35 -34,5512 21,15615 -3,4109 0,163607 257,1776 297,1996

3. 2 pav. Parabolės modelis

3.4 lentelėHiperbolės modelis prognoz RMSEt 1 2 … 10 11 16,73231yt 230,2 236,9 … 237,1 MAPEŷ 232,0821 247,2269 … 259,3428 259,6181 5,270647y-y^)** 3,542156 106,6451 … 494,741 2799,7 279,97y-y^/:y 0,008176 0,043592 … 0,093812 0,527065 0,052706 suma vidModel: Y=B0+B1/t progn. Intervalas 225,8782 226,1535B0 B1 292,8074 293,0828262,3718 -30,2897

3.3 pav. Hiperbolės modelis

3.2. Slankiųjų vidurkių ir eksponentiniai modeliai

Turime tuos pačius duomenis t.y. žemdirbių namų ūkių pajamas vienam namų ūkio nariui per mėnesį laiko eilutę (yt )1994-2003m.Užduoties tikslas – remiantis šiais duomenimis sudaryti tiriamojo rodiklio yt laiko eilutės slankiųjų vidurkių, eksponentinį ir eksponentinį Holto –Vinterio modelius ir jų pagrindu prognozuoti šio rodiklio lygį kitais metais įvertinant modelių kokybę ir prognozės tikslumą. Visais trim atvejais pasirinktini atitinkami modelių parametrai: pradinės laiko eilutės reikšmių skaičius r slankiajam vidurkiui apskaičiuoti, svorio koeficientai ai slankiesiems svertiniams vidurkiams nustatyti, išlyginimo koeficientas taikant eksponentinio išlyginimo būdą, išlyginimo parametrai u ir v modeliuojant Holto – Vinterio metodu.Prognozuojant slankiųjų vidurkių būdu, tarkim r=3, tuomet slankusis vidurkis apskaičiuojamas kaip ytsl = *(yt +yt-1 +yt-2 ) Pirmoji taip apskaičiuoto slankiojo vidurkio reikšmė fiksuotina t=3 laiko momentu. Excel programoje naudodami su STATISTICA gautus duomenys apskaičiuojame MSE, RMSE, MAPE. MSE apskaičiuojame: (1) RMSE apskaičiuojame: (2)MAPE apskaičiuojame: ( 3)Prognozuojame į modelį įrašę prognozuojamos eilutės t reikšmę, t.y. 11. Intervalą skaičiuojame dešimtai bei prognozuojamai (11) laiko eilutėms, pagal formulę: (4)

3.5 lentelėPrognozavimo ir prognozės įvertinimo schema (slankiųjų vidurkių būdas r=3)Duoti ir skaičiuoti dydžiai 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. … 2002m. 2003m. 2004m. Intervalas

t 1 2 3 4 … 9 10 11 200,685 195,518Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 249,9 237,1 Prognozė 242,1 293,848 288,682Ytsl 236,9 240,6 251,7 247,3 242,1 Prognozės paklaidosYt+1prog 236,9 240,6 … 259,3 247,3 (Yt-Ytprog)2 320,41 522,88 … 88,98 103,36 Suma 4339,8 Vidurkis MSE542,47 RMSE 23,29/Yt-Ytprog/:Yt 0,0703 0,087 … 0,0377 0,043 0,665 0,083 MAPE8,316

Žinant taškinę prognozę ir vidutinę prognozės paklaidą RMSE, su pasirinktu tikslumu( 95 proc.) įvertintina intervalinė prognozė 2004 m. y11prog (int) 195,5±293,8.Interpretuojame gautus rezultatus prognozuojant 2004 metais: 95 proc, tikėtina, kad 2004 m. šalies žemdirbių namų ūkio pajamos padidės iki 242,1 tūkst.lt (vienam namų ūkio nariui). Plačiąja prasme, šio rodiklio dydis gali kisti nuo 195,5 iki 293,8 tūkst.Lt. Vidutinė procentinė paklaida (MAPE) neviršija 10proc., vadinasi, prognozės kokybė yra gera.Faktiniai, suvidurkinti slankiųjų vidurkių būdu ir prognoziniai duomenys grafiškai pavaizduoti 3.4 paveiksle.

3.4 pav. Faktinis ir prognozuojamas namų ūkių pajamos 1 ūkio nariui per mėnesį 1994-2004m. (slankiųjų vidurkių būdas, r=3)

Prognozuojant slankiųkų vidurkių būdu, kai r=5, slankusis vidurkis apskaičiuotinas pagal tokią schemą:Ytsl = (y1 +yt-1 +yt-2 +yt-3+yt-4 ) (5)Pirmoji pagal pastarąją formulę nustatyta slankiojo vidurkio reikšmė fiksuotina t=5 laiko momentu. Taškinės bei intervalinės prognozės bei jos tikslumo charakteristikos parodytos 3.6 lentelėje3.6 lentelė Prognozavimo ir prognozės įvertinimo schema (slankiųjų vidurkių būdas r=5)Duoti ir skaičiuoti dydžiai 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. 1998m. 1999m. … 2002m. 2003m. 2004m. Intervalast 1 2 3 4 5 6 … 9 10 11 215,200 205,700Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 284,6 286,1 249,9 237,1 Prognozė 253,0 309,799 300,299Ytsl 263,5 254,0 265,18 262,5 253,0 MAPE8,764%Yt+1prog 263,5 254,0 265,2 262,5 (Yt-Ytprog)2 445,21 1030,4 234,7 645,2 Suma 3355,90 Vidurkis MSE559,32 RMSE 23,65/Yt-Ytprog/:Yt 0,0741 0,1122 0,0613 0,1071 0,526 0,087

Tiriamojo yt prognozės intervalas y11prog =205,7 ±309,7 yra siauresnis, o vidutinės prognozės paklaidos RMSE ir MAPE yra didesnės negu ankstesnioje lentelėje, vadinasi šio modelio prognozės kokybė yra blogesnė

3.5 pav. Faktinis ir prognozuojamas namų ūkių pajamos 1 ūkio nariui per mėnesį 1994-2004m. (slankiųjų vidurkių būdas, r=5)

Prognozuojant slankiųjų svertinių vidurkių būdu kai r=4, o svorio koeficientai a atitinkamai yra lygūs 0,4, 0,3, 0,2, 0,1, slankusis vidurkis skaičiuotinas pagal tokią formulę:Ytsl = 0,4yt +0,3yt-1 +0,2yt-2 +0,1yt-3 (6)3.7 lentelėPrognozavimo ir prognozės įvertinimo schema (slankiųjų svertinių vidurkių būdas r=4;0,4;0,3;0,2;0,1)

Duoti ir skaičiuoti dydžiai 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. 1998m. 1999m. … 2002m. 2003m. 2004m. Intervalast 1 2 3 4 5 6 … 9 10 11 207,412 199,463Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 284,6 286,1 249,9 237,1 Prognozė 242,93 294,347 286,397Ytsl 254,8 252,24 267,54 278,0 250,88 242,93 MAPE7,546Yt+1prog 254,8 252,24 267,54 257,18 250,88 (Yt-Ytprog)2 75,69 1047,17 344,47 52,99 189,88 Suma 3306,48 Vidurkis MSE472,35 RMSE 21,73/Yt-Ytprog/:Yt 0,033 0,114 0,065 0,029 0,058 0,528 0,0754

Tiriamojo yt prognozės intervalas y11prog(int) 199,4 ± 294,3 yra platesnis, o vidutinės prognozės paklaidos RMSE ir MAPE yra mažesnės negu prieš tai buvusiame pavyzdyje, ir priešingai,- intervalas siauresnis, o paklaidos mažesnės negu pirmajame. Vadinasi, ši prognozė geresnė už pimąją. Namų ūkių pajamų prognozės modelio grafikas pavaizduotas 3.6 paveiksle.

3.6 pav. Faktinis ir prognozuojamas namų ūkių pajamos 1 ūkio nariui per mėnesį1994-2004m. (svertinių vidurkių būdas, r=4, a=0,4;0,3;0,2;0,1 )

Ieškant geriausio prognozės modelio taikytinas eksponentinis būdas. Sakykime eksponentinio išlyginimo koeficientas a=0,33. Tuomet laiko momentu t eksponentinį slankųjį vidurkį apskaičiuojame taip:Ytsl =0,33yt +(1-0,33)yt-1sl (7) Eksponentinio prognozavimo ir prognozės tikslumo įvertinimo charakteristikos pavaizduotos 3.8 lentelėje, o prognozės modelio grafikas – 3.7 paveiksle.

3.8 lentelėPrognozavimo ir prognozės įvertinimo schema (eksponentinis būdas a= 0,33)

Duoti ir skaičiuoti dydžiai 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. … 2002m. 2003m. 2004m. Intervalast 1 2 3 4 … 9 10 11 209,872 204,444Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 249,9 237,1 Prognozė 248,13 297,226 291,798Ytsl 230,2 232,41 239,80 247,62 253,55 248,13 MAPE7,578Yt+1prog 230,2 232,41 239,80 255,35 253,55 (Yt-Ytprog)2 44,89 501,267 561,720 29,661 270,569 Suma 4292,26 Vidurkis MSE476,917 RMSE 21,84/Yt-Ytprog/:Yt 0,0283 0,0878 0,0899 0,0218 0,0694 0,682 0,0758

Tiriamojo yt prognozės intervalas y11prog (int) 204,4 ± 297,2 yra platesnis, o prognozės tikslumo charakteristikos yra prastesnės negu prieš tai buvusiuose.

3.7 pav. Faktinis ir prognozuojamas namų ūkių pajamos 1 ūkio nariui per mėnesį1994-2004m. (eksponentinis būdas, a=0,33)

Kaip atskiras laiko eilutės eksponentinio išlyginimo atvejis – Holto – Vinterio metodas – leidžia gauti dar tikslesnę prognozę, kadangi pasižymi didesniu eilutės detalizacijos laipsniu.Šiuo metodu kiekviena išlygintos eilutės reikšmė apskaičiuojama nuosekliai sudedant tam tikrą svorį turinčias einamojo momento yt ir prieš tai buvusio laiko momento yt-1sl bei Tt-1 reikšmes. Holto – Vinterio eksponentinio išlyginimo parametrai u ir v atitinkamai yra lygūs 0,2 ir 0,8. Tuomet laiko momentu t eksponentinį slankųjį vidurkį ir trendą apskaičiuojame taip:

Ytsl=0,2(yt-1sl+Tt-1 )+(1-0,2)yt ir Tt =0,8Tt-1 +(1-0,8)(ytsl –yt-1sl) (8)

Būsimo t +j laiko momento prognozė nustatoma pagal tokias formules: Lgyt = lgb0 +tlgb1 (9)

B1= ( 10)

Holto –Vinterio eksponentinio prognozavimo ir prognozės tikslumo įvertinimo charakteristikos parodytos 3.9 lentelėje3.9 lentelėPrognozavimo ir prognozės įvertinimo schema (Holto-Vinterio metodas))

Duoti ir skaičiuoti dydžiai 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. … 2002m. 2003m. 2004m. Intervalast 1 2 3 4 … 9 10 11 230,227 223.692Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 249,9 237,1 Prognozė 231,215 245,274 238,738Ytsl 236,9 252,56 263,55 245,59 237,75 MAPE1,031%Tt 6,7 11,18 11,084 -5,234 -6,535 (Yt-ŷt )2 0 5,0176 0,0023 18,59 0,4236 Suma 127,353 Vidurkis MSE14,150 RMSE 3,761/Yt-ŷt/:Yt 0 0,0088 0,00018 0,01725 0,00275 0,0928 0.0103

Šiuo atveju yt intervalinė prognozė y11prog (int) 223,69 ± 245,27 yra gerokai siauresnė, o prognozės tikslumo charakteristikos yra daug geresnės negu prieš tai buvusių. 3.8 paveiksle parodytas žemdirbių namų ūkių pajamų Holto –Vinterio prognozės modelio grafikas.

3.8 pav. Faktinis ir prognozuojamas namų ūkių pajamos 1 ūkio nariui per mėnesį1994-2004m. (Holto –Vinterio metodas)

3.3. Autoregresinis modelis

Turime tuos pačius duomenis apie žemdirbių namų ūkio pajamas vienam namų ūkio nariui per mėnesį. Užduoties tikslas – pagal duotus duomenis sudaryti tiriamojo rodiklio yt laiko eilutės vieno vėlavimo tiesinį autoregresinį modelį ir jo pagrindu prognozuoti šio rodiklio lygį kitais metais įvertinant modelio kokybę ir prognozės tikslumą.Vieno vėlavimo(kitaip dar – pirmos eilės)tiesinis autoregresinis modelis užrašomas taip:

Ŷt = b0 +b1 yt-1 +b2 yt-2 +br yt-p +e (11)

Modelio parametrai surandami pritaikius mažiausiųjų kvadratų metodą

B1 = ir b0=yt –bt t (12,13)3.10 lentelėAutoregresinis modelisDuoti ir skaičiuoti dydžiai 1994m. 1995m. 1996m. 1997m. … 2002m. 2003m. 2004m. Intervalast 1 2 3 4 … 9 10 11 225,142 216,991Yt 230,2 236,9 254,8 263,5 … 249,9 237,1 Prognozė 245,502 282,163 274,012ŷ 240,732 245,367 256,555 … 246,965 253,652 MAPE 4,867%(y- ŷ)2 14,688 88,965 48,220 … 8,614 273,986 1828,914 MSE203,212 (y- ŷ)/:y 0,0162 0,0370 0,02635 0,0117 0,0698 Suma 0,4380 Vidurkis 0,0486 RMSE 14,255

Tiesinio autoregresinio modelio interpretacija. Nagrinėjamu laikotarpiu šalies žemdirbių namų ūkių pajamos, tenkančios vienam namų ūkio nariui per mėnesį vidutiniškai sumažėjo 377,28 Lt (b1 =-0,37728), vienu tūkstančiu Lt sumažėjus prieš tai buvusių metų šio rodiklio lygiui, kitoms sąlygoms nekintant. Autoregresinis modelis yra kokybiškesnis už tiesinį, tačiau mažesnė standartinės bei prognozės paklaidos ir siauresnis prognozės intervalas y11 (int) 217 ±282) liudija apie tikslesnę prognozę lyginant su globalaus trendo modeliais. Pasakytina, kad šis autoregresinis modelis pagal prognozės tikslumo rodiklius ir jos intervalo ydį yra geresnis už visas empiriniu būdu suvidurkintas namų ūkių pajamų rodiklio eilutes, išskyrus Holto – Vinterio metodą.

3.9 paveiksle parodytas žemdirbių namų ūkių pajamų vieno vėlavimo tiesinis autoregresinis prognozės modelis.

3.9 pav. Faktinis ir prognozuojamas žemdirbių namų ūkių pajamos

3.4. Sezoniniai modeliai

Turime pajamų iš žemės ūkio (vienam kaimo namų ūkio nariui per mėn) laiko eilutę (yt) ketvirčiais 1998 – 2002 m.Lt3.11 lentelėPradiniai duomenysPa –jamos 1998 m. 1999 m. 2000 m. 2001 m. 2002 m. I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IVYt 103,1 67,2 101,4 100,8 83,2 57,9 76,1 89,3 84,9 38,6 75,9 84,3 68,2 45,3 78,2 92,6 70,2 47,9 69,3 83,4

Užduoties tikslas – pagal šiuos duomenis sudaryti tiriamojo rodiklio yt laiko eilutės sezoninius adityvųjį su fiktyviais kintamaisiais modelius bei jų pagrindu prognozuoti kitų metų I-IV ketvirčių šio rodiklio lygį įvertinant modelių kokybę ir prognozės tikslumą.Modeliuojant antruoju būdu t.y. pasitelkiant 2 – 4 sezonų fiktyvius kintamuosius t2, t3, ir t4 įgyjančius vienetą esant reikšmėms tik iš atitinkamo 2,3 arba 4 periodų, o esant kitoms – nulį ir globalaus trendo kintamąjį t1 t.y. laiko momento eilės numerį, bendra tiriamojo yt raida aprašytina tiesės lygtimi .Tiesinio regresinio modelio parametras b1 nustatytas statistinių programų paketo „Statistica“ specialiosiomis operacijomis.

Regression Summary for Dependent Variable: VAR1 (new.sta) R= ,93312821 R²= ,87072827 Adjusted R²= ,83625580 F(4,15)=25,259 p<,00000 Std.Error of estimate: 7,4161 St. Err. St. Err. BETA of BETA B of B t(15) p-levelIntercpt 94,61 4,237952 22,32446 6,38E-13VAR2 -0,45516 0,09463 -1,41 0,293145 -4,8099 0,000229VAR3 -0,70614 0,11392 -29,13 4,699477 -6,19856 1,7E-05VAR4 0,02618 0,114583 1,08 4,726826 0,228483 0,822356VAR5 0,300345 0,115679 12,39 4,77206 2,596363 0,020245

Modelio interpretacija: Nagrinėjamu laikotarpiu, kitoms sąlygoms nekintant, pajamos iš žemės ūkio (vienam kaimo namų ūkio nariui per mėn) kas kiekvieną penkerių metų ketvirtį vidutiniškai padidėdavoŠio sezoninio modelio adekvatumo faktinei laiko eilutei prognozės paklaidos RMSE bei MAPE liudija apie gerą prognozės modelio kokybę, tačiau prognozė tikslesnė ir jos intervalas siauresnis prieš tai aprašytame. Prognozės intervalas 2003 m. y21prog (int) 52,2± 77,8, y22prog (int) 21,62±47,3, y23prog (int)50,42± 76,1, y24prog (int) 60,32 ± 86,0

3.10 paveiksle parodytas pajamų iš žemės ūkio (vienam kaimo namų ūkio nariui per mėn) sezoninės prognozės modelis su fiktyviais kintamaisiais.

3.10 pav. Faktinės ir prognozuojamos pajamos iš žemės ūkio (vienam ūkio nariui per mėn)