Statika

SĄVOKOS
1 Jėgos veikimo tiesė – linija kurioje yra jėgos veikimo vektorius
2 Jėgų sistema – kūną veikiančių jėgų visuma
3 Laisvas kūnas – kuriam kiti kūnai netrukdo pasislinkti bet kuria kryptimi
4 Ekvivalentinėmis – vad. Jėgų sistemos kurias galima pakeisti vienas kitomis
5 Jėgų sistema yra pusiausvyra, jei jos veikiamas kūnas yra ramybėje arba juda tiesėje tolygiai
6 Atstojamoji jėga – jei ji ekvivalenti jėgų sistemai
7 Atsveriančioji jėga – tokio pat didumo ir toje pat tiesėje, kaip ir atstojamoji esanti jėga tik jos veikimas nukreiptas priešingai
8 Sutelkta jėga – kuri veikia kūno tašką
9 Išskirstytos jėgos – kurios veikia tam tikrą paviršių
10 Kūnų siistema – kurių pusiausvyra tarpusavyje priklauso
11 Išorinės jėgos – tai tokios, kuriomis veikia kūnų sistemą, jai nepriklausantys kūnai
12 Vidinės jėgos – kuriomis sistemos kūnai veikia vienas kitą

AKSIOMOS
1 Dvi standų kūną veikiančios jėgos atsisveria, jei jos: lygaus dydžio, priešingų krypčių ir toje pačioje tiesėje.
2 Jėgų poveikis standžiam kūnui nepasikeis prie jo pridėjus arba atėmus atsisveriančią jėgų sistemą

Iš šių dviejų aksiomų galima daryti sekančią išvadą – jėgos poveikis standžiam kūnui nepasikeis jėgą perstūmus jos veikimo tiesėje į kitą tašką
3 Lygiagretainio taisyklė

2-jų kūnų tašką veikiančių jėgų poveikį galima pakeisti poveikiu vienos jėgos, nukreiptos išš tų 2-jų jėgų sudaryto lygiagretainio įstrižaine

4 Akcijos – reakcijos dėsnis

Du standūs kūnai veikia vienas kitą lygaus dydžio, bet priešingos krypties jėgom
5 Jėgos poveikis deformuojančiam kūnui nepasikeis jam tapus standžiu
6 Inercijos dėsnis
Jei materialaus taško neveikia jėga jis yra rimtyje arba juda tiesiai ir

r tolygiai

RYŠIAI
Viskas kas trukdo kūnui judėti erdvėje, vadinami ryšiais
Kūnai ryšius veikia vad. Aktyviosiomis jėgomis
Ryšiai kūnus veikia priešingos krypties, vad. Reakcijos jėgomis
Šios jėgos priklauso nuo aktyvių jėgų, bei ryšio pobūdžio
Jos yra priešingos krypties, negu judėtų kūnas jei nebūtų ryšio
Reakcijos jėgų ieškojimas yra pagrindinis statikos uždavinys
Sprendžiant uždavinius ryšius atmetam ir pridedam reakcijos jėgas, nagrinėjam laisvo kūno pusiausvyrą
1 Glotnus paviršius (neįvertinama trintis)
2 Glotni briauna (neįvertinama trintis)
3 Lankstus ryšys
4 Cilindrinis šarnyras
5 Rutulinis šarnyras – reakcijos jėgos krypties nežinome, todėl ją skaidome į tris komponentus (x, y, z) ašis
6 Šarnyrinis strypas BC

Taške B sija įtvirtinta strypo BC pagalba, reakcijos jėga pagal strypą
7 Standus įtvirtinimas

Vienintelis atvejis, kai atmetus ryšį, pridedami 3 nežinomieji Ax, Ay, Ma

TRIJŲ JĖGŲ TEOREMA
Jei 3-jų trijų jėgų veikiamas kūnas yra pusiausvyroje jėgos kertasi viename taške Tegu 3-jų jėgų P1, P2, P3 veikiamas kūnas yra pusiausvyroje. Jėgų P2 ir P3 randame atstojamąją OR (3 aksioma)
Kadangi jėgų R ir P1 veikiamas kūnas yra pusiausvyroje, tai pagal 1 aksiomą, jos bus lygaus dydžio, priešingų krypčių ir vienoje tiesėje
Todėl jėgos P1 tiesė eis per tašką O

JĖGOS PROJEKCIJA AŠYJE
Jėgos projekcija ašyje yra skaliarinis dydis turintis kryptį
Jėgos projekcija ašyje yra jėgos ir cos kampo tarp jėgos ir teigiamos ašies krypties sandauga
.

PLOKŠČ. SUSIK. JĖGŲ SIST. PUSIAUSV. SĄL.
Plokščioji susikertančių jėgų sistema, tai visuma, ka

ai jėgų tiesės kertasi viename taške
Susikertančių jėgų sistema P1, P2, P3 – pagal lygiagretainio taisyklę sudėti P1 ir P2, gauname R1, R1 sudedame su P3, gausime atstojamąją R
Gavom, kad R yra susikertančių jėgų atstojamoji einanti per susikirtimo tašką ir lygi sudedamųjų jėgų projekcijų toje ašyje algebrinei sumai

JĖGOS MOMENTAS TAŠKO ATŽVILGIU. VARINJONO TEOREMA
Jėga kūną gali ne tik stumti, bet ir sukti apie tam tikrą tašką – momento centrą
Jėgos momentas – jėgos ir peties sandauga
Petis – statmuo nuvestas iš momento centro į jėgos veikimo tiesę.
1 Jėgos momentas=0, jei momento centras yra jėgos veikimo tiesėje
2 Jėgos momentas nesikeis jėgą perstūmus jos veikimo tiesėje į kitą tašką
3 Jėgos momentas = dvigubam plotui trikampio, kurio viršūnės yra momento centre, jėgos pradžios ir galo taškuose
Varinjono T – atstojamosios jėgos momentas parinkto centro atžvilgiu yra lygus dedamųjų jėgų modulių sumai to paties taško atžvilgiu.
Susikertančiom jėgom P1 ir P2 ir jų atstojamajai R (ją randame pagal lygiagretainio taisyklę 3a.) momento centru paimame tašką O per taškus AO išvesime tiesę, o po to jai statmeną tiesę A‘x. Visas jėgas suprojektuokime į šią tiesę. Momentams rasti pasinaudojame jėgų momentų 3 savybe (trikampio plotu)
Mo(P1) =OA*A‘B‘
Mo(P2)=OA*A‘D‘=OA*B‘C‘
ΣMo(P) =OA*A‘C‘
Atstojamosios R momentas taško O atžvilgiu
Mo(R) =A‘C‘*OA, atstojamoji Mo(R)=ΣMo (P)

DVIEJŲ LYGIAGREČIŲ JĖGŲ SUDĖTIS. JĖGŲ PORA
Reikia sudėti dvi vienos arba priešingų krypčių lygiagrečias jėgas P1 ir P2. Atkarpa AB ┴P1 ir

r P2. Prie P1 ir P2 pridedame laisvai parinktas atsisveriančias jėgas S ir –S. Sudėję P1 su S ir P2 su – S turime dvi susikertančias jėgas R1 ir R2. Jas perkeliame į jų susikirtimo tašką C ir išskaidome į komponentus, kaip ir taškuose A ir B: S‘=S, -S‘=-S, P1‘=P1, P2‘=P2. S‘ ir –S‘ atmetame P1‘ ir P2‘ veikia vienoje tiesėje, tad apskaičiuojame jų atstojamąją R, kuri yra ir P1 bei P2 atstojamoji. Jei P1 ir P2 vienos krypties, tai R=P1+P2; Jei atvirkščiai ir P2>P1, tai R=P2-P1.
Išvada Sudedamų 2 vienos krypties || jėgų atstojamoji veikia tarp sudedamų jėgų; sudedamų dviejų priešingų krypčių || jėgų atstojamoji veikia sudedamų jėgų išorėje už didesniosios sudedamos jėgos.
Atstojamosios veikimo tiesės padėties radimas. Tarkim, kad AB žinomas ir = l, kai taškas A yra momento centras galima parašyti R*AD=P2*AB. Kai sudedamos jėgos vienos krypties, AD=P2l/(P1+P2), kai kryptys priešingos AD=P2l/(P2-P1).
Jei P1 ir P2 moduliai vienodi, tai stačiakampiu, kuriuos gauname sudėdami P1 su S ir P2 su –S atitinkamos kraštinės bus vienodo ilgio ir lygiagrečios. Pridėję prie P1 ir P2 bet kokio didumo jėgas S ir -S gausime dvi vienodo didumo lygiagrečias priešingai nukreiptas jėgas. Vadinasi rasti dviejų vienodo didumo, veikiančių ||tiesėse, bet priešingos krypties jėgų P ir P‘ atstojamosios negalima. Ši jėgų P=-P‘ si
istema vad. Jėgų pora. Atstumas tarp jėgų veikimo tiesių – poros petis. Jėgų veikmo plokštuma – poros plokštuma.
Poros momentas nepriklauso nuo momento centro padėties ir lygus poros jėgos didumo ir peties sandaugai.

EKVIVALENTIŠKOS POROS
Ekvivalentiškomis vad. Poros, kurių poveikis kūnui yra vienodas.
Poros kurių momentai yra vienodo didumo ir ženklo vienodai veikia kūną. Įrodymas: Pora(P,P‘)ir petis AB, poros momentas lygus P*AB. Pridedame dvi atsisveriančias jėgas S, -S, veikiančias tiesėje AB. Sudėję jas su P ir P‘ gauname jėgas Q ir Q‘ ekvivalentiškas P ir P‘. Q ir Q‘ sudaro naują porą.
Pagal Varinjono teoremą apskaičiuojame Q ir Q‘ momentą. Jėgų P, S ir atstojamosios Q momentus centro B atžvilgiu sieja lygybė Q*CB=P*AB – dešinioji lygybės pusė reiškia P ir P‘ momentą, kairioji – Q ir Q‘ momentą. Taigi iš P ir P‘ galima gauti porą Q ir Q‘, kurios momentas tokio pat didumo ir ženklo. Teisingas ir atvirkščias teiginys jei dviejų porų momentai, tai tos poros yra ekvivalentiškos.
Išvados:1 poros veikimas standžiam kūnui nepasikeis, jei porą perkelsime veikimo plokštumoj į kitą vietą.
2 poros veikimas standžiam kūnui nepasikeis, jei nekeisdami poros momento pakeisime ir poros petį, ir poros jėgos didumą.

PLOKŠČIOJI PORŲ SISTEMA, JOS PUSIAUSVYRA
Turim poras, kurių momentai yra M1, M2, M3. Pakeičiame porų jėgų didumus taip, kad visų porų pečiai būtų vienodi ir = l. Poras perkeliame į vieną vietą sutapatindami jų pečius. Gauname vienoje tiesėje veikiančiais porų sistemas. Prilyginame AB=l, kadangi M1=P1l, M2=-P2l, M3=P3l, tai susumavę vienoje tiesėje veikiančias jėgas rasime jėgų sistemų atstojamąsias R=R‘=P1-P2+P3=1/l(m1+M2+M3)
R ir R‘ sudaro atstojamąją porą, jos M=Rl, t.y. M=ΣMi. Atstojamosios poros momentas = sudedamų porų momentų algebrinei sumai. Jei plokščioji porų sistema pusiausvyra, tai M=0. Būtinoji ir pakankama pusiausvyros sąlyga ΣMi=0. Tai tinka bet kokiai porų sistemai.

JĖGŲ SUVEDIMAS Į PASIRINKTĄ CENTRĄ. PUANSO TEOREMA

Puanso teorema.
Jėgos poveikis kūnui nepasikeis, jėgą perkėlus į kitą tašką ir pridėjus porą, kurios momentas lygus perkeliamos jėgos momentui perkeliamo taško atžvilgiu.
Tegu kūną veikia jėga P; taške B atvirkščias jėgos P‘ ir P“ savo didumu lygias jėgas P. Jėgos P ir P“ sudaro porą, kurios momentas M= Pd. Taške B liko veikianti jėga P‘ savo didumu ir kryptimi lygi jėgai P. Galima teigti ir atvirkščiai :jėgos ir poros poveikį galima pakeisti poveikiu vienos jėgos perkeltos į tašką nutolusios nuo pradinio taško atstumu: d=M/P.

PLOKŠČIOSIOS JĖGŲ SISTEMOS REDUKCIJA
Jėgų sistemos pakeitimas jėga ir pora – jėgų sistemos redukcija. Redukuojant jėgų sistemą, jėgas perkeliame į koordinačių pradžią O (redukcijos centras) pagal Puanso t. Gaunama susikertančių jėgų sistema ir porų sistema, kurių momentai yra M1, M2.. Mn. Susikertančios jėgos Pn ekvivalentiškos jėgai R, vad. Sumine jėga. Porų sistema – ekvivalenti porai, kurios momentas vad. Jėgų Pn suminiu momentu O atžvilgiu. Skaičiuodami suminę jėgą gauname Rx=ΣPix, Ry=ΣPiy, jos didumas .
Kampai tarp jėgos R ir ašių Ox ir Oy randami paal cos α=Rx/R, cosβ=Ry/R
Suminis momentas Mo=ΣMo (Pi ).
Bet kaip plokštumoje išdėstytos jėgos ekvivalentiškos suminei jėgai, veikiančiai redukcijos centre ir porai, kurios momentas = suminiam momentui redukcijos centro atžvilgiu.
Galimi atvejai: R=0, M=0, – sistema pusiausvyra, veikiamas kūnas nejuda.
2 R≠0, M=0, – suminė jėga yra jėgų Pn atstojamoji, veikianti taške O
3 R=0, M≠0, – jėgos Pn ekvivalentiškos porai, kurios momentas= suminiam momentui nepriklausančiam nuo O padėties
4 R≠0, M≠0, – sistema ekvivalentiška atstojamajai jėgai, veikiančiai taške, kurio atstumas nuo taško O =M/R. Atstojamoji tokio pat dydžio ir krypties, kaip ir suminė jėga.

PLOKŠČIOSIOS BET KAIP IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ PUSIAUSVYROS SĄLYGOS
ΣPx=0, ΣPy=0, ΣMo=0- bet kaip išdėstytos jėgų sistemos pusiausvyros sąlygos
Jeigu plokščioji jėgų sistema pusiausvyra, visų jėgų projekcijų koordinačių ašyse sumos =0 ir visų jėgų momentų laisvai pasirinkto taško atžvilgiu suma=0. teisingas ir atvirkščias teiginys: jei vienoje plokštumoje veikiančių jėgų sistema tenkina lygybes, ji atsverta.

KŪNŲ SISTEMOS PUSIAUSVYRA
Kūnų sistema – visuma tokių kūnų, kurių judėjimas ir pusiausvyra yra tarpusavyje priklausoma. Ryšiai jungiantys kūnų sistemą vadinami vidiniais. Ryšiai, kuriais kūnų sistema pritvirtinama prie kitų sistemai nepriklausančių kūnų vad. Išoriniais. Kūnų sistemos pusiausvyra tiriama remiantis akcijos – reakcijos aksioma. Pusiausvyrą galima tirt, kaip vientiso standaus kūno, taip ir išskaidyto į atskirus kūnus.

SANTVAROS. SANTVARŲ SKAIČIAVIMAS
Santvara standi konstrukcija sudaryta iš šarnyrais sujungtų tiesių strypų. Šarnyrų centrai vadinami mazgais. Santvara plokščia, jei visų strypų ašys vienoje plokštumoje.
Jėga, veikianti santvaros strypą vadinama įraža.
Skaičiuojant santvaras (ieškant strypų įražų ) daromos prielaidos:
1 Laikoma, kad visi strypai yra tiesūs
2 Neatsižvelgiama į trintį stypus jungiančiuose šarnyruose
3 laikoma kad visos išorinės jėgos veikia tik mazguose, santvaros plokštumoje
4 Nepaisome strypų svorio
Skaičiuojant santvarą pirmiausiai nustatomos atramų reakcijos. Veikiančių jėgų pusiausvyros lygtys PAx=0, By+Ay-Q=0, -Ph-2Qb+3Byb=0, iš čia randama Ax=P, Ay=1/3Q-Ph/3b, By=2/3Q+Ph/3b

MAZGŲ IŠPJOVIMO METODAS
Mazgų išpjovimo metodas – nagrinėjama kiekvieno santvaros mazgo pusiausvyra. Strypai į mazgus veikia jėgomis, kurių didumas lygus įražų didumui. Jėgų kryptys yra priešingos įražų kryptims. Pradedant skaičiuoti laikoma, kad visi santvaros strypai yra tempiami. Skaičiavimą patogiausia pradėti nuo mazgo, kuriame sujungti 2 strypai. Šiam atvejui mazgo A pusiausvyros lygtys:S1cosα+S2-Ax=0, S1sinα+Ay=0 (S1 ir S2 –pirmojo ir antrojo strypų įražos). Kampas α=arctg2h/b.
Žinant reakcijas Ax ir Ay pagal lygtis rasime S1 ir S2. Jei rezultatas teigiamas tai strypas tempiamas, atvirkščiai – strypas gniuždomas. Toliau ieškome pusiausvyros kituose taškuose. Šis būdas nepatogus ieškant įražų tolimesniuose mazguose iškart.

RITERIO METODAS
Santvara tariamai perpjaunama per 3 strypus, kurių įražas rengiamasi apskaičiuoti. Nagrinėjamos dalies būsena turi būti tokia pati, kaip ir prieš perpjaunant santvarą, todėl prie tiriamos santvaros dalies pridedamos jėgos, kuriomis ją veikė pašalinta santvaros pusė.
Sudarant pusiausvyros lygtis parenkame tokios krypties koordinačių ašis ir tokius momentų centrus, kad pusiausvyros lygtyje būtų tik viena nežinoma įraža.

SLYDIMO TRINTIS. OILERIO FORMULĖ
Pridėjus nedidelę jėgą P, kūnas A nejuda dėl egzistuojančios tarp besiliečiančių paviršių trinties jėgos. Didinant jėgą P trinties jėga didėja, tačiau iki tam tikros reikšmės – Kritinės tr. Jėgai P viršijus šią kritinę reikšmę, kūnas A pradeda slysti (judėti)
Kūnas pajuda iš vietos, kai traukos jėga šiek tiek didesnė už didžiausią trinties jėgą(tuo momentu trinties jėga didžiausia)
1 Trinties jėgos didumas nepriklauso nuo besiliečiančių kūnų ploto
2 Esant nedideliems greičiams trinties jėgos didumas nuo greičių nepriklauso; Trinties jėgos kryptis priešinga slydimo krypčiai
3 Trinties jėgos didumas priklauso nuo besiliečiančių kūnų medžiagos ir paviršių glotnumo
4 Didžiausia trinties jėga tiesiai proporcinga spaudžiančios kūnus vieną prie kito normalės jėgos N didumui
Iš čia Fkr=f*N, f – trinties koeficientas priklausantis nuo medžiagų ir jų paviršių glotnumo; N – normalinė reakcija
Oilerio formulė
Imamas diržas apvyniotas apie nejudamą cilindrą. Diržo ir cilindro sąlyčio kampas yra α. Tarkime, kad trinties koeficientas f, vienas diržo galas veikiamas T1, kitas T2 jėgomis. Imamas diržo elementas atitinkantis centrinį kampą Δα. Cilindras jį veikia normaline reakcija ΔN ir trinties jėga f ΔN. Šis elementas veikiamas pašalinto diržo dalių jėgomis T ir T+ΔT, kampas tarp jų Δα. Sutapatinus ašį Oy su diržo elemento simetrijos ašimi sudarome veikiančių jėgų pusiausvyros lygtis.

Kadangi Δα labai mažas,tai cosΔα/2=1, sinΔα/2= Δα/2. Pusiausvyros lygtys perrašomos: ΔT-fΔN=0, ΔN-TΔα-1/2ΔTΔα=0. Antos lygties paskutinis narys atmetamas. Iš supaprastintų lygčių parašome ΔT/Δα=fT, kadangi

, tai gaunama dif. Lygtis dT/T=fdα, kurią suintegravus T1=T2efα

RIEDĖJIMO TRINTIS
Pridėjus nedidelę jėgą P, ratas nepradeda riedėti, Tai galima paaiškinti tuo, kad ratas į šį paviršių liečiasi ne vienu tašku, o tam tikra paviršiaus dalimi, todėl normalinė reakcija N nutolsta nuo centro atstumu k, vad. Riedėjimo trinties koefic. – Normalinė reakcija N ir svoris G, sudaro porą, kuri priešinasi rato riedėjimui.Kad ratas riedėtų, P>N* k/r; r – rato spindulys, k – riedėjimo tr. Koef. Išreškiamas ilgio vienetais. P – reikšmė vad. Kritine. Pkr≤N*k/r – ratas nejuda. Ratas pradės slysti, kai jėgos P didumas pasidarys didesnis už kritinį slydimo trinties jėgos didumą Fkr=f*N. Kadangi k/r daug mažesnis už slydimo tr. Koef. F, tai pasipriešinimas riedėjimui yra daug mažesnis už pasipriešinimą slydimui.

ERDVINĖ
Erdvinė jėgos projekcija ašyje Px=Pcosα, Py=Pcos β, Pz=Pcosγ. . Jėgą P galima išskaidyt į komponentes pagal ašis P=Px+Py+Pz.
Lygybės abi puses skaliariškai padauginame iš ašių vienetinių atitinkamų vektorių (ortų i,j,k). Jėgos projekcija ašyje = jėgos ir ašies skaliarinei sandaugai.

ERDVINĖ SUSIKERTANČIŲ JĖGŲ SISTEMA. JOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOS
Jėgos projekcija bet kurioje ašyje =jėgos ir tos ašies vienetinio vektoriaus skaliarinei sandaugai.
Erdvinės susikertančių jėgų sistemos atstojamosios projekcija bet kurioje ašyje lygi sudedamųjų jėgų projekcijų toje ašyje sumai.
Vektoriškai visas jėgas (P1,P2.Pn) sudėjus gausime jų atstojamąją R. R=ΣPi. Jei susikertančių jėgų sistema atsverta – pusiausvyra, tai visų jėgų projekcijų koordinačių ašyse sumos = 0. tada atstojamoji R=0, ir jos projekcijos ašyse =0 – Tai erdvinės susikertančių jėgų sistemos pusiausvyros sąlygos:ΣPx=0,ΣΡy=0,ΣΡz=0 – tai būtinos ir pakankamos sąlygos.

JĖGOS MOMENTO TAŠKO ATŽVILGIU VEKTORIUS
Erdvėje jėga kūną gali sukti apie bet kurią ašį.
Mo=P*OC=P*rsinφ=rPsinφ
OC= rsinφ |r×P|=rPsinφ; iš čia Mo=|r×P| – momentą erdvėje galima pavaizduoti vektoriumi, kuris yra statmenas (r×P – plokštuma) plokštumai ir nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo (moment. Vekt.) norint r sutapatint su P tą r, reikia sukti kampu mažesniu už 180° prieš laikrodžio rodyklę.
Erdvinės susikertančių jėgų sistemos atstojamosios momentas kurio nors taško atžvilgiu lygus sudedamų jėgų momentų geometrinei sumai.

JĖGOS MOMENTAS AŠIES ATŽVILGIU
Norint rasti P momentus ašių atžvilgiu ieškosime jos komponenčių momentus ašių atžvilgiu.
Jėgos momentas koordinačių ašies atžvilgiu =0, jei jėga lygiagreti ašiai arba jėgos veikimo tiesė kerta ašį (jėga ir ašis – vienoj plokštumoj)
Jėgos momento taško atžvilgiu projekcija ašyje, einančioje per šį tašką = jėgos momentui tos ašies atžvilgiu.
Erdvinės susikertančių jėgų sistemos atstojamosios momentas, kurios nors ašies atžvilgiu = sudedamų jėgų momentų tos pačios ašies atžvilgiu algebrinei sumai.

JĖGŲ POROS MOMENTAS. PORŲ SUDĖTIS IR PORŲ SISTEMOS PUSIAUSVYRA
Poros momentas – vaizduojamas vektoriumi, kuris ┴ poros plokštumai ir nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo smaigalio pora suktų prieš laikrodžio rodyklę. Mo=r1×P-r2×P‘, Mo=(r1-r2)×P, Mo=r×P; – poros momento vektorius M=r×P, nepriklauso nuo pasirinkto taško – laisvasis vektorius.
Galima teigti, kad dviejų susikertančiose plokštumose veikiančių porų suma = porai, kurios momento vektorius = sudedamų porų momentų vektorių geometrinei sumai
Kiekvieną erdvinę porų sistemą galima atvaizduoti momento vektoriais. Šie vektoriai yra laisvieji, tai porų sistemas galima išreikšti momento vektoriais perkeltais į koordinačių pradžią. Momentų vektorių sistemai ekvivalentiško momento vektorius vadinamas porų sistemos suminiu (atstojamuoju) momentu. Erdvinė porų sistema yra pusiausvyra, jei jos suminis momentas = 0 (analogiška erdvinės susikertančių jėgų sistemos pusiausvyros sąlygoms) ΣMx=0, ΣMy=0, ΣMz=0.

ERDVINĖ LYGIAGREČIŲ JĖGŲ SISTEMA
Turint ||skirtingų krypčių jėgas ieškomos jų atstojamosios. Galimi 3 atvejai:
1 Visų jėgų atstojamoji =R
2 Kai priešingų krypčių atstojamosios R1=R2 ir jos veikia skirtingose tiesėse, tai jėgų atstojamųjų sistema ekvivalenti porai.
3 Kai R1=R2 ir jos veikia vienoje tiesėje, tai nagrinėjama jėgų sistema yra atsverta.

ERDVINĖS JĖGŲ SISTEMOS REDUKCIJA
BET KAIP ERDVĖJE IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ PUSIAUSVYRA
Naudodami Puanso teoremą jėgas sukelkime į redukcijos centrą O pridedami poras pavaizduotas laisvaisiais vektoriais kuriuos sukeliame į centrą O. Žinoma, kad susikertanti jėgų sistema ekvivalenti atstojamajai R, kuri randama Rx=ΣPx, Ry=Py, Rz=ΣPz ??????????????
Susikertančių vektorių sistema ekvivalenti Mo, kuri randama projektuojant vektorius į ašis Mx=ΣMxi, My=ΣMyi, Mz=ΣMzi.
Bet kaip išdėstyta jėgų sistemą pakeitėm R (suminė jėga) ir momento vektoriumi Mo (suminis momentas)
Galimi redukavimo atvejai
1 R≠0, Mo=0 – sistema ekvivalenti atstojamajai R, einančiai per redukavimo centrą O
2 R=0, Mo≠0 – sistema ekvivalenti porai
3 R≠0, Mo≠0, R┴Mo – sistema ekvivalenti atstojamajai perkeltai nuo O atstumu Mo/R
4 R≠0, Mo≠0 – sistema atstojamosios neturi, ji vad. Dinaminiu sraigtu
5 R=0, Mo=0 – sistema pusiausvyra, R ir Mo projekcijos ašyse =0.
Tada iš 3 ir 4 lygčių gauname bet kaip išdėstytos jėgų sistemos pusiausvyros sąlygas.
Bet kaip erdvėje išdėstytų jėgų sistema yra atsverta, jei suminė jėga ir suminis momentas = 0; iš čia – ΣΡx=0, ΣΡy=0, ΣΡz=0;ΣMx=0, ΣMy=0, ΣMz=0; o iš čia – Erdvėje jėgų sistema yra atsverta, jei visų jėgų momentų koordinačių ašių atžvilgiu sumos = 0. Remiantis šiomis lygtimis, galime teigti, kad Varinjono teoremą galima taikyti ir bet kaip erdvėje išdėstytoms jėgoms.

LYGIAGREČIŲ JĖGŲ SISTEMOS ATSTOJAMOJI IR ŠIOS SISTEMOS CENTRAS
Dviejų | | jėgų P1 ir P2 atstojamoji – R. Visoms jėgoms pasisukus apie jų veikimo taškus tam tikru kampu, tuo pačiu kampu apie jos veikimo tašką C pasisuks ir R. Įrodome, kad nuo šio kampo nepriklauso ir atstojamosios veikimo taško padėtis. Šioms jėgoms pritaikius Varinjono teoremą, momento centru laikydami tašką C: P1ACsinα-P2CBsinα=0; P1AC=P2CB; AC+CB=AB
Iš šių lygybių galima numatyti taško C padėtį. Tad taško C vieta nepriklauso nuo pasisukimo kampo.
Egzistuoja lygiagrečių jėgų atstojamosios veikimo taškas, kurio padėtis nepriklauso nuo sudedamų jėgų posūkio apie jų veikimo taškus kampo – tai lygiagrečių jėgų centras
C koordinatėms nustatyti taikome Varinjono teoremą ašių atžvilgiu
Rxc=ΣPx, Ryc=ΣPy, Rzc=ΣPz – iš čia lygiagrečių jėgų centro koordinatės Xc=ΣPx/R, Yc=ΣPy/R, Zc=ΣPz/R.

SVORIO CENTRAS
Taškas per kurį eina kūno svorio jėga, esant bet kokiai kūno padėčiai, – kūno svorio centras. Kūno svorio centro koordinatės Xc=ΣGixi/G, Yc=ΣGiyi/G, Zc=ΣGizi/G. Gi – kūno dalelės svoris, Xi, Yi, Zi – jėgos Gi veikimo taško koordinatės.
Jei vienalytis kūnas turi simetrijos plokštumą, jo svorio centras yra toj plokštumoj
Jei vienalytis kūnas turi simetrijos ašį, jo svorio centras yra toje ašyje
Jei vienalytis kūnas turi simetrijos centrą, tai šis centras yra svorio centras
Sukinių ir paviršių Teoremos:
1 Sukant plokščią figūrą apie ašį, esančią figūros plokštumoje ir nekertančią jos gaunamas sukimosi kūnas, kurio tūris =figūros plotui padaugintam iš kelio, kurį nueina figūros svorio centras
2 Sukant plokščią kreivę apie ašį esančią kreivės plokštumoje ir nekertančioje jos gaunamas sukimosi paviršius, kurio plotas = kreivės ilgiui padaugintam iš kelio, kurį nueina kreivės svorio centras

Leave a Comment