Kinematika
Turinys
- 1. Taško judėjimo uždavimo būdai. Trajektorija. Kreivė, kurią erdvėje brėžia judantis taškas vad.trajektorija, tai netrūki linija. Jei trajektorija-tiesė, taško judėjimas vad. tiesiaeigiu, jie kreive-kreivaeigiu. Taško judėjimo dėsnis paprastai nusakomas vienu iš 3 būdų: natūraliuoju, koordinaciniu arba vektoriniu. Natūralusis taimo mas tada kai žinome taško trajektoriją. Trajektorija bendru atveju g.b. 1)erdvinė kreivė f1(x,y,z)=0, f2(x,y,z)=0, trajektoriją galima išreikšti viena lygtimi 2)f(x,y) =0 arba y=y(x). Vien trajektorija nenusako taško padėties, reikia dar žinoti judančio taško padėtį pačioje trajektorijoje. Judėjimo dėsnis išilgai trajektorijos 3)s=s(t). visos lygybės nusako judančio taško padėtį erdvėje. 1 arba 2 ir 3 sistema vad. taško judėjimo dėsnis natūraliuoju pavidalu. Koordinacinis. Judančio taško padėtis bet kuriuo laiko momentu t bus apibrėžta, kai žinomos jo koord, išreikštos laiko t f-jomis 1)x=x(t), y=y(t), z=z(t).jei taškas juda plokštumoje Oxy, tai z=0 ir 2)x=x(t), y=y(t), jei taško judėjimas tiesiaeigis, tai gaunam kad y=0 ir 3)x=x(t). lygtys1,2,3 vad.koordinatinio pavidalo taško judėjimo dėsniu. Vektorinis. Judančio taško C padėtį galima apibrėžti padėties vektoriumi r, nubrėžtu iš koord pradžios taško O į tašką C. Judant taškui C keičiasi vektoriaus r didumas ir kryptis, taigi r yra laiko momento t f-ja: r=r(t), ši f-ja ir vad. vektoriniu taško judėjimo dėsniu
- 2. Vektorinė, natūrali ir koord. taško greičio išraiška. Vektoriniu būdu:taško greitis yra padėties vektoriaus išvestinė laiko atžvilgiu: v=r‘=dr/dt. Natūraliu: v=ds/dt=s‘. koordinatiniu būdu:taško greičio projekcijos koord.ašyse yra lygios jo koord.išvestinėms laiko atžvilgiu:Vx=x‘, Vy=y‘, Vz=z‘. Žinodami greičių projekcijas galime apskaičiuoti greičio didumą:V=šaknis iš Vx2+Vy2+Vz2
- 3. Vektorinė ir koord taško pagreičio išraiška. Taško greičio kitimą apibūdina pagreitis. Taško pagreitis yra pirmoji greičio išvestinė arba antroji padėties vektoriaus išvestinė laiko atžvilgiu: a=v‘=r“. taško pagreičio projekcija kurioj nors ašyje lygi greičio projekcijos toje ašyje išvestinei arba judančio taško koordinatės antrajai išvestinei laiko atžvilgiu: ax=V‘x=x“, ay=Vy=y“, az=Vz=z“. Pagreičio didumas skaičiavimas:a=šaknis iš ax2+ay2+az2
- 4. Natūralios ašys ir taško projekcijos jose. Nrint apskaičiuoti taško, kurio judėjimas apibrėžtas natūraliu būdu, greitį, pakanka rasti jo projekciją trajektorijos liestinėje, bet to nepakanka skaičiuojant pagreitį, tam reikia žinoti pagreičio projekcijas ir kt.koord.ašyse, susijusiose su judančiu tašku. Liestinė yra viena iš tokių koord.ašių. plokštuma einanti per tašką ir statmena liestinei vad.kreivės formaline plokštuma. 152pav, plokštuma NCT –glaustinė plokštuma, BCN-normalinė, BCT-ištiestinė. Viena kitai statmenos ašys CT, CN, CB vad. natūraliomis ašimis. Kai taškas C juda trajektorija, šios ašys juda drauge su tašku C ir jų kryptys tolydžiai kinta. Teigiamas natūr.ašių kryptis apibrėžiame ortais: τ-liestinės ortu, n-svarbiausias normalės ortas, b-binormalės ortas.šiuos ortus sieja lygybė b=τ*n. Atkarpa OC vad.trajektorijos kreivumo spinduliu, su kreivumo centru taške O. Aτ, an ir ab-pagreičio projekcijos liestinėje, svarbiausioje normalėje ir binormalėje. Taško pagreičio projekcija binormalėje visada =0 ir taško pagreitis turi tik 2 komponentus-tangentinį ir normalinį:a=aττ+ann. Tangentinio ir normalinio pagreičio projekcijos natūraliose koord.ašyse:aτ=v‘=s“. an=v*v/ρ. Normalinio pagreičio komponentas statmenas tangentiniam, todėl taško pagreičio didumas a=šaknis iš an2+aτ2. pagreičio kryptį galima nusakyti kampu α tarp trajektorijos liestinėje ir pagreičio vektoriaus. Tg a=an/aτ. Jei <+ tai aτ>0, jei <0, tai aτ<0. greičio it tg pagreičio kryptys arba sutampa arba priešingų krypčių. Normaliais pagreitis išskaičiuojamas iš: an=šaknis a2-aτ2
- 5. Slenkamasis ir sukamasis kūno judėjimas. Slenkamasis vad.toks kūno judėjimas, kai tiesės atkarpa, jungianti bet kuriuos du kūno taškus, per visą judėimo laikotarpį nepakeičia krypties-išlieka pati sau lygiagreti. Slenkančio kūno visų taškų trajektorijos, greičiai ir pagreičiai yra vienodi. Taigi nagrinėjant slenkamąjį jud.kinem. užtenka ištirti to kūno vieno taško judėjimą, todėl slenkančio kūno padėtis, apibrėžiama 3 koord. Standaus kūno sukimasis yra toks judėjimas, kai judančiame kūne yra bent 2 taškai, kurių greičiai =0. tiesė einanti per nejudančiu kūno taškus vad.kūno sukimosi ašimi
- 6. Kūno sukimasis atitinkamai ašies, kampiniai greičiai ir pagreičiai. Kūno sukimosi apie ašį dėsnis:φ=φ(t). kampinis greitis yra posūkio kampo išvestinė laiko atžvilgiu: ω=φ‘. ε=ω‘=φ“-kampinis pagreitis yra pirmojo kampinio greičio arba antroji posūkio kampo išvestinė laiko atžvilgiu. Kadangi ε=dω/dt=dω/dφ*dφ/dt. ε=ω* dω/dt ši formulė taikoma tada, kai žinome kampinio greičio priklausomybė nuo posūkio kampo. Kampinio greičio dimensija yra rad/s, o kampinio pagreičio rad/s2. vsos standžiame kūne nubrėžtos tiesės sukasi vienodu kamp.greičiu ir jų pagreičiai t.p. vienodi. Jeigu kūnas sukasi prieš laikrodžio rodyklės judėjimo kryptį(žiūrint iš ašies oz galo į pradžią) laikoma kad kamp.greitis yra +. Priešingu atveju – -. Kai ω>0 ir ε>0 sukimasis yra greitėjantis, kai ω>0 ir ε<0 lėtėjantis. Jei ω<0 ir ε<0 kūnas sukasi pagal laikrodžio rodyklę greitėdamas, jei ω<0, o ε> 0-lėtėdamas
- 7. Greičiai ir pagreičiai atskirų taškų besisukančio kūno. Posūkio kampas, kampinis greitis ir pagreitis apibūdina viso kūno sukimąsi.besisukančio kūno bet kurio taško greičio didumas = kampinio greičio ir to tako sukimo spindulio R sandaugai: v=ω*R. pgreičio projekcija trajektorijos liestinėje: aτ=ε*R. normalinio pagreičio didumas: an=R*ωω. Normaliais pagreitis an=ω*v. besisukančio kūno bet kiurio taško normaliais pagreitis = vektorių ω ir v vektorinei sandaugai. Visas taško B pagreitis= tagentinio ir noralinio pagreičių geometrinei sumai. Besisukančio kūno taško pagreičio didumas : a=R šaknis ε2+ω4. bet kurio kūno taško greičio ir pagreičio didumai tiesiai proporcingi taško atstumui iki sukimosi ašies
- 8. Sudėtingas kūno judėjimas, sudėjimas greičių ir pagreičių. Jeigu taškas juda atžvilgiu koordinačių sistemos, kuri juda kitos nejudančios koord.sistemos atžvilgiu, tai toks taško judėjimas vad.sudėtiniu. taško judėjimas nejudančios koordinačių sistemos atžvilgiu vad.absoliučiuoju, o judančios sistemos atžvilgiu vad. reliatyviuoju. Keliamuoju jud. Vad.judančios koors.sistemos ir visų su ja nekintamai susijusių taškų judėjimas. Reliatyviąja taško trajektorija vad. kreivė, kuria taškas brėžia judančios koord. Sistemos atžvilgiu. Absoliučia taško trajektorija vad. kreivė, kurią tas taškas brėžia nejudančios koord.sistemos atžvilgiu. Taško, kurio judėjimas sudėtinis, absoliutus greitis lygus keliamojo ir reliatyviojo greičio geometrinei sumai: V=Vk+Vr, kur Vk=V0+ω*r, o Vr=i*dx/dt+j*dy/dt+k*dz/dt. Absoliutus taško pagreitis yra lygus keliamojo, reliatyviojo ir Karioliso pagreičių geometrinei sumai: a=ak+ac+aτ, kur ac-Karioliso pagreitis, jis ac=2ω*Vr, ak=a0+ε*r+ω(ω*r), ar=i*d2x/dt2+j*d2y/dt2+k*d2z/dt2
- 9. Sudėjimas slenkamojo judėjimo
- 10. Sudėjimas sukimo
- 11. Sudėjimas slenkamojo ir sukamojo judėjimo
- 12. Plokščias kūno judėjimas
- 13. Lygtis plokščiojo judėjimo
- 14. Kūno taškų greičių nustatymas
- 15. Teorema apie greičių projekcijas dviejų kūno taškų
- 16. Greičių centras. Imant 2 plokštumas:judančią plokštumą, kurioje yra figūra, ir su šia plokštuma sutampančią nejudančią plokštumą. Plokščios figūros judėjimas tolygus figūros plokštumos slidimui šia nejudančia plokštuma. Kiekvienu laiko momentu judančioje plokštumoje yra taškas, kurio greitis =0. šis taškas vad.greičių centru. Bet kurio figūros taško greitis =greičiui, kuriuo jis sukasi apie greičių centrą. Greičių c.galima surasti žinant okio nors figūros taško greitį ir figūros kampinį greitį. Tam tikru laiko momentu yra tiktai vienas greičių c.. judančios plokštumos taška greičių c.būna tik vieną laiko tarpą, o kitu laiko momentu g.c. yra jau kitame šios plokštumos taše. Dviejų taškų greičių centras yra tų tašų greičiams išvestų statmenų susikirtimo taške. Kai dviejų figūros taškų greičiai tam tikru laiko momentu yra lygiagretūs, į juos nuleisti statmenys nesutampa, tuomet g.c.yra be galo toli. Tokiu laiko momentu figūros kampinis greitis =0
- 17. Kūno taškų pagreičių nustatymas
- 1. Dinamikos aksiomos. Pirmoji:energijos dėsnis. Materialus taškas nejuda arba juda tolygiai ir tiesiaeigiskai kol atsiranda jėgos, kurios priverčia jį pakeisti šia būseną. 2)antras Niutono dėsnis:materialaus tako pagreitis proporcingas tašką veikiančiai ėgai ir nukreiptas jėgos veikimo linkme. 3)akcijos-reakcijos dėsnis:poveikis(akcija) visada lygus atoveikiui(reakcijai), ty dviejų kūnų poveikiai vienas kitam yra vienodo didumo ir priešingai nukreipti 4)geometrinės jėgų sudėties taisyklė: tašką A veikiančių dviejų jėgų vektorius AB lygus P1 ir vektorius AC=P2(žr11pusl pav). poveikis ekvivalentiškas poveikiui vieno jėgos vektorius AD=R, kurį yra lygiagretainio ACDB įstrižainė
- 2. Dalambero principas. Jis įrodė, kad remiantis statikos metodais galima sudaryti lygtis, kurios sieja jėgas, veikiančias judantį materialųjį tašką. Tokiu būdu dinamikos uždaviniai lengviau išsprendžiami. Pagal antra Niutono dėsnį: ma=P.perkėlę abu šios lyties narius į vieną lygybės pusę matome, kad lygybė P+(-ma) =0 atrodo t.p.kaip jėgos P ir vektoriaus –ma pusiausvyros lygtis. Vektorius ф=-ma vad.inercijos jėga, nes jis prikl.nuo mater.taško inertiškumo. Inercijos jėgos kryptis priešinga pagreičio krypčiai. Taigi, material.tašką veikiančios jėgos P ir inercijos jėgos ф geom.suma=0: P+ф=0. vadinasi, prie materialųį tašką veikiančios jėgos P pridėjus inercijos jėgą ф, gaunama atsverta jėgų sistema. Tokiai jėgų sistemai galioja visos statikos teoremos ir pusiausvyros lygtys, šis teiginys ir yra d‘Alambero principas
- 3. T.apie taško judėjimo kiekio pokytį. T: materialaus taško judėjimo kiekio pokytis per kurį nors laikotarpį =tašką veikiančių jėgų impulsų per tą patį laikotarpį geometrinei sumai. Ši T sieja masę, greitį, jėgą ir laiką. Judėjimo kiekio T lygtis išvedama iš taško judėjimo dif.lygties d(mv)/dt=P, suintegravę šią lygtį gausime: mv-mv0=t∫t0 P*dt, čia v0-material.taško greitis pradiniu momentu t0, v-taško greitis momentu t, integralas vad.jėgos impulsu, vektorius mv-materialaus taško judėjimo kiekiu. Jėgos impulsas ir taško judėjmo kikis matuojamas N*s
- 4. T.apie kinetinį taško momentą. T: materialaus taško kinetinio momento kurio nors nejudamo centro atžvilgiu išvestinė laiko atžvilgiu= tą materialų tašką veikiančios jėgos momentui to paties cento atžvilgiu: L0=r*mv, kur Lo=šaknis Lx2+Ly2+Lz2. dydžiai Lx, Ly ir Lz reiškia net tik kinetinio momento projekcijas koord ašyse, bet ir mater.taško kinetinius momentus koord.ašių atžvilgiu
- 5. Darbas ir galingumas. Jėgos darbas padeda paprasčiau išspręsti uždavinius. Elementarus jėgos darbas =jėgos projekcijos trajektorijos liestinėje ir elementaraus kelio ds sandaugai. dA=P*dr Elementaraus darbo didumas=šio tangentinio jgos komponento modulio ir elementaraus kelio sandaugai. Normalionio komponento Pn darbas visada =0. darbo matavimo vienetas-J. Galingumas-tai pajėgumas per tam tikrą laiką atlikti tam tikrą darbą. Galingumas W išreiškimas kaip darbio išvestinė laiko atžvilgiu: W=dA/dt. Galingumas yra jėgos ir jos veikiamo taško greičio skaliarinė sandauga: W=P*v. kai jėga veikia besisukantį kūną apie nejudamą ašį, galingumas išreiškiamas taip:W=M*ω. Esant pastoviam galingumui darbas A=W*t
- 6. T. apie kinetinę taško energiją. Materialaus taško masę, greitį, jėgą ir poslinkį sieja kin e.T. ši T išplaukia iš antrojo Niutono dėsnio. T:materialaus taško kinetinės energijos pokytis kokiame nors kelyje lygus tašką veikiančios jėgos darbui tame pačiame kelyje: mv2/2-mv02/2=ΣA. Čia v0 ir v-materialaus taško greitis pradinėje ir galinėse padėtyse, A-darbas, kurį atlieka tašką veikianti jėga, taškui pereinant iš pradinės padėties į galinę. Dydis mv2/2 vad.mater.taško kin.e
- 7. Taško dinamika atitinkamam judėjimui. Technikoje naud. neinercinė koord.sist. materialaus taško judėjimą neinercinės kord.sis.atžvilgiu formulė:ma=P. įrašę į absoliučio pagreičio reikšmė: a=ak+ar+ac. mak+mar+mac=P. taško reliatyvųjį jud. Neinercinės koord.sist.atžvilgiu aprašo lygtis: mar=P+фk+фc. išvada: taško reliatyviojo jud.lygtis skiriasi nuo absoliučiojo jud.lygčių, tik tuo, kad reliat.jud lygtyse, be taško saveikos su kitais kūnais jėgų, papildomai įeina keliamoji ir Koriolio inercijos jėgos. Remiantis šia išvada formuojama taško dinamikos T: mvr-mvor=t∫0 (P+фk+фc)dt, čia vr-mater.taško reliatyvusis greitis momentu t; vor-šio taško reliatyvusis greitis pradiniu momentu t=0. Atskiri taško reliatyviojo jud.atvejai: 1)judančias ašys nesisuka, ω=0 ir фc=0. tokiu atveju reliatyvųjį taško jud.aprašo lygtis mar=P+фk. 2)judančios ašys slenka tolygiai ir tiesiaeigiškai ω=0, ak=0 ir фc=фk=0, vadinasi, reliatyviųjų taško jud: mar=P. 3)mater.taško, kuris judančių ašių atžvelgiu yra ramybėje, reliat.greitis ir reliat.pagreitis=0: vr=0, ar=0, P+фk=0
- 8. Išorinės ir vidinės jėgos. Poveikio(aktyviąsias) ir atoveikio(reakcijos) jėgas galima suskirstyti į vidines ir išorines. Išorinėmis vad. jėgos, kuriomis takų sitema veikia nepriklausantys tai sistemai taškai, vidinėmis- jėgos, kuriomis sistemos taškai veikia vienas kitą. Savybės: vidinės jėgos veikia poromis tą pačią tiesę vienodu didumu priešingomis kryptimis. Išvada: 1)visų vidinių jėgų geom.suma=0. 2)visų vidinių jėgų momentų laisvai pasirinkto taško atžvelgiu geom.suma=0. vidinės jėgos nėra atsisvėrusios, nes dvi vienodo didumo, bet priešingų krypčių vidinės jėgos veikia ne tą patį, bet skirtingus taškus, galinčius judėti vienas kito atžvilgiu. Jei atstumai tarp standaus kūno taškų yra pastovūs, tai tokio kūno vidinių jėgų darbų suma bet kokiame poslinkyje=0
- 9. T. apie kūno inercijos centro judėjimą. Mex.sistemos dinamikoje svarbi inercijos centro sąvoka. Inercijos arba masės centru vad.taškas, kurio padėties vektorius rc=Σmkrk/m, u mk-mater.taško masė, rk-mater.taško padėties vektorius, m=Σmk-sistemos masė, lygi visų taškų masių sumai. I.c.judėjimo T: inercijos centras juda kaip mater.taškas, kurio masė lygi taškų sistemos masei ir kurį veikia jėga, lygi visų sistemos taškus veikiančių išorinių jėgų geom.sumai. Išvados:1)i.c.juda tiesiaeigiškai ir tolygiai. 2)taškų sistemą veikia tokios išorinės jėgos, kurių goem.suma=0. i.c.judėjiams nepriklauso nuo taškų sistemą veikiančių vidinių jėgų
- 10. T apie sistemos judėjimo kiekį. T.mater.taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis per kokį nors laiko tarpą lygus sistemą veikiančių išorinių jėgų impulsų tuo pačiu laikotarpiu geom.sumai: K-K0=Σ t∫0 Pidt. Sistemos judėjimo kiekis per laiką nekinta
- 11. T apie sistemos kinetinį momentą. dL0/dt=M0(Pi)-ši formulė dif.forma išreiškia sistemos kinetinio momento T: sistemos kinetinio momento kurio nors nejudamo centro atžvilgiu išvestinė laiko atžvilgiu lygi sistemą veikiančių išorinių jėgų momentų to paties centro atžvilgiu geom.sumai. Dažnai patogu remtis kinetinio momento T integraline forma: L-Lo=Σ t∫0 M0(Pi)dt sistemos kinetinio momento nejudamo taško atžvilgiu pokytis per kurį nors laikotarpį =sistemą veikiančių išorinių jėgų momentų impulsų to pateis taško atžvilgiu sumai
- 12. T apie sistemos kinetinę energiją. Sakykime, kad mater.taškų sistemai pereinant iš pradinės į tam tikrą galinę padėtį, taškas, iš pradžių judėjęs greičiu vok, ėmė judėti greičiu Vk. Tada laisvai pasirinkto taško k kin.e.T galime išreikšti šitaip: mkvk2/2-mkvok2/2=Aki+Akv. čia Aki-išorinės jėgos Pki atliktas darbas, taškui pereinant iš pradinės į galinę padėtį; Akv-vidinės jėgos Pkv darbas tame pat kelyje. Nurodytas lygybes galime parašyti visiems sistemos taškams. Jas sudėję gausime: T-To=ΣAi+ΣAv, čia pradinė ir galinė kiin.e.reikšmės randamos iš formulių: To=1/2 Σmk v2ok, T=1/2 Σmk v2k. ši formulė išreiškia mater.taškų sistemos kine.e.T. :sistemos kin.e.pokytis, pasislinkus sistemai iš pradinės į galinę padėtį, lygus atliktų per ši poslinkį išorinių ir vidinių jėgų darbų sumai. Skaičiuodami standaus kūno judėjimą pagal sistemos kin.e.T. turime atsižvelgti tik į išorinių aktyviųjų ir reaktyviųjų jėgų atliekamą darbą, nes vidinių jėgų darbų suma=0
- 13. Dif. lygtis besisukančio kūno. Kūno sukimąsį apie nejudamą ašį apibrėžiq viena lygtis. Norėdami ją sudaryti, standų kūną laikykime mater.taškųsistema. sakykime tašką A sukasi apie ašį Oz. Šio taško masė dm, greitis-v, pagreičio normaliais ir magnetinis komponentai an it aτ. Pagal dalambero principą kūną veikiančios išprinės aktyvios jėgos P1, P2, Pn, guolių reakcijos R1, R2 ir inercijos jėgos dфn=-andm bei dфτ=-aτdm yra pusiausvyros. Vad šių jėgų momentų nejudamos sukimosi ašies Oz atžvilgiu suma=0. išvardytų jėgų pusiausvyros lygtis atrodo taip: M-∫rdфτ=0 →M-ε∫ r*r dm=0→J=∫r*r dm. Vadinasi, prie kūną veikiančių išorinių jėgų momento M pridėję momentą –εJ, gausime dinaminės pusiausvyros lygtį: M-εJ=0. momentas –εJ, atsisveriantis kūną veikiantį išoįrinį momentą M(sukimosi momentą), vad. Inercinės poros momentu. Lygtis εJ=M vad.kūno sukimosi apie nejudamą ašį dif.lygtis. ši lygtis yra diferencialinė, nes kampinis pagreitis lygus kampinio greičio arba antrajai posūkio kampo išvestinei laiko atžvilgiu: ε=ω’=φ”. Taigi kūno inercijos momento sukimosi ašies atžvilgiu ir kampinio pagreičio sandauga lygi sukimosi momentui. Kuo didesnis kūno inercijos momentas, tuo sunkiau paspartinti ar sulėtinti jo sukimąsi, taigi inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu yra besisukančio kūno inertiškumo matas
- 14. T apie besisukančio kūno kinetinę energiją. Padalikime besisukantį kampiniu greičiu ω apie nejudamą ašį kūną į elementarias dalis ir laikykime, kad kūnas yra tokių dalių t.y. mater.taškų sistema. Sakykime, laisvai pasirinkto taško A masė dm, greitis v atstumas O1A nuo taško iki sukimosi ašies Oz=R. šio taško kin.e.:dT=v2dm/2. besisukančio apie ašį Oz kūno kin.e. lygi elementarių kūno dalių kin.e.suma. kadangi, m=ωR, tai T=ωω/2 ∫ R2dm. Integralas šioje formulėje lygus kūno inercijos momentui J sukimosi ašies atžvilgiu. Vadinasi, besisukančio apie nejudamą ašį kūno kiin.e. T=Jω2/2. sistemos kin.e. teoremą pritaikę besisukančiam apie nejudamą ašį kūnui gausime, kad kin.e. T išreiškia formulė: Jωω/2-Jωωo/2=A. čia ω ir ω0 pradinėje ir galinėje padėtyse esančio kūno kampiniai greičiai
- 15. T apie besisukančio kūno kinetinį momentą. Kūna padalinkime į elementarias dalis ir kiekvieną tokią dalį laikykime materialiu tašku. Šitaip sudarytai materialių taškų sistemai taikykime kin.momento T. sakykime, kūne laisvai pasirinkto elemento A masė dm, jo padėtis vektorius r, greitis v, trajektorija-apskritimas, kurio centras O1, kūno kampinis greitis ω. Šio elemento kin.momentas koord.pradž. O atžvilgiu dLo=r*vdm, o viso kūno kin.mom. Lo=∫(r*v)dm. Besisukančio apie nejudamą ašį Oz kūno kin. Momentas koord.ašių atžvilgiu Lo=-iωJxz-jωJyz+kωJz. Kai ašis Oz yra vienalyčio kūno simetrijos ašis, išcentriniai inercijos momentai Jxz ir Jyz tų ašių atžvilgiu lygūs 0 ir kūno kinetinis momentas koord.pr.atžvilgiu išreiškiamas formule: Lo=kωJz. dLx/dt=Mx, dLy/dt, dLz/dt=Mz. Vienalytis kūnas sukasi apie ašį Oz. Tuomet kin.mom.šios ašies atžvilgiu Lz=ωJz, o kin.mom.T išreiškiama formule: ωJ-ωoJ=t∫0 M dt. Čia ω ir ω0-pradinė ir galutinė kamp.greičio reikšmės; M-sukimo momentas
- 16. Heigeno T. dažnai inercijos momentas paprasčiausiai skaičiuojamas naudojantis Heigeno T, kuri sieja kūno inercijos momentus dviejų lygiagrečių ašių atžvilgiu: kūno inercijos momentas kurios nors ašies atžvilgiu lygus jo inercijos momento ašies atžvilgiu, lygiagrečios su duotąja ir einančios per kūno svorio centrą ir kūno masės bei atstumo tarp ašių kvadrato sandaugos sumai. Ši formulė išreiškia Heigenso T:J=Jc+ml*l. kūno inercijos momentas bet kokios ašies atžvilgiu yra teigiamas sk
- 17. Dalambero principas sistemai. Dalambero principas mex.sistemai išplaukia iš lygties: mkr“k=Pki+Pkv. viską perkėlę į dešinę lygybės pusę gausim: Pki+Pkv+фk=0, kur фk-inercijos jėga. Šios lygybės nusako dalambero principa mex.sistemai:prie sistemos taškus veikiančių jėgų pridėjus inercijos jėgas, gaunama atsverta jėgų sistema
- 18. Potencialinis laukas ir jėginė f-ja. Skaičiuodami svorio, tamprumo ir traukos jėgų atliekamus darbus, matome, kad šie darbai nepriklauso nuo jėgų veikimo taškų trajektorijų ir priklauso tik nuo tų jėgų veikimo taškų pradinių bei galinių padėčių, o tamprumo ir traukos jėgų didumai bei kryptys priklauso nuo tų jėgų veikimo taškų koordinačių. Erdvės dalis vad.jėgų lauku, jei joje esančius materialius taškus veikia jėgos, priklausančios tik nuo tų taškų padėčių. Lauko jėgos darbas, kurį ta jėga atlieka jos veikiamo materialaus taško poslinkyje dr, randamas iš: A=∫(Pxdx+Pydy+Pzdz), kur Px, Py, Pz yra f-jos su koord. x,y,z. Lauko jėgos darbas nepriklauso nuo trajektorijos, jei pointegracinis reiškinys tam tikros f-jos U(x,y,z) pilnas diferencialas: Pxdx+Pydy+Pzdz=dU(x,y,z). Vienareikšmė koord.f-ja U=U(x,y,z) vad.jėgos f-ja arba jėgos potencialu. Jėgų laukas vad. potenciniu jei lauko jėgos darbas nepriklauso nuo jėgos veikimo taško trajektorijos ir priklauso tiktai nuo pradinės ir galutinės taško padėties. Lauko jėgos tokiu atveju vad. potencinėmis, tada jų veikiama materialių taškų sistema vad.konservatyviąja. vadinasi potencinis jėgos darbas A=m2∫m1 dU(x,y,z) =U2-U1. čia U1 ir U2-jėgos potencialo reikšmės lauko taškuose m1 ir m2. jėga vad. nepotencine jei jos darbas priklauso nuo trajektorijos pavidalo arba nuo jėgos veikimo taško judėjimo išilgai trajektorijos dėsnio. Jėgos potencialas: U=∫(Pxdx+Pydy+Pzdz)+C
- 19. Potencialinė energija ir mex.e.išsaugojimo dėsnis. Tiriant mater.taško judėjimą potenciniame jėgų lauke vietoj jėgos potencialo naud.potencinės energijos savoka. Mater.taško potenc.e. π=π(x,y,z) vad.lauiko energijos darbas, kurį jį atlieka, taškui pereinant iš vienos padėties į kitą, kurioje jo potencialas laikomas =laisvai pasirinktai konstantai Uo. iš apibrėžimo ir formulės matyti, kad potenc.e. π=Uo-U; čia Uo=Uo(xo,yo,zo) ir U=U(x,y,z)-jėgos potencialo reikšmės pradiniame ir galiniame taškuose. Sitemai pereinant iš pradinės padėties į galutinę sistema veikiančių potencialinių jėgų darbų suma A=U2-U1, čia U2, U1-materialių taškų sistemos jėgų potencialo reikšmės atitinkančios pradinį ir galutinį sistemos padėtis. Materialių taškų sistemos kinetinės e. pokytis, sistemai judant iš vienos padėties į kitą =sumai darbų, kuriuos atlieka šiame poslinkyje sistemą veikiančios jėgos: T2-T1=A, čia T1 ir T2-sistemos kin.e. tuose padėtyse. Iš šios A=π1-π2 ir T2-T1=A formulės galima gauti lygybę T1+π1=T2+π2, kuri reiškia kad materialių taškų sistemos kinetinės ir potencines e. sistema, sistemai darant bet kokį poslinkį, yra pastovi. Šis teiginys vad. mex.e.tvermės dėsniu ir yra atskiras bendrojo e. tvermės dėsnio atvejis
- 20. Virtualių poslinkių principas. Nagrinėjant kūnų sistemos pusiausvyrą įprastiniais statikos metodais reikia išspręsti pusiausvyros lygčių sistemą. Tokios sistemos lygtis sieja aktyviąsias jėgos ir išorinių bei vidinių ryšių reakcijas. Vadinasi, ieškant vienos reakcijos jėgos reikia išspręsti lygčių sistemą į kurią įeina visos nežinomos reakcijų jėgos. Šis sprendimo būdas dažnai nepatogus, daug efektyvesnis kūnų sistemos pusiausvyros tyrimo metodas, pagrįstas virtualiųjų poslinkių principu: jeigu idealiai stacionarinias ir sulaikančiaisiais ryšiais suvaržytą materialių taškų sistemą yra pusiausvyra, tai ją veikiančių aktyvių jėgų virtualiųjų darbų sistema=0. teisingas ir atvirkščias teiginys: jeigu idealiais stacionarinias ir sulaikančiaisiais ryšiais suvaržytą materialių taškų sistemą veikiančių aktyviųjų jėgų virtualiųjų darbų suma=0, tai tokią taškų sistema yra pusiausvyra
- 21. Bendra dinamikos lygtis. Iš dalambero principo ir virtualių poslinkių principo galime sukurti bendrą ir efektyvų dinamikos uždavinių sprendimo metodą. Σk Pk*δrk-Σk mkak*δrk=0,kuri vad bendrąja arba simboline dinamikos lygtimi, ji dar vadinama dalambero ir lagranžo lygtimi. Dalambero ir lagranžo principas:kai materialių taškų sistemos judėjimą riboja stacionariniai holominiai idealūs sulaikantieji ryšiai, aktyviųjų ir inercijos jėgų virtualiųjų darbų suma =0