1. Lagranžo teorema.Jeigu f – ja y= f(x) yra tolydi intervale [a; b] ir šio intervalo vidiniuose tškuose turi baigtines išvest, tai tame intervale bus bent viena argumento reikšmė x= c, tokia kad f(b)– f(a)= f`(c) (b– a), a< c< b. Įrodymas: (brėž 5) Kreivės y= f(x) taške kurio apsisė x= c, pravestoji liestinė yra KL|| AB. Stygos AB kAB= tg. tg= BD/ AD= (f(b)– f(a))/ (b– a). pagal išvest geometrinę prasmę kKL= f`(c), kadangi KL|| AB tai kKL= kAB, f`(c)= (f(b)– f(a))/ (b–a) iš čia f(b)– f(a)= f`(c) (b– a). 2. Lopitalio taisyklė.Yra tokių f – jų kurių reikšmės prie tam tikrų argumento reikšmių tiesiogiai neapskaičiuojamos. Pvz. f(x)= (x2+ 2x– 3)/ (x–1), f(1)= |0/0|. Tokiu atveju f – jos reikšmė nustatoma rybiniu būdu. x1 lim f(x)= x1 lim ((x2+ 2x– 3)/ (x– 1))= x1 lim (((x+ 3)(x– 1))/ (x– 1))= 4. Jeigu skaičiuodami f – jos ribą gauname neapibrėžtumus |0/0| arba |/|, tai tokie neapibrėžti reiškiniai apibūdina atitinkamų f – jos kitimų nagrinėjamo taško x= a, ta prasme, kad trupmenos skaitiklis ir vardiklis kai xa arba nykstamai mažėja arba neapibrėžtai didėja, tada tokios f – jos ribai apskaičiuoti galima taikyti Lopitalio taisyklę: jeigu f – jos f(x) ir (x) yra tolydžios taške x= a ir lygios nuliui begalybėj) turi gaigtines išvestines kurios artimoje taško x= a aplinkoje lygios 0 () tai santykio f(x)/ (x) riba kai xa yra lygi santykio f`(x)/ `(x) ribai kai xa tai yra xa lim f(x)/ (x)= xa lim f`(x)/ `(x) – Lopitalio taisyklė. Lopitalio taisyklė neapibrėžtumui Tarkime turime f-jas f(x) ir g(x), kurios apibrėžtos (a, b). Tarkime g(x) nelygu 0 šiame intervale ir f(x) = g(x) = 0 arba (+ – ∞) tuomet f(x) / g(x) = ( 0/0; ∞/∞ ).
Teorema. Tarkime, kad: 1) funkcijos f(x) ir g(x) yra apibrėžtos intervale (a,b]; 2) lim{x→a}f(x)=0, lim{x→a}g(x)=0; 3) intervale (a, b] egzistuoja baigtinės išvestinės f‘(x) ir g‘(x) ir g‘(x)≠0; 4) egzistuoja riba lim{x→a}f‘(x)/g‘(x)=K tai ir lim{x→a}f(x)/g(x)=K. Lopitalio taisyklė neapibrėžtumui Tarkime turime f-jas f(x) ir g(x), kurios apibrėžtos (a, b). Tarkime g(x) nelygu 0 šiame intervale ir f(x) = g(x) = 0 arba (+ – ∞) tuomet f(x) / g(x) = ( 0/0; ∞/∞ ).Teorema. Tarkime, kad: 1) funkcijos f(x) ir g(x) yra apibrėžtos intervale (a, b]; 2) lim{x→a}f(x)=∞, lim{x→a}g(x)=∞; 3) intervale (a, b] egzistuoja baigtinės išvestinės f‘(x) ir g‘(x), g‘(x)≠0 4) egzistuoja baigtinė riba lim{x→a}f‘(x)/g‘(x)=K tai ir lim{x→a}f(x)/g(x)=K.3. Teiloro formulė.P(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)n, x R (1)P‘(x)=a1+2a2(x-x0)+3a3(x-x0)2+…,P‘‘(x)=2.1a2+3.2a3(x-x0)+4.3a4(x-x0)2+…,P(k)(x)=k!ak+(k+1)k(k-1)…2(x-x0)+(k+2)(k+1)…3(x-x0)2+…Paėmę paskutinėje lygybėje x=x0, gauname lygybę P(k)(x0)=k! ak, t.y. ak=P(k)(x0)/k! (2)Įstatę (2) į (1), gauname: P(x)=P(x0)+P‘(x0)/1!(x-x0)+P’’(x0)/2!(x-x0)2+…+p(n)(x0)/n!(x-x0) – Teiloro formulė polinomams.Teiloro formulė su Lagranšo formos papildomu nariu.Teiloro teorema. Jei funkcija f yra n+1 kartą diferencijuojama kokiame nors intervale (a, b), taškai x0 ir x priklauso šiam intervalui ir x≠x0, tai egzistuoja toks taškas ξ (x0, x) (jei x0 intervale ir f`(x)<0 intervale , tai taškas yra funkcijos f(x) maksimumo taškas. Kai f `(x)<0 intervale ir f `(x)>0 intervale , tai taškas yra funkcijos f(x) minimumo taškas.
Kai x einant per tašką , išvestinė pliuso ženklą keičia į minuso ženklą, tai yra maksimumo taškas; kai minusą keičia pliusu, tai yra minimumo taškas.Įrašę į išvestinę f‘(x) iš pradžių xx0, nustatome išvestinės ženklą taško x0 aplinkoje iš kairės ir iš dešinės nuo jo; jei išvestinė f‘(x) keičia ženklą iš pliuso į minusą, tai čia maksimumas; jei keičia ženklą iš minuso į pliusą, tai mininmumas; o jei ženklo išvis nekeičia, tai ekstremumo visiškai nėra. Teiginys apie funkcijos ekstremumą pagal antrąją išvestinę.Tarkime, kad , o Taškas yra maksimumo taškas, kai ir minimumo taškas, kai Įrašome x0 į antrąją išvestinę f‘‘(x); jei f‘‘(x0)>0, tai funkcija turi minimumą, o jei f‘‘(x0)<0, tai turi maksimumą.Būtina sąlyga – f‘(x0)=0 (jei ji egzistuoja).6. Pirmykštė f-ja.Ap. F-ja F(x) – pirmykštė f-jai f(x) intervale (a,b), jei F‘(x)=f(x), xє[a,b]. ; dF(x)=f(x)dx.T. Jei f-jos F1(x) ir F2(x) yra pirmykštės tai pačiai –jai f(x), intervale (a,b), ta jos gali skirtis tik konstanta.Įr. u=F1(x)-F2(x), u’=F’1(x)-F’2(x)=f(x)-f(x)=0, F1(x)-F2(x)=C.7. Neapibrėžtinių integralų lentelė. Ap. funkcijos f(x) pirmykštė F(x) vadinsime funkciją, kuri tenkina lygybę , x IAp. Neapibrėžtinų integralu nuo funkcijos f(x) žymima vadinsime pirmykščių funkcijų visumą. , kur F(x) pirmykštė funk. f(x)Neapibrėžtinio integralo savybės:1. 2. 3. 4. 5. Neapibrėžtinių integralų lentelė:1. , ; ; ;2. ; ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. ;8. ;9. ;10. ;11. 8. Integravimas pakeičiant kintamąjį.Remiantis sudėtinės f-jos išvestinės sk. Taisykle turesime
Pvz.:1. 2. 9. Dalinis integravimas. ; – tam tikros f-jos; ;
Pvz: 1) Pvz: 2) Dalinio integravimo metodą taikome
žymiai siauresniai f-jų klasiai negu pakeičiant kintamąj. Ir taikome:10. Elementarių racionalių f-jų integravimas. Pvz.1. t=x-a2. t=x-a3. x2+px+q= +q- = t=x+p/2
Integralo integravimasn=1
– rekorentinė formulė
13. Integralai pavidalu Oilerio keitiniai:1. a>0 ;2. c>0 ;3. .14. Diferencialinio binomo integravimas.
m, n, p Q (racionalūs skaičiai)Pvz.: m= a=1 b=2 n=2 p= Tokios funkcijos yra integruojamos tiktai trimis atvejais:1. kai p – sveikas sk. s – BMK skaičių m ir n tuomet pakeitimas
m= n=2= s=4 x= 2. kai – sveikas skaičius: tarkime s yra skaičiaus p vardiklis
s=2 3. kai +p – sveikas sk. s=p vardiklis
s=2 15. Trigonometrinių reiškinių integravimas
R(x,y) – racionali f-jaPvz.:
Nurodysime teiginius, kurių pagalba šio tipo integralai yra suvedami į integralus nuo racionalių f-jų.1. Universalus keitimas
2. R(-x,y)=R(x,y)t=cosx3. R(x,-y)= -R(x,y);t=sinx4. R(-x, -y)=R(x,y)t=tgx;16. Apibreztinio integralo sąvoka. Kreivines trapecijos plotas.Skaičiuojant kreivinės trapecijos plotą, jos pagrindas ab padalinamas į keletą dalių ir ir dalijimo taškuose nubrėžiamos tiesės su Oy ašimi. Toliau kiekvienas gautos kreivinės trapecijos keičiamas stačiakampio plotu, t.y. kreivinės trapecijos plotą prilyginsime laiptuotos figūros plotui. Bet kurio stačiakampio plotą gausime jo pagrindą Δx=xi+1-xi padauginę iš aukštinės yi=f(xi). Padidinę atkarpos ab padalinimų skaičių, riboje gausime tikslų trapecijos ploto reikšmę:
Šiai sumai apibrėžti vokiečių matematikas G. Leibnicas pasiūlė simbolį . Taigi kreivinės trapecijos plotą galima užrašyti taip: Kreivinės trapecijos ploto skaičiavimo sąlyga. Skaičius I yra funkcijos f(x) integralinių sumų riba, kai λ(P) →0, jei kiekvienam ε>0 egzistuoja toks δ>0, kad |I-σ|<ε, jei λ(P)<δ. Rašome
Integralinių sumų ribą , jei ji egzistuoja ir yra baigtinė, vadiname funkcijos f(x) Rymano apibrėžtiniu integralu intervale [a,b]. Jei egzistuoja integralas, tai funkcija vadinama integruojamąja.
17. Darbu sumosAp. f(x) apibrėžta intervale [a , b]. Tarkime {xi} duotos intervalo [a , b] suskaidymas. Apatine Darbų suma vadinsime sumą , kur mi=inf f(x)Viršutinę Darbų suma vadinsime sumą , kur Mi =
R(x,y) + racionali funkcija
18. Rymano integralo egzistavimo sąlyga.T. F-ja f(x) atkarpoje (a,b) integruojama tada ir tik tada, kai egzistuoja suskaidymas {xi}, kad S-s<ε. Įr. Būtinumas. Tarkim, .Tuomet , kai
Iš Darbu sumos apibrėžimo seka, kad S≤σ≤S
.Pakankamumas. Tarkim, išpildyta teoremos sąlyga S-s<ε, . , Pastebėsime, kad , . . Kadangi ε<0, tai . Dabar parodysime, kad apibrėžtinis integralas lygus vienam tų skaičių.
.19. Integruojamų funkcijų klasės1. Teig. Jeigu f(x) yra tolydi uždarame intervale [a; b], tai tuomet egzistuos apibrėžtinis integralas šiame intervale. T. Remiantis Kantoro teorema tolydi funkcija uždarame intervale [a; b] yra tolygiai tolydi. Tai reiškia, kad Suskaidžius intervalą [a; b] taškais {xi} į dalis, kurių ilgiai mažesni už , gauname: (pagal II Vejerštraso teoremą: funkcija uždarame intervale įgyja minimumą ir maksimumą). Tarkime, kad x1 yra minimumo taškas. Taigi gauname, kad , (o x2 yra maksimumo taškas) .Taigi S – s yra kiek norima mažas skaičius, kadangi ε yra kiek norima mažas skaičius, kai , o tai reiškia, kad 2. Teig. Jeigu f(x) yra tolydi uždarame intervale [a; b], išskyrus baigtinį skaičių 1-os rūšies trūkio taškų, tuomet šiai funkcijai egzistuoja apibrėžtinis integralas intervale [a; b].3. Teig. Jeigu f(x) yra monotoniškai mažėjanti arba didėjanti, tai ji irgi yra integruojama intervale [a; b].Tolydi funkcija – tai funkcija tolydi savo apibrėžimo srityje. Pvz.: f(x) = sin .Bus tolydi [2; + ). 20. Apibrėžtino integralo savybėsSakykime, kad f(x) ir g(x) – integruojamos atkarpoje [a; b] funkcijos. Tuomet teisingi šie teiginiai:
1. ; čia – bet kokie realieji skaičiai.Įrodymas:2. Įvesdami apibrėžtinio integralo sąvoką, darėme prielaidą, kad a0) funkcija. Tuomet:
Keisdami kintamąjį apskaičiuokime šiuos integralus:1. . Parinkę keitinį , gausime .2. Apibrėžtinio integralo dalinis integravimas.Tarkim, kad ir – diferencijuojamos atkarpoje [a;b] funkcijos.Tuomet: Integravimo dalimis metodu apskaičiuokime integralus:1. 2.
23. Apibrėžtinio integralo taikymo pavyzdžiai.1. Geometrinis apibrėžtinio integralo taikymas1.1. Figūros ploto apskaičiavimas stačiakampėje koordinačių sistemoje – figūros plotas, kai f(x) atkarpoje [a; b] kelis kartus keičia ženklą – figūros plotas, kai ją riboja dviejų funkcijų f(x) ir g(x) grafikai1.2 Kreivės lanko ilgis
1.3 Kūno tūrio apskaičiavimas pagal skerspjūvio plotą
1.4 Sukamojo kūno tūris
1.5 Sukimosi paviršiaus plotas
2. Mechaninis apibrėžtinio integralo taikymas2.1 Kintamosios jėgos darbas
2.2 Nevienalyčio strypo masė , kur ilginis tankisIr dar kitiems atvejams.25. Kelių kintamųjų f – jos riba ir tolydumas.Duota dviejų kintamųjų f – ja z= f(x, y), keičiant argumentų x ir y reikšmes keisis ir z reikšmė. Jeigu x x0, o y y0 f – jos reikšmė z c, (c= const) tai skaičius c vad f – jos z= f(x; y) riba taške (x0; y0). xx0, yy0 lim f(x, y)= c. Ap skaičius c vad f – jos f(x, y) riba kai x x0 ir y y0 jeigu kiekvienam skaičiui > 0 galim rasti tokį skaičių > 0, kad esant patenkintoms sąlygoms (x–x0)< ir(y–y0)< yra teisinga nelygybė |f(x, y)–c|< . Analogiškas f – jos ribos apibrėžimas butų ir f – joms turinčioms daugiau negu 2 argumentus. Ap. skaičius c vad f – jos u= f(x, y, z… w) riba kai x x0, y y0, w w0, jeigu kiekvienam > 0 galim rasti tokį > 0, kad esant patenkintoms sąlygoms (x–x0)< , (y–y0)< …(w–w0)< yra teisinga nelygybė. |f(x, y, z… w)–c|< , xx0, yy0… ww0 lim f(x, y, z… w)= c. Ribų dėsniai įrodyti vieno kintamojo f – joms tinka ir kelių kintamųjų f – joms.
F – ja z= f(x, y) yra tolydi taške (x0; y0) jeigu xx0, yy0 lim f(x, y)= f(x0, y0). Jos tolydumą taške (x0, y0) galima nusakyti ir naudojant f – jos pokytį. Pažymėkim x= x–x0 o y= y–y0, tada argumentui x davus pokitį x ir argumentui y davus y f – ja įgaus pokitį = f(x+ x, y+ y)–f(x, y). Ap. f – ja z= f(x, y) bus tolydi taške (x0, y0) jeigu x0, y0 lim z= 0. Analigiškai apibrėžiamas tolydumas f – jos turinčios daugiau negu 2 argumentus.26. Kelių kintamųjų tolydžių f-cijų savybės.u=f(x1,x2,…xn)=f(x), x Rn.Apibrėžimas. Kelių intamųjų f-cija u=f(x), kai x R vadiname tam tikra taisykle, kuri bet kokiam taškui x M priskiria vieną reikšmę iš aibės R (priskiria tam tikrą vieną skaičių).Pvz.: M=D(n) –{(x1,x2) R2; f-cijos apibrėžimo sritis.F-cijos tolydumo sąlyga.Apibrėžimas. Sakysime kad skaičius A yra f(x) riba, kai , jeigu bet kokiai sekai {xn}kuri konverguoja prie a skaitinė seka {f{xn}}konverguoja prie vieno ir to pačio skaičiaus A. Pastarasis apibrėžimas yra dažnai naudojamas norint parodyti, kad tam tikra riba neegzistuoja.Pvz.: f(x1,x2) , a=(0;0). ; , Remiantis antruoju apibrėžimu galime teigti kad riba neegzistuoja.Apibrėžimas. Sakysime kad f(x) yra tolydi taške jeigu . Pastaba. Jeigu f-cija yra užduota tam tikra formule (yra elementari f-cija) bus tolydi savo apibrėžimo srityje.Pvz.: , , Kaip suprantamas tolydumas kontūro taške?Jeigu taškas x0 yra nat kontūro f-ciją laikysime tolydžia šiame taške, jeigu bet kuriai sekai {xn} D(f), kuri konverguoja prie taško x0, f-cijos reikšmių seka {f{xn}} konverguoja prie f(x0).28. Sudėtinės f – jos išvestinė.Duota y= f(u), kur u= (x) tada turėsim kad y= f((x)), x – nepriklaus argumentas, u – tarpinis argumentas. Jeigu y= f(u) yra diferenc tarpiniu argumentu u, o u= (x) yra difer nepriklaus argum x, tai argumentui x davus pokitį x, y= (x) įgaus pokitį u kuris savo ruožtu f – jai y= f(u) suteik pokitį y. tada turėsim kad y/ x= (y/ u) (u/ x). tada x0 lim y/ x= (u0 lim y/ u) (x0 lim u/ x). Kadangi u= (x) yra difer taške x, tai ji šiame taške yra tolydi. Pagal f – jos tolydumo apibrėž turėsim, kad x0 lim u= 0, tai yra kai x0, tai ir u0. x0 lim y/ x= (u0 lim y/ u) (x0 lim u/ x). Taigi yx`= yu`ux`. sudėtinės f – jos y= f((x)) išvest pagal x yra lygi šios f – jos išvest pagal tarpinį argumentą u padaugintai iš tarpinio argum išvest pagal nepriklaus argumentą x. ((2x+ 1)3)`=3(2x+ 1)22= 6(2x+ 1)2.29. Neišreikštinių f -jų diferencijavimas.Sakykim kad nepriklaus argum x neišreikšt f – ja y duota ryšio lygtimi F(x; y)= 0 (1). Kad rasti y išvest difer (1) abi puses F`(x; y)= 0 (2) Iš (2) lygties y` randame kaip nežinomąjį. Pvz rasti neišreikš f – jos y išvest kuri duota lygtimi 2xy– sinx+ y2+ 3=0, 2(y+ xy`)– cosx+ 2yy`=0, 2y+ 2xy`– cosx+2yy`=0, y`(2x+ 2y)= cosx– 2y, y`= (cosx– 2y)/ (2x+ 2y).30. Aukštesnių eilių išvestinės ir diferencialai.Duota y= f(x) jos išvestinė y` bendru atveju taip pat yra kintamojo x f – ja. Taigi galime ją diferencijuoti. y` išvestinė vad f – jos antros eilės išvestine žymima y“= dy`/ dx= (y`)`= d2y/ dx2. Difer y“ gaunam f – jos y trečios eilės išvestinę ją žymim y“`= dy“/ dx= (y“)`= d3y/ dx3. Duota y= f(x) jos diferenc dy= y`dx vad pirmos eilės diferenc. Jis bendru atveju taip pat yra x kintamojo f – ja. Todėl galime rasti jos diferenc. Diferenc f – jos dy vad y antros eilės diferenc, žymime d2y= d(dy). d2y= (dy)`dx= (y`dx)`dx= y“dxdx= y“dx2. d2y= y“dx2, taigi y“= d2y/ dx2.32. Kelių kintamųjų f-jos ekstremumas, būtina sąlyga.Ekstremumai, būtinas ekstremumo požymis, stacionariniai taškai.Apibr. Taškas x0 A vadinamas f lokalaus maksimumo tašku, jei yra tokia to taško aplinka V A, kad f(x)≤f(x0) visiems x V; taškas x0 vadinamas funkcijos f lokalaus minimumo tašku, jei yra tokia to taško aplinka V A, kad f(x)≥f(x0) visiems x V. Lokalaus maksimumo ir lokalaus minimumo taškai yra vadinami lokalaus ekstremumo taškais.Tie taškai, kuriuose funkcijos f išvestinė yra lygi nuliui, yra vadinami stacionariaisiais taškais. Taigi tam, kad diferencijuojamai taške x0 funkcijai tas taškas būtų lokalaus ekstremumo taškas, būtina, kad taškas x0 būtų stacionarus taškas.34. Didžiausia, mažiausia kelių kintamųjų f-jos reikšmė.Didžiausios ir mažiausios funkcijų reikšmės ieškojimas.Norint surasti funkcijos didž. ir maž. reikšmes intervale a,b reikia surasti visus kritinius taškus šiai funkcijai intervale a,b prie jų prijungti intervalo galus a ir b ir apskaičiuoti funkcijos reikšmes šiuose taškuose. Sakykime, funkcija f(x) yra apibrėžta ir tolydinė baigtiniame uždarame intervale [a, b]. Apibrėžtumo dėlei sustosime ties didžiausiąja reikšme. Jei ji įgyjama kuriame nors taške tarp a ir b, tai jis kartu bus vienas iš maksimumų (aišku, didžiausiuoju); tačiau didžiausioji reikšmė gali būti įgyjama ir viename iš intervalo galų, a arba b. Vadinasi, reikia palyginti tarpusavyje visus funkcijos f(x) maksimumus ir galines reikšmes f(a) ir f(b); didžiausias iš tų skaičių ir bus didžiausioji funkcijos f(x) reikšmė intervale [a, b]. Panašiai ieškoma ir mažiausioji funkcijos reikšmė.Kad nereiktų nagrinėti maksimumų arba minimumų, galima tik apskaičiuoti funkcijos reikšmes visuose ekstremumu „įtariamuose“ taškuose ir jas palyginti su galinėmis reikšmėmis f(a) ir f(b); didžiausias ir mažiausias iš tų skaičių bus didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės.